Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 140 задач
ГеометріяВизначні точки та лінії трикутника
Балтійський шляхBW-1997-014

Пряма MN та інцентр гострокутного трикутника

У гострокутному трикутнику ABCABC бісектриси кутів ∠A\angle A, ∠B\angle B і ∠C\angle C перетинають описане коло вдруге в точках A1A_{1}, B1B_{1} і C1C_{1} відповідно. Нехай MM — точка перетину прямих ABAB і B1C1B_{1}C_{1}, а NN — точка перетину прямих BCBC і A1B1A_{1}B_{1}. Доведіть, що пряма MNMN проходить через інцентр трикутника ABCABC.
10–11 класиТочка перетину бісектрис
Балтійський шляхBW-1996-002

Центри описаних кіл в одиничному квадраті

Нехай ABCDABCD — одиничний квадрат, а PP і QQ — точки площини такі, що QQ — центр описаного кола трикутника BPCBPC, а DD — центр описаного кола трикутника PQAPQA. Знайдіть усі можливі значення довжини відрізка PQPQ.
10–11 класиОписане коло
Балтійський шляхBW-1994-012

Спільна точка прямих O1S1, O2S2 і O3S3

Вписане коло трикутника A1A2A3A_{1} A_{2} A_{3} дотикається до сторін A2A3A_{2} A_{3}, A3A1A_{3} A_{1} і A1A2A_{1} A_{2} у точках S1S_{1}, S2S_{2}, S3S_{3} відповідно. Нехай O1O_{1}, O2O_{2}, O3O_{3} — центри вписаних кіл трикутників A1S2S3A_{1} S_{2} S_{3}, A2S3S1A_{2} S_{3} S_{1} і A3S1S2A_{3} S_{1} S_{2} відповідно. Доведіть, що прямі O1S1O_{1} S_{1}, O2S2O_{2} S_{2} і O3S3O_{3} S_{3} перетинаються в одній точці.
10–11 класиВписане коло
Балтійський шляхBW-1993-018

Вписаний чотирикутник з кутами, рівними центральним

Опуклий чотирикутник ABCDA B C D вписано в коло з центром OO. Кути ∠AOB,∠BOC,∠COD\angle A O B, \angle B O C, \angle C O D і ∠DOA\angle D O A, узяті в деякому порядку, за величиною збігаються з кутами чотирикутника ABCDA B C D. Доведіть, що ABCDA B C D — квадрат.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Балтійський шляхBW-1992-017

Периметр нетупокутного трикутника і діаметр описаного кола

Доведіть, що периметр нетупокутного трикутника завжди більший за подвоєний діаметр описаного кола.
10–11 класиНерівність трикутника
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1992-003

Мінімальний периметр трикутника із заданим вписаним колом

Доведіть, що серед усіх трикутників з радіусом вписаного кола 11 рівносторонній має найменший периметр.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1990-003

Трикутник найменшого периметра через внутрішню точку

Нехай ABCABC — трикутник, а PP — внутрішня точка трикутника ABCABC. Припустимо, що пряма ll, яка проходить через PP, але не через AA, перетинає ABAB і ACAC (або їх продовження за BB чи CC) у точках QQ і RR відповідно. Знайдіть пряму ll таку, щоб периметр трикутника AQRAQR був найменшим можливим.
10–11 класиЗовнівписане коло
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1988-003

Трикутник на сфері, дотичний до внутрішньої сфери

Дві концентричні сфери мають радіуси rr і RR, r<Rr < R. Ми намагаємося вибрати точки AA, BB і CC на поверхні більшої сфери так, щоб усі сторони трикутника ABCA B C дотикалися до поверхні меншої сфери. Доведіть, що точки можна вибрати тоді й лише тоді, коли R≤2rR \leq 2 r.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-0000-001

Чотирикутник із серединами сторін на колі

Нехай Q1\mathcal{Q}_1 — чотирикутник, у якого середини сторін лежать на колі. Доведіть, що існує вписаний чотирикутник Q2\mathcal{Q}_2 з тими самими довжинами сторін, що й у чотирикутника Q1\mathcal{Q}_1, такий, що два кути в чотирикутнику Q2\mathcal{Q}_2 рівні.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2025-004

Інцентри, зовнішні дотичні та спільна хорда

Нехай ABCABC — трикутник з описаним колом Γ\Gamma і AB≠ACAB \neq AC. Нехай DD і EE лежать на дузі BCBC кола Γ\Gamma, що не містить AA, так, що ∠BAE=∠DAC\angle BAE = \angle DAC. Нехай інцентри трикутників BAEBAE і CADCAD — це XX і YY відповідно, а зовнішні дотичні до вписаних кіл трикутників BAEBAE і CADCAD перетинаються в точці ZZ. Доведіть, що ZZ лежить на спільній хорді кола Γ\Gamma й описаного кола трикутника AXYAXY.
10–11 класиТеорема про тризуб
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-001

Параболи з директрисами, визначеними чотирикутником

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Визначимо параболи PA\mathcal{P}_A, PB\mathcal{P}_B, PC\mathcal{P}_C і PD\mathcal{P}_D так, щоб вони мали директриси BDBD, CACA, DBDB і ACAC та фокуси AA, BB, CC і DD відповідно. Доведіть, що жодні дві з цих парабол не перетинаються більше ніж один раз. (Парабола з директрисою ℓ\ell і фокусом PP складається з усіх точок XX, для яких PXPX дорівнює відстані від PP до прямої ℓ\ell.)
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-041

Геометричне місце центра описаного кола з бісектрисою

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, що перетинаються в різних точках AA і BB. Точка XX рухається по колу ω1\omega_{1}, а точка YY на колі ω2\omega_{2} вибрана так, що ABAB ділить навпіл кут ∠XAY\angle XAY. Доведіть, що коли XX рухається по колу ω1\omega_{1}, центр описаного кола трикутника △AXY\triangle AXY (якщо він існує) рухається по фіксованій прямій.
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-062

Перетин кіл у рівносторонньому трикутнику

Нехай △ABC\triangle ABC — рівносторонній трикутник зі стороною 66. Нехай PP — точка всередині трикутника △ABC\triangle ABC така, що ∠BPC=120∘\angle BPC = 120^\circ. Коло з діаметром AP‾\overline{AP} перетинає описане коло трикутника △ABC\triangle ABC ще раз у точці X≠AX \neq A. Відомо, що AX=5AX = 5. Обчисліть довжину відрізка XPXP.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2025-009

Гострокутний трикутник і пряма KT через центр кола

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, у якому ∣AB∣>∣AC∣|AB| > |AC|, нехай ω\omega — описане коло трикутника △ABC\triangle ABC з центром OO. Висота з вершини AA перетинає BCBC у точці DD і перетинає ω\omega вдруге в точці PP. Позначимо через HH ортоцентр трикутника △ABC\triangle ABC і нехай KK — точка на відрізку BCBC така, що ∣BD∣=∣KC∣|BD| = |KC|. Описане коло трикутника △PKH\triangle PKH перетинає ω\omega вдруге в точці QQ і перетинає пряму BCBC вдруге в точці NN. Нехай TT — точка на прямій ADAD така, що TN⊥PQTN \perp PQ. Доведіть, що пряма KTKT проходить через OO.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2025-008

Перетини описаних кіл і ортоцентр

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, у якому ∣AB∣>∣AC∣|AB| > |AC|, а ω\omega — описане коло △ABC\triangle ABC з центром OO. Висота з AA перетинає BCBC у точці DD і перетинає ω\omega вдруге в точці PP. Нехай HH — ортоцентр △ABC\triangle ABC, а KK — точка на відрізку BCBC така, що ∣BD∣=∣KC∣|BD| = |KC|. Описане коло △PKH\triangle PKH перетинає ω\omega вдруге в точці QQ і перетинає пряму BCBC вдруге в точці NN. Нехай TT — точка на прямій ADAD така, що TN⊥PQTN \perp PQ. Доведіть, що пряма KTKT проходить через OO.
10–11 класиТочка перетину висот
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2025-013

Колінеарність центрів описаних кіл трикутника

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO. Нехай O1O_1 і O2O_2 — центри описаних кіл трикутників ABOABO і ACOACO відповідно. Припустімо, що описане коло трикутника AO1O2AO_1O_2 перетинає відрізок BCBC у двох різних точках PP і QQ (відмінних від кінцевих точок), причому чотири точки B,P,Q,CB, P, Q, C йдуть у цьому порядку вздовж відрізка. Нехай O3O_3 — центр описаного кола трикутника OPQOPQ. Доведіть, що три точки $A, O, $ і O3O_3 лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2025-004

Біцентричний чотирикутник з радіусами вписаних кіл

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник із вписаним колом радіуса 66. Нехай продовження сторін ABAB і DCDC за точки BB і CC відповідно перетинаються в точці PP, а продовження сторін ADAD і BCBC за точки DD і CC відповідно перетинаються в точці QQ. Радіуси вписаних кіл трикутників PBCPBC і QCDQCD дорівнюють 55 і 33 відповідно. Знайдіть BCCD\frac{BC}{CD}.
10–11 класиВписане коло
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-033

Висоти з цілим радіусом вписаного кола

Скільки існує впорядкованих трійок (a,b,c)(a, b, c) натуральних чисел, де a≤b≤c≤9a \le b \le c \le 9, таких, що існує невироджений трикутник △ABC\triangle ABC з цілим радіусом вписаного кола, для якого a,ba, b і cc — довжини висот з AA на BC‾\overline{BC}, з BB на AC‾\overline{AC} і з CC на AB‾\overline{AB} відповідно? (Нагадаємо, що радіус вписаного кола трикутника — це радіус найбільшого можливого кола, яке можна вписати в трикутник.) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2024-001

Відбиття від бісектрис інцентра і перпендикулярність

Нехай ABCABC — трикутник з інцентром II. Припустімо, що пряма, симетрична прямій ABAB відносно CICI, і пряма, симетрична прямій ACAC відносно BIBI, перетинаються в точці XX. Доведіть, що пряма XIXI перпендикулярна до BCBC. (Інцентр — це точка перетину трьох бісектрис кутів.)
10–11 класиСиметрія
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2024-005

Побудова ортоцентра паралельною лінійкою

Спочатку на площині позначено три неколінеарні точки AA, BB і CC. Ви маєте олівець і двобічну лінійку шириною 1. З їх допомогою ви можете виконувати такі операції: - Позначити довільну точку на площині. - Позначити довільну точку на вже проведеній прямій. - Якщо позначено дві точки P1P_1 і P2P_2, провести пряму, що сполучає P1P_1 і P2P_2. - Якщо проведено дві непаралельні прямі ℓ1\ell_1 і ℓ2\ell_2, позначити перетин прямих ℓ1\ell_1 і ℓ2\ell_2. - Якщо проведено пряму ℓ\ell, провести пряму, паралельну до ℓ\ell, що знаходиться на відстані 1 від ℓ\ell (зауважте, що можна провести дві такі прямі). Доведіть, що за допомогою цих операцій можна позначити ортоцентр трикутника ABCA B C.
10–11 класиЗадачі на побудову (алгоритмічна…2 розв’язки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2024-004

Точки на сторонах трикутника і рівні відрізки

Нехай △ABC\triangle A B C — гострокутний трикутник, у якому ∣AB∣<∣AC∣|A B|<|A C|. Дано точки DD і EE на відрізках ABA B і ACA C відповідно. Нехай PP — точка така, що ∣PB∣=∣PD∣|P B|=|P D| і ∣PC∣=∣PE∣|P C|=|P E|. Нехай XX — точка на дузі ACA C описаного кола трикутника △ABC\triangle A B C, яка не містить BB. Пряма XAX A перетинає описане коло трикутника △ADE\triangle A D E ще раз у точці YY. Доведіть, що ∣PX∣=∣PY∣|P X|=|P Y|.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-045

Колінеарність у трикутнику з вписаним колом

Нехай ABCABC — трикутник, а Ω\Omega — його описане коло. Позначимо через A′A' точку, діаметрально протилежну точці AA на колі Ω\Omega. Нехай II — центр кола, вписаного в трикутник ABCABC, а EE і FF — точки дотику вписаного кола зі сторонами ACAC і ABAB відповідно. Описане коло трикутника AEFAEF вдруге перетинає коло Ω\Omega в точці XX. Доведіть, що точки A′A', II і XX лежать на одній прямій.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-048

Відбиття зовнівписаного центра і сума кутів

Нехай ABCABC — трикутник і нехай JJ — центр його AA-зовнівписаного кола. Нехай KK — точка, симетрична точці JJ відносно відрізка [BC][BC]. Нехай EE і FF — точки на прямих (BJ)(BJ) і (CJ)(CJ) такі, що EAB^=CAF^=90∘\widehat{EAB} = \widehat{CAF} = 90^{\circ}. Доведіть, що FKE^+FJE^=180∘\widehat{FKE} + \widehat{FJE} = 180^{\circ}.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-053

Дотичні й середина відрізка точок дотику зовнівписаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, а A1A_{1}, B1B_{1} і C1C_{1} — точки дотику відповідно AA-зовнівписаного кола, позначеного ωA\omega_{A}, зі стороною BCBC та променями [AC)[AC) і [AB)[AB). Нехай PP — середина відрізка [B1C1][B_{1}C_{1}]. Пряма (A1P)(A_{1}P) вдруге перетинає коло ωA\omega_{A} у точці XX. Дотична до описаного кола трикутника ABCABC у точці AA і дотична до кола ωA\omega_{A} у точці XX перетинаються в точці RR. Доведіть, що RX=RPRX = RP.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-124

Прямокутний трикутник з висотою, бісектрисою й медіаною

Нехай ABCABC — трикутник із ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ. Нехай DD, EE і FF — основи висоти, бісектриси та медіани, проведених з AA до BCBC відповідно. Якщо DE=3DE = 3 і EF=5EF = 5, обчисліть довжину BCBC.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.