Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

89 задач
АлгебраФункціональне рівняння Коші та споріднені рівняння
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-002

Розфарбування натуральних чисел з локальною адитивністю

Знайдіть найменше натуральне число kk, для якого існують розфарбування натуральних чисел Z>0\mathbb{Z}_{>0} у kk кольорів і функція f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0} з такими двома властивостями: (i) Для всіх натуральних чисел m,nm, n одного кольору f(m+n)=f(m)+f(n)f(m+n)=f(m)+f(n). (ii) Існують натуральні числа m,nm, n такі, що f(m+n)≠f(m)+f(n)f(m+n) \neq f(m)+f(n). У розфарбуванні Z>0\mathbb{Z}_{>0} у kk кольорів кожне число зафарбовано рівно в один із kk кольорів. І в (i), і в (ii) натуральні числа m,nm, n не обов’язково різні.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…3 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2015-003

Адитивна функція з ідемпотентністю

Функція f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} задовольняє f(f(a))=f(a)іf(a+b)=f(a)+f(b)f(f(a)) = f(a) \quad \text{і} \quad f(a+b) = f(a) + f(b) для всіх дійсних чисел a,ba, b. Доведіть, що для всіх дійсних xx існує єдине yy таке, що f(y)=0f(y) = 0 і x=y+f(z)x = y + f(z) для деякого дійсного zz.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-005

Функція на додатних раціональних числах з нерівностями

Позначимо через Q+\mathbb{Q}^+ множину всіх додатних раціональних чисел. Нехай f ⁣:Q+→Rf\colon \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{R} — функція, що задовольняє такі умови: - для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^+ виконується нерівність f(x) f(y)⩾f(xy)f(x)\,f(y) \geqslant f(xy); - для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^+ виконується нерівність f(x)+f(y)⩽f(x+y)f(x) + f(y) \leqslant f(x+y); - існує раціональне число a>1a > 1 таке, що f(a)=af(a) = a. Доведіть, що f(x)=xf(x) = x для всіх x∈Q+x \in \mathbb{Q}^+.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2012-004

Цілочислові функції з рівністю для трійок з нульовою сумою

Знайдіть усі такі функції f:Z→Zf:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, для яких при довільних цілих значеннях aa, bb, cc, що задовольняють умову a+b+c=0a+b+c=0, справджується рівність f2(a)+f2(b)+f2(c)=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).f^2(a)+f^2(b)+f^2(c)=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2012-006

Лінійна оцінка монотонної функції з одноколірною адитивністю

Кожне натуральне число пофарбували в червоний або в синій колір. Функція f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} має такі властивості: — якщо x⩽yx \leqslant y, то f(x)⩽f(y)f(x) \leqslant f(y); — якщо натуральні числа xx, yy і zz (не обов'язково різні) пофарбовано в один колір, а x+y=zx + y = z, то f(x)+f(y)=f(z)f(x) + f(y) = f(z). Доведіть, що існує додатне число aa таке, що для всіх натуральних xx справджується нерівність f(x)⩽axf(x) \leqslant ax.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-003

Функції Єнсена та середні багатьох змінних

Знайдіть усі натуральні числа nn з такою властивістю. Кожна функція f:R→Rf: \mathbf{R} \to \mathbf{R} така, що f(a+b2)=f(a)+f(b)2для всіх a,b∈R,f\left(\frac{a+b}{2}\right) = \frac{f(a)+f(b)}{2} \quad \text{для всіх } a, b \in \mathbf{R}, задовольняє також умову f(x1+x2+⋯+xnn)=f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)nf\left(\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}\right) = \frac{f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)}{n} для всіх x1,x2,…,xn∈Rx_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbf{R}.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2002-005

Функції з рівнянням від чотирьох змінних

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} такі, що (f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy−zt)+f(xt+yz)(f(x) + f(z))(f(y) + f(t)) = f(xy - zt) + f(xt + yz) для всіх дійсних x,y,z,tx, y, z, t.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1998-001

Функціональне рівняння із сумою та різницею аргументів

Знайдіть усі функції ff, визначені на множині раціональних чисел і зі значеннями в тій самій множині, такі, що рівність f(x+y)+f(x−y)=2f(x)+2f(y)f(x+y)+f(x-y)=2 f(x)+2 f(y) виконується для всіх раціональних чисел xx і yy.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-095

Рівняння f(f(x)+ay)=af(y)+x на раціональних числах

Нехай Q\mathbb{Q} — множина раціональних чисел. Для раціонального числа a≠0a \neq 0 знайдіть з доведенням усі функції f:Q→Qf: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}, які задовольняють рівняння f(f(x)+ay)=af(y)+xf(f(x)+a y)=a f(y)+x для всіх x,y∈Qx, y \in \mathbb{Q}.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-094

Функціональне рівняння з квадратичним і лінійним членами

Нехай α≠0\alpha \neq 0. Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} такі, що для всіх дійсних x,yx, y, f(x2+y+f(y))=f(x)2+αyf\left(x^{2}+y+f(y)\right)=f(x)^{2}+\alpha y
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-057

Адитивна функція з умовою для простих чисел

Для кожного натурального числа nn задано невід'ємне ціле число f(n)f(n) так, що виконуються такі три правила: i) f(ab)=f(a)+f(b)f(a b)=f(a)+f(b). ii) f(n)=0f(n)=0, якщо nn — просте число, більше за 10.. iii) f(1)<f(243)<f(2)<11f(1)<f(243)<f(2)<11. Відомо, що f(2106)<11f(2106)<11. Знайдіть значення f(96)f(96).
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-029

Функціональне рівняння f(x²+x+f(y)) = y+f(x)+f(x)²

Знайдіть усі функції f:R↦Rf: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} такі, що для всіх дійсних чисел xx і yy виконується: f(x2+x+f(y))=y+f(x)+f(x)2f\left(x^{2}+x+f(y)\right)=y+f(x)+f(x)^{2}
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-027

Бінарна операція з умовою асоціативності

Знайдіть усі бінарні операції ⋄\diamond: R>0×R>0→R>0\mathbb{R}_{>0} \times \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0} (тобто ⋄\diamond зіставляє кожній парі додатних дійсних чисел додатне дійсне число) такі, що для будь-яких дійсних чисел a,b,c>0a, b, c > 0 виконується рівність a⋄(b⋄c)=(a⋄b)⋅ca \diamond (b \diamond c) = (a \diamond b) \cdot c; та якщо a≥1a \ge 1, то a⋄a≥1a \diamond a \ge 1.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-012

Неможливість функціонального рівняння на цілих числах

Доведіть, що не існує функції f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} такої, що для всіх цілих чисел m,nm, n виконується: f(m+f(n))=f(m)−nf(m+f(n))=f(m)-n
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-028

Функціональне рівняння з невід'ємною функцією

Знайдіть усі пари (f,g)(f, g) функцій f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} такі, що для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} - f(x)≥0f(x) \geq 0, - f(x+g(y))=f(x)+f(y)+2yg(x)−f(y−g(y))f(x+g(y))=f(x)+f(y)+2 y g(x)-f(y-g(y)).
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-005

Наближені гомоморфізми на гіперкубі

Нехай SS — множина {−1,1}n\{-1,1\}^n, тобто nn-ок, кожна координата яких дорівнює −1-1 або 11. Для s=(s1,s2,…,sn), t=(t1,t2,…,tn)∈{−1,1}ns = (s_1, s_2, \ldots, s_n),\ t = (t_1, t_2, \ldots, t_n) \in \{-1,1\}^n означимо s⊙t=(s1t1,s2t2,…,sntn)s \odot t = (s_1 t_1, s_2 t_2, \ldots, s_n t_n). Нехай cc — додатна стала, а f:S→{−1,1}f: S \rightarrow \{-1,1\} — функція така, що існує принаймні (1−c)⋅22n(1-c) \cdot 2^{2n} пар (s,t)(s, t) з s,t∈Ss, t \in S, для яких f(s⊙t)=f(s)f(t)f(s \odot t) = f(s) f(t). Доведіть, що існує функція f′f' така, що f′(s⊙t)=f′(s)f′(t)f'(s \odot t) = f'(s) f'(t) для всіх s,t∈Ss, t \in S і f(s)=f′(s)f(s) = f'(s) принаймні для (1−10c)⋅2n(1-10c) \cdot 2^n значень s∈Ss \in S.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-046

Цілочисельна функція зі зсувною симетрією

Нехай функція f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} визначена на цілих числах і набуває цілих значень. Для будь-яких цілих чисел xx і yy функція ff задовольняє рівність f(x)+f(y)=f(x+1)+f(y−1)f(x)+f(y)=f(x+1)+f(y-1) Якщо f(2016)=6102f(2016)=6102 і f(6102)=2016f(6102)=2016, чому дорівнює f(1)f(1)?
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-050

Неперервне функціональне рівняння на додатних дійсних

Нехай f:R+→Rf: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R} — неперервна функція, яка задовольняє f(xy)=f(x)+f(y)+1f(x y)=f(x)+f(y)+1 для всіх додатних дійсних x,yx, y. Якщо f(2)=0f(2)=0, обчисліть f(2015)f(2015).
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2015-001

Функціональне рівняння з високими степенями

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} такі, що для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} f(x2015+f(y)2015)=f(x)2015+y2015.f(x^{2015} + f(y)^{2015}) = f(x)^{2015} + y^{2015}.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-021

Функція на невід'ємних числах зі значеннями f(19) і f(4)

Нехай ff — функція з невід'ємних цілих чисел у додатні дійсні числа така, що f(x+y)=f(x)⋅f(y)f(x+y) = f(x) \cdot f(y) виконується для всіх невід'ємних цілих чисел xx і yy. Якщо f(19)=524288kf(19) = 524288 k, знайдіть f(4)f(4) через kk.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-040

Функціональне рівняння з ітераціями на добутку abc

Нехай N\mathbb{N} — множина натуральних чисел. Знайдіть усі функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, які задовольняють рівняння fabc−a(abc)+fabc−b(abc)+fabc−c(abc)=a+b+cf^{abc-a}(abc) + f^{abc-b}(abc) + f^{abc-c}(abc) = a + b + c для всіх a,b,c≥2a, b, c \ge 2. (Тут f1(n)=f(n)f^1(n) = f(n) і fk(n)=f(fk−1(n))f^k(n) = f(f^{k-1}(n)) для кожного цілого kk, більшого за 1.)
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-001

Функціональне рівняння з квадратичною умовою

Знайдіть усі функції f:R→[0,∞)f : \mathbb{R} \to [0, \infty) такі, що для всіх дійсних чисел a,b,c,da, b, c, d, які задовольняють умову ab+bc+cd=0ab + bc + cd = 0, виконується рівність: f(a−b)+f(c−d)=f(a)+f(b+c)+f(d)f(a - b) + f(c - d) = f(a) + f(b + c) + f(d) (Тут R\mathbb{R} — множина дійсних чисел, а [0,∞)[0, \infty) — множина невід'ємних дійсних чисел.)
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-089

Бінарна операція з дистрибутивністю

Нехай ⊗\otimes — бінарна операція, яка двом додатним дійсним числам ставить у відповідність додатне дійсне число. Припустимо далі, що ⊗\otimes неперервна, комутативна (a⊗b=b⊗a)(a \otimes b = b \otimes a), дистрибутивна відносно множення (a⊗(bc)=(a⊗b)(a⊗c))(a \otimes (b c) = (a \otimes b)(a \otimes c)), а також що 2⊗2=42 \otimes 2 = 4. Розв’яжіть рівняння x⊗y=xx \otimes y = x відносно yy через xx при x>1x > 1.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбіркові тести на IMOTST-2010-026

Функціональне рівняння з аргументом четвертого степеня

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, які для всіх дійсних x,yx, y задовольняють рівняння: f(x4+y4)=xf(x3)+y2f(y2)f\left(x^{4}+y^{4}\right)=x f\left(x^{3}\right)+y^{2} f\left(y^{2}\right)
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2008-002

Функції на раціональних числах з f(2f(x)+f(y)) = 2x+y

Знайдіть усі функції ff, визначені на множині раціональних чисел, які набувають раціональних значень і для яких f(2f(x)+f(y))=2x+yf(2 f(x)+f(y))=2 x+y для всіх xx і yy.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.