Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

824 задачі
ГеометріяДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-141

Чотирикутник із вписаним колом і заданими кутами

Нехай ABCDABCD — чотирикутник із вписаним колом з центром II. Нехай пряма CICI перетинає ABAB у точці EE. Якщо ∠IDE=35∘\angle IDE = 35^{\circ}, ∠ABC=70∘\angle ABC = 70^{\circ} і ∠BCD=60∘\angle BCD = 60^{\circ}, то які всі можливі величини ∠CDA\angle CDA?
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-048

Основи висот трикутника 13, 14, 15 і AG

Дано трикутник ABCA B C з AB=13A B = 13, BC=14B C = 14, CA=15C A = 15. Нехай EE і FF — основи висот з BB і CC відповідно. Нехай GG — основа висоти з AA в трикутнику AFEA F E. Знайдіть довжину відрізка AGA G.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2010-001

Ромб з рівними відрізками та перетином

Нехай чотирикутник ABCDABCD — ромб з гострим кутом при AA. Точки MM і NN лежать на відрізках ACAC і BCBC так, що ∣DM∣=∣MN∣|DM| = |MN|. Нехай далі PP — точка перетину прямих ACAC і DNDN, а RR — точка перетину прямих ABAB і DMDM. Доведіть, що ∣RP∣=∣PD∣|RP| = |PD|.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2010-033

Вписаний шестикутник у двох колах, що перетинаються

Два кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} перетинаються в точках PP і QQ. Спільна дотична з боку точки PP дотикається до кіл у точках AA і BB відповідно. Дотична до кола Γ1\Gamma_{1} в точці PP перетинає Γ2\Gamma_{2} вдруге в точці CC, а дотична до кола Γ2\Gamma_{2} в точці PP перетинає Γ1\Gamma_{1} вдруге в точці DD. Точку перетину прямих APA P і BCB C позначимо через EE, а точку перетину прямих BPB P і ADA D — через FF. Нехай MM — точка, симетрична точці PP відносно середини відрізка ABA B. Доведіть, що AMBEQFA M B E Q F — вписаний шестикутник.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2010-017

Вписаний чотирикутник із серединами відрізків

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник з властивістю, що ∠ABD=∠DBC\angle ABD = \angle DBC. Нехай EE — точка перетину діагоналей ACAC і BDBD. Нехай MM — середина відрізка AEAE, а NN — середина сторони DCDC. Доведіть, що MBCNMBCN — вписаний чотирикутник.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2010-028

Бісектриса, коло і середина сторони

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH. Пряма через HH перетинає ABAB та ACAC відповідно в точках DD та EE так, що виконується ∣AD∣=∣AE∣|AD| = |AE|. Бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає описане коло трикутника ADEADE в точці K≠AK \neq A. Доведіть, що пряма HKHK ділить відрізок BCBC навпіл.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2010-006

Рівнобедрений трикутник з подвоєним кутом

Дано гострокутний рівнобедрений трикутник ABCABC з основою ACAC. Усередині цього трикутника дано точку MM, що лежить з боку точки CC від серединного перпендикуляра до відрізка ACAC, і таку, що CM^A=2CB^AC\widehat{M}A = 2C\widehat{B}A, і точку NN всередині відрізка AMAM таку, що BN^M=CB^AB\widehat{N}M = C\widehat{B}A. - Доведіть, що CB^N=BA^MC\widehat{B}N = B\widehat{A}M. - Доведіть, що CM+MN=BNCM + MN = BN.
9–11 класиОзнаки подібності
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-016

Інцентр і точки перетину бісектрис з колом

Припустімо, що для трикутника ABCABC виконано таку умову: коло OO, яке проходить через вершини B,CB, C, перетинає відрізки ABAB і ACAC (за винятком кінців) у точках DD і EE відповідно, і виконується AD+AE=BCAD + AE = BC. Нехай II — інцентр трикутника ABCABC і припустімо, що прямі BIBI і CICI перетинають коло OO у точках P,QP, Q (відмінних від B,CB, C) відповідно. Доведіть, що точки A,I,P,QA, I, P, Q лежать на одному колі. Тут через XYXY ми позначаємо довжину відрізка XYXY.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-012

Радіус описаного кола через радіуси вписаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник, для якого ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. Нехай PP (QQ) — точка перетину бісектриси ∠ABC\angle ABC (∠ACB\angle ACB) зі стороною ACAC (ABAB) відповідно. Позначимо через r1r_1 (r2r_2) радіус вписаного кола трикутника ABCABC (APQAPQ) відповідно. Визначте радіус описаного кола трикутника APQAPQ через r1r_1 і r2r_2.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2010-005

Циклічний чотирикутник із центрів трикутника

Нехай II, OO, HH — відповідно інцентр, центр описаного кола й ортоцентр гострокутного трикутника ABCABC, а вписане коло трикутника △ABC\triangle ABC дотикається до сторони BCBC в точці DD. Припустимо, що ∠B<∠C\angle B < \angle C, а пряма AOAO паралельна прямій HDHD. Доведіть, що чотири точки EE, FF, II, OO лежать на одному колі, де EE — точка перетину прямих ODOD і AHAH, а FF — середина відрізка CICI.
10–11 класиПряма Ейлера
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2010-002

Колінеарність у побудові з колами на трапеції

Для трапеції ABCDABCD, у якій AB//CDAB // CD, припустимо, що AA, BB, CC, DD розташовані за годинниковою стрілкою. Нехай Γ1\Gamma_1 — коло з центром у AA, яке проходить через BB. Нехай Γ2\Gamma_2 — коло з центром у CC, яке проходить через DD. Нехай PP — точка перетину (відмінна від BB, DD) прямої BDBD і кола Γ1\Gamma_1. Нехай Γ\Gamma — коло з діаметром PDPD. Нехай XX — точка перетину (відмінна від PP) кіл Γ\Gamma і Γ1\Gamma_1. Нехай YY — точка перетину (відмінна від DD) кіл Γ\Gamma і Γ2\Gamma_2. Нехай QQ — точка перетину кола Γ2\Gamma_2 й описаного кола трикутника XBYXBY. Доведіть, що BB, DD, QQ лежать на одній прямій.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2010-012

Вписаний чотирикутник і перетин діагоналей

Нехай OO — точка перетину діагоналей вписаного чотирикутника ABCDABCD. Описані кола трикутників AOBAOB і CODCOD перетинають прямі BCBC і ADAD ще раз у точках MM, NN, PP і QQ. Доведіть, що чотирикутник MNPQMNPQ вписано в коло з центром OO.
8–9 класиЦентральні і вписані кути
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2010-001

Основи перпендикулярів і вписаний п'ятикутник

Нехай AXYZBAXYZB — опуклий п'ятикутник, вписаний у півколо з діаметром ABAB. Позначимо через P,Q,R,SP, Q, R, S основи перпендикулярів, опущених із точки YY на прямі AXAX, BXBX, AZAZ, BZBZ відповідно. Доведіть, що гострий кут, утворений прямими PQPQ та RSRS, дорівнює половині величини ∠XOZ\angle XOZ, де OO — середина відрізка ABAB.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2009-006

Бісектриса через перетин кіл у прямокутному трикутнику

Трикутник ABCA B C прямокутний при AA. Нехай MM — середина відрізка BCB C. Точка DD лежить на стороні ACA C і задовольняє AD‾=AM‾\overline{A D}=\overline{A M}. Відмінну від CC точку перетину описаних кіл трикутників AMCA M C і BDCB D C позначимо PP. Доведіть, що CPC P ділить навпіл кут трикутника ABCA B C при CC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2009-004

Рівність кутів DAX і DAH у трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Точка DD лежить на стороні BCBC. Нехай OBO_B і OCO_C — центри описаних кіл трикутників ABDABD і ACDACD відповідно. Припустимо, що точки BB, CC, OBO_B, OCO_C лежать на колі з центром у точці XX. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC. Доведіть, що ∠DAX=∠DAH\angle DAX = \angle DAH.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2009-024

Перетин прямих на описаному колі основ висот

У гострокутному трикутнику ABCABC нехай BEBE і CFCF — висоти. Два кола, що проходять через AA і FF, дотикаються до прямої BCBC у точках PP і QQ, причому BB лежить між CC і QQ. Доведіть, що прямі PEPE і QFQF перетинаються на описаному колі трикутника AEFAEF.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2009-006

Коло, дотичне до сторони і дуги

Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника △ABC\triangle ABC. Припустімо, що коло з центром у точці OO дотикається до відрізка BCBC у точці PP і дотикається до дуги BCBC (яка не містить AA) у точці QQ. Якщо ∠BAO=∠CAO\angle BAO = \angle CAO, доведіть, що має виконуватися рівність ∠PAO=∠QAO\angle PAO = \angle QAO.
10–11 класиКола, що дотикаються
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2009-003

Дотичне коло та паралельні прямі

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, у якому ∠B<∠C\angle B < \angle C. Нехай OO — коло, що дотикається до прямої ACAC у точці CC і проходить через точку BB. Прямі ABAB і COCO перетинають коло OO у точках D(≠B)D (\neq B) і P(≠C)P (\neq C) відповідно. Нехай EE — перетин прямої ACAC і прямої, що проходить через PP паралельно AOAO. Пряма EBEB і коло OO перетинаються в точці L(≠B)L (\neq B). Нехай FF — перетин серединного перпендикуляра до відрізка BDBD і прямої ACAC, а KK — перетин прямих LFLF і CDCD. Доведіть, що прямі EKEK і CLCL паралельні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2009-006

Паралельні прямі та вписаний чотирикутник

Нехай ABCABC — трикутник, у якому ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. Точки DD і EE лежать на сторонах ACAC і ABAB відповідно. Прямі BDBD і CECE перетинають описане коло трикутника ABCABC в інших точках XX і YY відповідно. Точку перетину прямих BDBD і CECE позначимо через SS. Доведіть, що прямі BYBY і CXCX паралельні тоді й лише тоді, коли AESDAESD — вписаний чотирикутник.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2009-012

Перетин прямих через точки дотику кіл

Точки AA, M1M_{1}, M2M_{2} і CC лежать у цьому порядку на одній прямій. Нехай k1k_{1} — коло з центром M1M_{1}, яке проходить через AA, а k2k_{2} — коло з центром M2M_{2}, яке проходить через CC. Ці два кола перетинаються в точках EE і FF. Спільна дотична до кіл k1k_{1} і k2k_{2} дотикається до кола k1k_{1} в точці BB, а до кола k2k_{2} — в точці DD. Доведіть, що прямі ABA B, CDC D і EFE F перетинаються в одній точці.
10–11 класиРадикальна вісь
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2009-004

Вписаний чотирикутник із побудови трапеції

Трапеція ABCDABCD з AB∥CDAB \parallel CD вписана в коло ω\omega, а точка GG лежить усередині трикутника BCDBCD. Промені AGAG і BGBG перетинають ω\omega вдруге в точках PP і QQ відповідно. Нехай пряма, що проходить через GG паралельно прямій ABAB, перетинає відрізки BDBD і BCBC в точках RR і SS відповідно. Доведіть, що чотирикутник PQRSPQRS є вписаним тоді й лише тоді, коли промінь BGBG ділить навпіл ∠CBD\angle CBD.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-036

Зважена точка Ферма в правильному тетраедрі

Нехай ABCDABCD — правильний тетраедр, а OO — центроїд трикутника BCDBCD. Розглянемо точку PP на відрізку AOAO таку, що в точці PP вираз PA+2(PB+PC+PD)PA + 2(PB + PC + PD) набуває найменшого значення. Знайдіть sin⁡∠PBO\sin \angle PBO.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Відбіркові тести на IMOTST-2008-006

Діагоналі трапеції та рівність кутів

Дано (довільну) трапецію ABCDABCD, діагоналі якої перетинаються в точці PP. Точка QQ лежить між паралельними прямими ABAB і DCDC так, що ∡AQB=∡CQD\varangle AQB = \varangle CQD і пряма BCBC проходить між PP і QQ. Доведіть, що ∡DQP=∡BAQ\varangle DQP = \varangle BAQ.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2008-007

Циклічний чотирикутник у рівнобічній трапеції

Нехай ABCDABCD — рівнобічна трапеція з AB∥CDAB \parallel CD і BC‾=AD‾\overline{BC} = \overline{AD}. Пряма, паралельна ADAD, що проходить через BB, перетинає перпендикуляр до ADAD, що проходить через DD, в точці XX. Крім того, пряма, що проходить через AA паралельно BDBD, перетинає перпендикуляр до BDBD, що проходить через DD, в точці YY. Доведіть, що точки C,X,DC, X, D і YY лежать на спільному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2008-009

Хорда вписаного кола і середина відрізка

Нехай ABCABC — трикутник, у якому ∠ABC≠∠BCA\angle ABC \neq \angle BCA. Вписане коло kk трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно в точках DD, EE та FF. Відрізок ADAD перетинає kk ще раз у точці PP. Нехай QQ — точка перетину прямої EFEF з перпендикуляром до прямої ADAD через PP. Нехай XX та YY — точки перетину прямої AQAQ з прямими DEDE та DFDF відповідно. Доведіть, що AA — середина відрізка XYXY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.