Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 140 задач
ГеометріяВизначні точки та лінії трикутника
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2012-002

Коло, дотичне до паралелі через середину дуги

Нехай дано трикутник ABCABC, нехай PP — точка на описаному колі трикутника, що є серединою дуги BCBC, яка не містить AA. Пряму ll проведено через точку PP так, щоб ll була паралельною до ABAB. Позначимо через kk коло, яке проходить через точку BB і дотикається до прямої ll у точці PP. Нехай QQ — друга точка перетину кола kk з прямою ABAB (якщо другої точки перетину немає, покладемо Q=BQ = B). Доведіть, що AQ=ACAQ = AC.
10–11 класиТеорема про тризуб2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-023

Трикутник зі 120-градусними кутами між медіанами

Чи існує нерівносторонній трикутник, у якому кут між будь-якими двома його медіанами дорівнює 120∘120^\circ?
10–11 класиТочка перетину медіан
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2010-002

Перетин прямих DG та EI на описаному колі

Точка II — центр кола, вписаного в трикутник ABCABC, а Γ\Gamma — коло, описане навколо цього трикутника. Пряма AIAI перетинає коло Γ\Gamma в точках AA і DD. Точка EE обрана на дузі BDCBDC, а точка FF — на стороні BCBC так, що ∠BAF=∠CAE<12∠BAC\angle BAF = \angle CAE < \frac{1}{2}\angle BAC. Точка GG — середина відрізка IFIF. Доведіть, що прямі DGDG і EIEI перетинаються в точці, що належить колу Γ\Gamma.
10–11 класиТеорема про тризуб
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-005

Проєкції та відношення в опуклому многокутнику

Нехай A1A2…AnA_{1} A_{2} \ldots A_{n} — опуклий многокутник. Точку PP всередині цього многокутника вибрано так, що її проєкції P1,…,PnP_{1}, \ldots, P_{n} на прямі A1A2,…,AnA1A_{1} A_{2}, \ldots, A_{n} A_{1} відповідно лежать на сторонах многокутника. Доведіть, що для довільних точок X1,…,XnX_{1}, \ldots, X_{n} на сторонах A1A2,…,AnA1A_{1} A_{2}, \ldots, A_{n} A_{1} відповідно max⁡{X1X2P1P2,…,XnX1PnP1}≥1\max \left\{\frac{X_{1} X_{2}}{P_{1} P_{2}}, \ldots, \frac{X_{n} X_{1}}{P_{n} P_{1}}\right\} \geq 1
10–11 класиОписане коло2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-006

Інцентр у рівносторонньому вписаному трикутнику

Вершини XX, YY, ZZ рівностороннього трикутника XYZXYZ лежать відповідно на сторонах BCBC, CACA, ABAB гострокутного трикутника ABCABC. Доведіть, що інцентр трикутника ABCABC лежить усередині трикутника XYZXYZ. Вершини XX, YY, ZZ рівностороннього трикутника XYZXYZ лежать відповідно на сторонах BCBC, CACA, ABAB трикутника ABCABC. Доведіть, що якщо інцентр трикутника ABCABC лежить поза трикутником XYZXYZ, то один із кутів трикутника ABCABC більший за 120∘120^{\circ}.
10–11 класиВписане коло3 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-013

Ортоцентр, рівносторонні трикутники на сторонах і кут 120°

Припустимо, що трикутник ABCABC не є рівностороннім і що обидва кути β=∠ABC\beta = \angle ABC і γ=∠ACB\gamma = \angle ACB більші за 30∘30^\circ. Нехай OO — ортоцентр трикутника ABCABC. Нехай трикутники ACB′ACB' і ABC′ABC' рівносторонні, причому BB і B′B' лежать по різні боки від прямої ACAC, а CC і C′C' — по різні боки від прямої ABAB. Нехай B′′B'' і C′′C'' — такі внутрішні точки відрізків BB′BB' і CC′CC', що BB′′=12(1−tg⁡(90∘−β)tg⁡60∘)BB′ і CC′′=12(1−tg⁡(90∘−γ)tg⁡60∘)CC′BB'' = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{\operatorname{tg}(90^\circ - \beta)}{\operatorname{tg} 60^\circ}\right) BB' \text{ і } CC'' = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{\operatorname{tg}(90^\circ - \gamma)}{\operatorname{tg} 60^\circ}\right) CC' Доведіть, що ∠B′′OC′′=120∘\angle B''OC'' = 120^\circ.
10–11 класиПоворот
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-015

Трапеція з колом і перпендикулярами

У чотирикутнику ABCDABCD маємо AB∥CDAB \parallel CD і AB=2CDAB = 2CD. Пряма ℓ\ell перпендикулярна до сторони CDCD і проходить через точку CC. Коло з центром DD і радіусом DADA перетинає пряму ℓ\ell у точках PP і QQ. Доведіть, що AP⊥BQAP \perp BQ.
10–11 класиПряма Ейлера
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-016

Чевіани через інцентри трикутників ортоцентра

Точка HH — ортоцентр трикутника ABCABC, а відрізки ADAD, BEBE, CFCF — його висоти. Точки I1I_1, I2I_2, I3I_3 — інцентри трикутників EHFEHF, DHFDHF, DHEDHE відповідно. Доведіть, що прямі AI1AI_1, BI2BI_2, CI3CI_3 перетинаються в одній точці.
10–11 класиТеорема Чеви
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2009-002

Дотик кола KLM до PQ і OP = OQ

Точка OO – центр кола, що описане навколо трикутника ABCABC. Нехай PP та QQ – внутрішні точки сторін CACA та ABAB відповідно. Точки K,LK, L та MM – середини відрізків BP,CQBP, CQ та PQPQ відповідно, а Γ\Gamma – це коло, що проходить через точки K,LK, L та MM. Відомо, що пряма PQPQ дотикається до кола Γ\Gamma. Доведіть, що OP=OQOP = OQ.
10–11 класиДотична кола
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-004

Конкурентність середин відрізків Ейлера

Нехай сторони ADAD і BCBC чотирикутника ABCDABCD (такого, що сторона ABAB не паралельна стороні CDCD) перетинаються в точці PP. Точки O1O_{1} і O2O_{2} — центри описаних кіл, а точки H1H_{1} і H2H_{2} — ортоцентри трикутників ABPABP і DCPDCP відповідно. Позначимо середини відрізків O1H1O_{1}H_{1} і O2H2O_{2}H_{2} через E1E_{1} і E2E_{2} відповідно. Доведіть, що перпендикуляр з E1E_{1} на пряму CDCD, перпендикуляр з E2E_{2} на пряму ABAB і пряма H1H2H_{1}H_{2} проходять через одну точку.
10–11 класиКоло Ейлера (коло 9 точок)2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-005

Рівносторонній трикутник з інцентрів

Нехай ABCABC — трикутник з інцентром II, а XX, YY і ZZ — інцентри трикутників BICBIC, CIACIA і AIBAIB відповідно. Нехай трикутник XYZXYZ — рівносторонній. Доведіть, що трикутник ABCABC також рівносторонній.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-006

Ортоцентр трикутника інцентрів

Нехай ABCDABCD — описаний чотирикутник. Нехай gg — пряма через AA, яка перетинає відрізок BCBC в точці MM, а пряму CDCD — в точці NN. Позначимо через I1,I2I_{1}, I_{2} та I3I_{3} інцентри трикутників △ABM\triangle ABM, △MNC\triangle MNC і △NDA\triangle NDA відповідно. Доведіть, що ортоцентр трикутника △I1I2I3\triangle I_{1} I_{2} I_{3} лежить на прямій gg.
10–11 класиВписане коло2 розв’язки
Балтійський шляхBW-2008-018

Рівнобедрений трикутник за відношеннями кутів на бісектрисах

Нехай MM — точка на стороні BCB C, а NN — точка на стороні ABA B такі, що AMA M і CNC N — бісектриси трикутника ABCA B C. Відомо, що ∠BNM∠MNC=∠BMN∠NMA\frac{\angle B N M}{\angle M N C}=\frac{\angle B M N}{\angle N M A} Доведіть, що трикутник ABCA B C рівнобедрений.
10–11 класиТочка перетину бісектрис
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2008-001

Шість точок кіл через ортоцентр на сторонах трикутника

Нехай HH – точка перетину висот гострокутного трикутника ABCABC. Коло з центром у середині сторони BCBC проходить через точку HH та перетинає пряму BCBC у точках A1A_1 та A2A_2. Аналогічно, коло з центром у середині сторони CACA проходить через точку HH та перетинає пряму CACA у точках B1B_1 та B2B_2, коло з центром у середині сторони ABAB проходить через точку HH та перетинає пряму ABAB у точках C1C_1 та C2C_2. Доведіть, що точки A1,A2,B1,B2,C1,C2A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2008-006

Спільні зовнішні дотичні вписаних кіл трикутників ABC і ADC

Нехай ABCDABCD – опуклий чотирикутник, у якому BA≠BCBA \ne BC. Позначимо кола, що вписані в трикутники ABCABC та ADCADC, через ω1\omega_1 та ω2\omega_2 відповідно. Припустимо, що існує коло ω\omega, яке дотикається до продовження відрізка BABA за точку AA, продовження відрізка BCBC за точку CC, і також дотикається до прямих ADAD та CDCD. Доведіть, що спільні зовнішні дотичні до кіл ω1\omega_1 та ω2\omega_2 перетинаються на колі ω\omega.
10–11 класиГомотерія і подібність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2007-004

Трикутники на бісектрисі і серединних перпендикулярах

В трикутнику ABCABC бісектриса кута ∠BCA\angle BCA перетинає описане навколо △ABC\triangle ABC коло, серединний перпендикуляр до BCBC та серединний перпендикуляр до ACAC відповідно в точках R,P,QR, P, Q (R≠CR \ne C). Нехай KK – середина BCBC, LL – середина ACAC. Довести, що трикутники RPKRPK і RQLRQL мають однакову площу.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Балтійський шляхBW-2006-013

Перетин медіан і добутки хорд

Нехай медіани трикутника ABCA B C перетинаються в точці MM. Пряма tt через MM перетинає описане коло трикутника ABCA B C в точках XX і YY так, що AA і CC лежать з одного боку від прямої tt. Доведіть, що BX⋅BY=AX⋅AY+CX⋅CYB X \cdot B Y = A X \cdot A Y + C X \cdot C Y.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2006-001

Центр вписаного кола і точка з рівністю кутів

Точка II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Усередині цього трикутника вибрано таку точку PP, що ∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB\angle PBA + \angle PCA = \angle PBC + \angle PCB. Доведіть, що AP≥AIAP \ge AI, причому рівність досягається тоді й тільки тоді, коли точка PP співпадає з II.
10–11 класиТеорема про тризуб
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-008

Конкурентність прямих у конфігурації дотичних кіл

Кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} з центрами O1O_{1} і O2O_{2} зовні дотикаються в точці DD і внутрішньо дотикаються до кола ω\omega в точках EE і FF відповідно. Пряма tt — спільна дотична до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} в точці DD. Нехай ABAB — діаметр кола ω\omega, перпендикулярний до прямої tt, причому AA, EE і O1O_{1} лежать по один бік від прямої tt. Доведіть, що прямі AO1A O_{1}, BO2B O_{2}, EFEF і tt перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-009

Трикутник із кіл на серединах дуг

У трикутнику ABCA B C нехай Ma,Mb,McM_{a}, M_{b}, M_{c} — відповідно середини сторін BC,CA,ABB C, C A, A B, а Ta,Tb,TcT_{a}, T_{b}, T_{c} — середини дуг BC,CA,ABB C, C A, A B описаного кола трикутника ABCA B C, що не містять протилежних вершин. Для i∈{a,b,c}i \in \{a, b, c\} нехай ωi\omega_{i} — коло з діаметром MiTiM_{i} T_{i}. Нехай pip_{i} — спільна зовнішня дотична до кіл ωj,ωk({i,j,k}={a,b,c})\omega_{j}, \omega_{k}(\{i, j, k\}=\{a, b, c\}) така, що ωi\omega_{i} лежить з протилежного боку від pip_{i}, ніж ωj,ωk\omega_{j}, \omega_{k}. Доведіть, що прямі pa,pb,pcp_{a}, p_{b}, p_{c} утворюють трикутник, подібний до ABCA B C, і знайдіть коефіцієнт подібності.
10–11 класиГомотерія і подібність
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2006-001

Спільна точка описаних кіл трикутників

Нехай BB і CC — точки на двох фіксованих променях, що виходять з точки AA, такі, що сума AB+ACA B + A C стала. Доведіть, що існує точка D≠AD \neq A така, що описані кола трикутників ABCA B C проходять через DD для кожного вибору BB і CC.
10–11 класиОписане коло
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2005-001

Спільна точка прямих для шестикутника в рівносторонньому трикутнику

На сторонах рівностороннього трикутника ABCABC відмічено шість точок: A1,A2A_1, A_2 на BCBC, B1,B2B_1, B_2 на CACA і C1,C2C_1, C_2 на ABAB. Ці точки є вершинами опуклого шестикутника A1A2B1B2C1C2A_1 A_2 B_1 B_2 C_1 C_2, сторони якого мають однакову довжину. Доведіть, що прямі A1B2A_1 B_2, B1C2B_1 C_2 та C1A2C_1 A_2 перетинаються в одній точці.
10–11 класиВекторний метод
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2000-003

Бісектриси з рівними відрізками

У трикутнику ABCABC бісектриса кута BB перетинає ACAC у точці DD, а бісектриса кута CC перетинає ABAB у точці EE. Бісектриси перетинаються між собою в точці OO. Крім того, OD=OEOD = OE. Доведіть, що або трикутник ABCABC є рівнобедреним, або ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^{\circ}.
10–11 класиТочка перетину бісектрис
Балтійський шляхBW-1999-012

Інцентр, центр описаного кола і середини сторін на одному колі

У трикутнику ABCA B C відомо, що 2∣AB∣=∣AC∣+∣BC∣2|A B|=|A C|+|B C|. Доведіть, що інцентр трикутника ABCA B C, центр описаного кола трикутника ABCA B C та середини сторін ACA C і BCB C лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Балтійський шляхBW-1999-013

Кут трикутника за сумою відрізків на сторонах

Бісектриси кутів AA і BB трикутника ABCABC перетинають сторони BCBC і CACA у точках DD і EE відповідно. Вважаючи, що ∣AE∣+∣BD∣=∣AB∣|AE| + |BD| = |AB|, визначте величину кута CC.
10–11 класиТочка перетину бісектрис

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.