Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 352 задачі
АлгебраПослідовності і суми
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-144

Випадкова послідовність з умовою опуклості

Нехай x0=x101=0x_{0} = x_{101} = 0. Числа x1,x2,…,x100x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{100} вибрано випадково з проміжку [0,1][0,1] рівномірно й незалежно. Обчисліть імовірність того, що 2xi≥xi−1+xi+12 x_{i} \geq x_{i-1} + x_{i+1} для всіх i=1,2,…,100i = 1, 2, \ldots, 100.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-026

Розбиття чисел Фібоначчі на рівні за сумою частини

Числа Фібоначчі задано рекурентно: F0=0F_{0}=0, F1=1F_{1}=1 і Fi=Fi−1+Fi−2F_{i}=F_{i-1}+F_{i-2} при i≥2i \geq 2. Дано 15 дерев’яних брусків вагою F2,F3,…,F16F_{2}, F_{3}, \ldots, F_{16}. Обчисліть кількість способів пофарбувати кожен брусок у червоний або синій колір так, щоб сумарна вага червоних брусків дорівнювала сумарній вазі синіх брусків.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-029

Підрахунок послідовностей ходів з двома відніманнями

Число 770770 написане на дошці. Мелоді неодноразово виконує ходи, причому хід полягає у відніманні від числа на дошці або 4040, або 4141. Вона виконує ходи, доки число не стане недодатним, а тоді зупиняється. Нехай NN — кількість послідовностей ходів, які могла виконати Мелоді. Припустимо, що N=a⋅2bN = a \cdot 2^{b}, де aa — непарне натуральне число, а bb — невід'ємне ціле число. Обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-058

Система степеневих сум із комплексними змінними

Нехай m>n>1m>n>1 — натуральні числа, для яких існують nn комплексних чисел x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} таких, що - x1k+x2k+⋯+xnk=1x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots+x_{n}^{k}=1 при k=1,2,…,n−1k=1,2, \ldots, n-1; - x1n+x2n+⋯+xnn=2x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\cdots+x_{n}^{n}=2; і - x1m+x2m+⋯+xnm=4x_{1}^{m}+x_{2}^{m}+\cdots+x_{n}^{m}=4. Знайдіть найменше можливе значення m+nm+n.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-070

Найменші прості числа в класах остач за простим модулем

Число 20272027 — просте. Для i=1,2,…,2026i = 1, 2, \ldots, 2026 нехай pip_{i} — найменше просте число таке, що pi≡i(mod2027)p_{i} \equiv i \pmod{2027}. Оцініть max⁡(p1,…,p2026)\max \left(p_{1}, \ldots, p_{2026}\right). Надішліть натуральне число EE. Якщо правильна відповідь дорівнює AA, ви отримаєте ⌊25min⁡((E/A)8,(A/E)8)⌋\left\lfloor 25 \min \left((E / A)^{8},(A / E)^{8}\right)\right\rfloor балів. (Якщо ви не надішлете натуральне число, ви отримаєте нуль балів за це запитання.)
10–11 класиРозподіл простих чисел
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-071

Розбиття кубічних коренів із чисел Фібоначчі

Числа Фібоначчі задано рекурентно: F0=0F_{0}=0, F1=1F_{1}=1 і Fi=Fi−1+Fi−2F_{i}=F_{i-1}+F_{i-2} при i≥2i \geq 2. Дано 30 дерев'яних брусків вагою F23,F33,…,F313\sqrt[3]{F_{2}}, \sqrt[3]{F_{3}}, \ldots, \sqrt[3]{F_{31}}; оцініть кількість способів пофарбувати кожен брусок у червоний або синій колір так, щоб сумарна вага червоних брусків і сумарна вага синіх брусків відрізнялися не більше ніж на 1. Надішліть натуральне число EE. Якщо правильна відповідь — AA, ви отримаєте ⌊25min⁡((E/A)8,(A/E)8)⌋\left\lfloor 25 \min \left((E / A)^{8},(A / E)^{8}\right)\right\rfloor балів. (Якщо ви не надішлете натуральне число, ви отримаєте нуль балів за це запитання.)
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-073

Сума спрощених квадратних коренів

Ізабелла пише на дошці вираз d\sqrt{d} для кожного натурального числа dd, що не перевищує 8!8!. Побачивши, що ці вирази можуть не принести балів на HMMT, Відур спрощує кожен вираз до вигляду aba \sqrt{b}, де aa і bb — цілі числа такі, що bb не ділиться на квадрат жодного простого числа. (Наприклад, 20\sqrt{20}, 16\sqrt{16} і 6\sqrt{6} спрощуються до 252 \sqrt{5}, 414 \sqrt{1} і 161 \sqrt{6} відповідно.) Обчисліть суму a+ba+b за всіма виразами, які пише Відур. Подайте додатне дійсне число AA. Якщо правильна відповідь — CC, а ваша відповідь — AA, ви отримуєте max⁡(0,⌈20(1−∣log⁡(A/C)∣1/5)⌉)\max \left(0,\left\lceil 20\left(1-|\log (A / C)|^{1 / 5}\right)\right\rceil\right) балів.
10–11 класиФункція Мебіуса μ(n)
Відбіркові тести на IMOTST-2023-005

Нижня межа відношення членів послідовності

Знайдіть найбільше дійсне число MM таке, що для кожної нескінченної послідовності x0,x1,x2,…x_0, x_1, x_2, \dots дійсних чисел, яка задовольняє умови a. x0=1x_0 = 1 і x1=3x_1 = 3, b. x0+x1+⋯+xn−1≥3xn−xn+1x_0 + x_1 + \dots + x_{n-1} \ge 3x_n - x_{n+1} для всіх n≥1n \ge 1, нерівність xn+1xn>M,\frac{x_{n+1}}{x_n} > M, виконується для всіх n≥0n \ge 0.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2023-021

Нерівність для суми обернених квадратів і кубів

Нехай n≥m≥1n \ge m \ge 1 — натуральні числа. Доведіть, що ∑k=mn(1k2+1k3)≥m⋅(∑k=mn1k2)2.\sum_{k=m}^{n} \left( \frac{1}{k^2} + \frac{1}{k^3} \right) \ge m \cdot \left( \sum_{k=m}^{n} \frac{1}{k^2} \right)^2 .
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові тести на IMOTST-2023-010

Єгипетські дроби з обмеженими знаменниками

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існують nn різних натуральних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n, жодне з яких не більше за n2n^2, таких, що 1a1+1a2+⋯+1an=1.\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n} = 1.
10–11 класиСуми послідовностей
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-015

Послідовності з обмеженою властивістю підрахунку

Нехай cc — невід'ємне ціле число. Знайдіть усі послідовності натуральних чисел {an}n≥1\{a_n\}_{n \ge 1} такі, що для довільного натурального числа nn виконується така умова: Існує рівно ana_n натуральних чисел ii, які задовольняють ai≤an+1+ca_i \le a_{n+1} + c.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-004

Вираз з операцією x/(xy+1) для чисел 100 до 1

Для додатних дійсних чисел x,yx, y додатне дійсне число x⋆yx \star y визначається як x⋆y=xxy+1x \star y = \frac{x}{xy+1}. Обчисліть такий вираз: (((⋯(((100⋆99)⋆98)⋆97)⋆⋯ )⋆3)⋆2)⋆1.(((\cdots (((100 \star 99) \star 98) \star 97) \star \cdots) \star 3) \star 2) \star 1.
10–11 класиПеретворення дробів
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-017

НСД членів рекурентної послідовності

Нехай xx, yy та a0a_{0}, a1a_{1}, a2a_{2}, …\ldots — цілі числа, що задовольняють a0=a1=0a_{0}=a_{1}=0 і an+2=x⋅an+1+y⋅an+1a_{n+2}=x \cdot a_{n+1}+y \cdot a_{n}+1 для всіх цілих n≥0n \geq 0. Нехай pp — довільне просте число. Доведіть, що НСД(ap,ap+1)\text{НСД}\left(a_{p}, a_{p+1}\right) або дорівнює 11, або більше за p\sqrt{p}.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Американський запрошувальний математичний іспит (AIME)AIME-2022-006

Уникання чотиричленних арифметичних прогресій

Знайдіть кількість впорядкованих пар цілих чисел (a,b)(a, b), для яких послідовність 3,4,5,a,b,30,40,503, 4, 5, a, b, 30, 40, 50 строго зростає і жодні чотири її члени (не обов'язково послідовні) не утворюють арифметичної прогресії.
10–11 класиАрифметична прогресія
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-007

Периметр фрактального квадрата після ітерацій

Починаємо з квадрата зі стороною 11. Протягом першої хвилини на серединах вертикальних сторін виростають маленькі квадрати зі стороною 13\frac{1}{3}. Протягом наступної хвилини на середині кожного вертикального відрізка нової фігури виростає новий маленький квадрат, сторони якого становлять 13\frac{1}{3} довжини цих відрізків. Нижче можна побачити ситуацію після 00, 11 і 22 хвилин. Цей процес триває далі. Щохвилини на середині кожного вертикального відрізка виростає новий квадрат, сторони якого становлять 13\frac{1}{3} довжини цього відрізка. Через годину цей процес нарощування нових квадратів на фігурі відбувся 6060 разів. Який периметр фігури через годину?
10–11 класиГеометрична прогресія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-044

Три цілі числа з нерівністю суми

Нехай nn — натуральне число. Анна записала 4n+24 n+2 попарно різні цілі числа від 00 до 5n5^{n} включно. Доведіть, що серед записаних нею чисел існують три, скажімо a,ba, b і cc, такі, що a<b<ca < b < c і c+2a>3bc + 2a > 3b.
8–10 класиГеометрична прогресія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-053

Розфарбування решітки для відстеження невидимого кролика

Мисливець і невидимий кролик грають на нескінченній решітці з квадратних клітинок, тобто такій, де кожна клітинка має чотирьох сусідів: ліворуч, праворуч, вгорі та внизу. Спочатку мисливець розфарбовує кожну клітинку решітки, але може використати лише скінченну кількість кольорів. Кролик потім обирає клітинку решітки, яка буде його початковою точкою. Далі він починає рухатися: щохвилини він повідомляє мисливцеві колір клітинки, на якій перебуває, а потім переходить на одну з чотирьох сусідніх клітинок. Очевидно, оскільки він невидимий, єдині відомості, до яких мисливець має доступ, — це кольори, які кролик оголошує щохвилини безпосередньо перед переміщенням. Мисливець виграє, якщо через скінченний час, ▹\triangleright він може визначити клітинку, яку кролик обрав спочатку, або ж якщо ▹\triangleright кролик повертається на клітинку, на якій він уже був раніше. Чи має мисливець виграшну стратегію?
10–11 класиГеометричні розфарбування
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-055

Подільність тягне остаточну періодичність

Нехай (an)n⩾1\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1} — послідовність натуральних чисел така, що an+2ma_{n+2 m} ділить an+an+ma_{n}+a_{n+m} для всіх цілих чисел m⩾1m \geqslant 1 і n⩾1n \geqslant 1. Доведіть, що ця послідовність є остаточно періодичною, тобто існують цілі числа N⩾1N \geqslant 1 і d⩾1d \geqslant 1 такі, що an=an+da_{n}=a_{n+d} для всіх n⩾Nn \geqslant N.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-001

Нескінченний добуток із факторіальними показниками

Чи є ∏k=0∞(1−12022k!)\prod_{k=0}^{\infty}\left(1-\frac{1}{2022^{k!}}\right) раціональним?
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-077

Ряди форі та Фур’є з чотириразовою сумою

Нехай x<0.1x < 0.1 — додатне дійсне число. Ряд форі — це 4+4x+4x2+4x3+…4 + 4x + 4x^{2} + 4x^{3} + \ldots, а ряд Фур’є — це 4+44x+444x2+4444x3+…4 + 44x + 444x^{2} + 4444x^{3} + \ldots. Припустімо, що сума ряду Фур’є в чотири рази більша за суму ряду форі. Обчисліть xx.
10–11 класиГеометрична прогресія2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-118

Сума відстаней до найближчого квадрата

Для натурального числа kk нехай ∥k∥\|k\| позначає абсолютну різницю між kk і найближчим повним квадратом. Наприклад, ∥13∥=3\|13\|=3, оскільки найближчий повний квадрат до 1313 — це 1616. Обчисліть найменше натуральне число nn таке, що ∥1∥+∥2∥+⋯+∥n∥n=100.\frac{\|1\|+\|2\|+\cdots+\|n\|}{n}=100.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-139

Шляхи на решітці з правилами повороту

Нехай S={(x,y)∈Z2∣0≤x≤11,0≤y≤9}S=\{(x, y) \in \mathbb{Z}^2 \mid 0 \leq x \leq 11, 0 \leq y \leq 9\}. Обчисліть кількість послідовностей (s0,s1,…,sn)(s_0, s_1, \ldots, s_n) з елементів множини SS (для довільного натурального числа n≥2n \geq 2), які задовольняють такі умови: - s0=(0,0)s_0 = (0,0) і s1=(1,0)s_1 = (1,0), - s0,s1,…,sns_0, s_1, \ldots, s_n різні, - для всіх цілих чисел 2≤i≤n2 \leq i \leq n точка sis_i одержана обертанням si−2s_{i-2} навколо si−1s_{i-1} на 90∘90^\circ або 180∘180^\circ за годинниковою стрілкою.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-111

Четвірки із симетричними умовами на суми

Аліса задумала чотири натуральні числа a≤b≤c≤da \leq b \leq c \leq d, які задовольняють {ab+cd,ac+bd,ad+bc}={40,70,100}\{ab + cd, ac + bd, ad + bc\} = \{40, 70, 100\}. Знайдіть усі можливі четвірки (a,b,c,d)(a, b, c, d), які могла задумати Аліса.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-140

Очікувана перша спільна часткова сума

Випадкові послідовності a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots і b1,b2,…b_{1}, b_{2}, \ldots вибрано так, що кожен елемент кожної послідовності вибрано незалежно та рівномірно з множини {0,1,2,3,…,100}\{0,1,2,3, \ldots, 100\}. Обчисліть математичне сподівання найменшого невід'ємного цілого числа ss такого, що існують натуральні числа mm і nn, для яких s=∑i=1mai=∑j=1nbj.s=\sum_{i=1}^{m} a_{i}=\sum_{j=1}^{n} b_{j} .
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-103

Очікувана кількість видимих кольорів на колі

Є одиничне коло, спочатку пофарбоване в білий колір. Щосекунди ви навмання рівномірно вибираєте дугу кола довжиною 11 і фарбуєте її в новий колір. Щоразу використовується новий колір, і нова фарба перекриває стару. Нехай cnc_{n} — математичне сподівання кількості видимих кольорів після nn секунд. Обчисліть lim⁡n→∞cn\lim_{n \rightarrow \infty} c_{n}.
10–11 класиГеометрична прогресія4 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.