Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

112 задач
КомбінаторикаГеометричні розфарбування
Київський турнір математичних боївKMB-07-08-011

Одноколірний трикутник з кутами 180°/7, 2·180°/7, 4·180°/7

Площину розфарбували в два кольори. Довести, що знайдеться трикутник з вершинами одного кольору, у якого кути рівні 17⋅180∘\frac{1}{7} \cdot 180^\circ, 27⋅180∘\frac{2}{7} \cdot 180^\circ, 47⋅180∘\frac{4}{7} \cdot 180^\circ.
8–9 класиГеометричні розфарбування
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-152

Добре пофарбовані кола при розфарбуванні круга

Коло називається «добре пофарбованим», якщо вершини будь-якого рівностороннього трикутника, вписаного в це коло, пофарбовані в різні кольори. Нехай ww – коло радіуса 22. а) Чи існує таке пофарбування точок замкнутого круга, обмеженого колом ww, у три кольори таке, що ww і будь-яке коло з радіусом більшим або рівним 11, яке дотикається до кола ww, є «гарно пофарбованим»? б) Чи існує таке розфарбування для семи кольорів?
10–11 класиГеометричні розфарбування
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-24-25-056

Кількість чорних квадратиків у прямокутнику 2025×25

Прямокутник 2025×252025\times25 поділений на квадратики 1×11\times1. Його короткі сторони пофарбовано в жовтий і блакитний колір, а довгі сторони — у чорний і червоний. Кожен квадратик 1×11\times1 фарбується в один із п'яти кольорів. Якщо відстань від його центра до всіх чотирьох сторін така, що найменшою є відстань до жовтої сторони, то він фарбується в жовтий колір. Аналогічно для блакитного, чорного та червоного кольорів. Якщо за цими правилами квадратик зафарбувати неможливо, бо відстань до принаймні двох сторін є однаковою, то його фарбують у білий колір. Знайдіть кількість квадратиків, пофарбованих у чорний колір.
5 класГеометричні розфарбування
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-20-21-026

Розфарбування відрізків у три кольори і різнобарвні трикутники

На площині розташовано 55 точок, жодні 33 з яких не лежать на одній прямій. Пофарбуйте всі 1010 відрізків, що сполучають кожну пару точок, в один із трьох кольорів таким чином, щоб утворилося не менше ніж 77 трикутників із вершинами в цих точках, кожна сторона яких має різний колір.
4 класГеометричні розфарбування
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-018

Можливість зафарбування квадрата 10×10 у чотири кольори для фігурок

Чи можна зафарбувати всі комірки квадрата 10×1010 \times 10 у чотири кольори так, щоб кожна з фігурок (рис. 11.5), у разі розташування в будь-якому місці всередині цього зафарбованого квадрата, закривала рівно по одній клітинці кожного кольору?
4 класКонструкція через періодичність
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-062

Фарбування квадрата 10×10 у чотири кольори для фігурок

Чи можна зафарбувати всі комірки квадрата 10×1010 \times 10 у чотири кольори так, щоб кожна з фігурок (рис. 11.6), у разі розташування в будь-якому місці всередині цього пофарбованого квадрата, закривала рівно по одній клітинці кожного кольору? Примітка. Повертати фігурки в інше положення, наприклад коли три клітинки розташовані по вертикалі, не можна.
7 класГеометричні розфарбування
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-17-18-023

Дві чорні клітинки в рядках, стовпцях і діагоналях квадрата

Чи можна у квадраті 4×44 \times 4, що складається із 1616 клітинок 1×11 \times 1, зафарбувати деякі з клітинок у чорний колір таким чином, щоб у кожному рядку, кожному стовпчику та на кожній діагоналі квадрата були розташовані рівно по дві чорні клітинки?
4 класГеометричні розфарбування
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-17-18-069

Двокольорове розфарбування точок рівностороннього трикутника

Нехай дано рівносторонній трикутник ABCABC зі стороною aa, точки DD, EE, GG — середини сторін ABAB, BCBC, ACAC відповідно. Нехай HH — точка, що симетрична DD відносно сторони BCBC (рис. 10.7). Точки AA, BB, CC, DD, EE, GG, HH пофарбовано в один із двох кольорів: жовтий або синій. а) Доведіть, що коли вершини BB, EE пофарбовано однаковим кольором, то за будь-якого розфарбування інших точок завжди знайдеться рівносторонній трикутник з однокольоровими вершинами. б) Чи буде справджуватися останнє твердження, якщо вершини BB, EE пофарбовано різними кольорами?
6 класГеометричні розфарбування
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2002-012

Транспортні компанії для пар з 2²⁰⁰² планет

Уряд деякої галактики, у якій 220022^{2002} планет, планує утворити для організації транспортного сполучення 22002−12^{2002} - 1 компанію так, щоб перевезення між кожною парою планет забезпечувалися тільки однією компанією і щоб для будь-якої планети AA і будь-якої компанії CC існувала єдина планета BB така, що компанія CC займається перевезеннями між планетами AA і BB. Чи зможе Уряд цієї галактики здійснити свої наміри?
Геометричні розфарбування
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-24-25-005

Кольорові прямі з гарними та поганими перетинами

Назвемо пряму ll — кольоровою, якщо на ній існує точка PP, що розбиває пряму ll на два промені — один синього кольору, а інший — жовтого. Точка PP при цьому називається точкою поділу прямої ll. Назвемо перетин двох кольорових прямих гарним, якщо дві прямі мають однаковий колір у точці перетину, і поганим — у протилежному випадку. Визначте всі натуральні числа n⩾2n \geqslant 2, для яких існує набір із nn попарно різних кольорових прямих, що задовольняє такі умови: - серед прямих немає двох паралельних, та жодні три прямі не перетинаються в одній точці; - жодна з точок перетину двох прямих не є точкою поділу кожної з цих прямих; - для кожної лінії з набору кількість гарних та поганих перетинів відрізняється щонайбільше на 1.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-004

Розфарбування розбитої на триміно дошки 3n × 3n

Дошку розміром 3n×3n3n \times 3n, де n⩾2018n \geqslant 2018, деяким чином розбили на прямокутники 1×31 \times 3. Доведіть, що обов’язково можна пофарбувати кожну одиничну клітинку 1×11 \times 1 дошки в один із трьох кольорів таким чином, щоб виконувалися умови: - клітинок кожного кольору є однакова кількість; - немає двох сусідніх по стороні клітинок одного кольору; - у кожному прямокутнику розбиття 1×31 \times 3 якогось кольору немає.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-006

Двоколірна дошка n × n з двома одноколірними шляхами

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — непарне натуральне число. Кожну клітинку дошки розміром n×nn \times n пофарбовано в жовтий або блакитний колір. Назвемо послідовність клітин S1,S2,…,SmS_1, S_2, \ldots, S_m шляхом, якщо всі вони одного кольору та клітинки SiS_i та SjS_j мають спільне ребро тоді і лише тоді, коли ∣i−j∣=1|i - j| = 1. Припустимо, що всі клітинки жовтого кольору утворюють шлях і всі клітинки блакитного кольору утворюють шлях. Доведіть, що один із двох шляхів починається або закінчується в центрі дошки.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-012

Кількість гарних розфарбувань 4026 точок двох кольорів

На площині відмітили 40264026 точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. При цьому 20132013 точок є вершинами опуклого многокутника, а інші 20132013 точок лежать усередині цього многокутника. Дозволено пофарбувати кожну точку в один із двох кольорів. Розфарбування буде гарним, якщо деякі пари точок можна сполучити відрізками з дотриманням таких умов: - кожен відрізок сполучає точки однакового кольору; - жодні два проведені відрізки не перетинаються у своїх внутрішніх точках; - для довільної пари точок однакового кольору існує шлях по проведених відрізках від однієї точки до іншої. Зверніть увагу, що сторони опуклого 20132013-кутника не є автоматично проведеними відрізками, хоча деякі з них (або й усі) за потреби можна провести. Доведіть, що загальна кількість гарних розфарбувань не залежить від конкретного розташування точок, і знайдіть цю кількість.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-002

Розташування неб'ючих королів з 25 у рядку і стовпці

На шахівниці розміром 100×100100 \times 100 клітинок розташовано 25002500 королів таким чином, що виконуються дві умови: 1) жодні два королі не б'ють один одного (тобто немає двох королів, що стоять на клітинках хоча б з однією спільною вершиною); 2) кожен рядок та кожен стовпець містить рівно 2525 королів. Знайдіть кількість усіх таких розташувань, якщо два розташування, що утворюються одне з іншого поворотом або симетрією, вважають різними.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-012

Розфарбування сторін і діагоналей n-кутника в k кольорів

Сторони та діагоналі правильного nn-кутника розфарбовано в kk кольорів так, що для кожного кольору aa та кожної пари різних вершин AA і BB многокутника або існує третя вершина CC така, що відрізки ACAC і CBCB пофарбовано в колір aa або сам відрізок ABAB пофарбовано в колір aa, і не існує жодного трикутника з вершинами серед вершин даного nn-кутника, сторони якого пофарбовано в три різні кольори. Доведіть, що k≤2k \le 2.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-003

Найбільша кількість триколірних точок з умовою всередині трикутників

Знайдіть найбільше ціле число nn, для якого в площині можна відмітити nn різних точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій, і пофарбувати кожну з цих точок в один з трьох кольорів — червоний, зелений або жовтий — так, щоб одночасно: усередині кожного трикутника з трьома червоними вершинами містилася хоча б одна зелена точка; усередині кожного трикутника з трьома зеленими вершинами містилася хоча б одна жовта точка; усередині кожного трикутника з трьома жовтими вершинами містилася хоча б одна червона точка.
10–11 класиОпуклі множини
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-001

Гра на клітчастій дошці з квадратами k × k

Задано натуральне число k⩽2022k \leqslant 2022. Анна та Богдан грають у таку гру на клітчастій дошці розміром 2022×20222022 \times 2022 клітинки. На початку гри всі клітинки є білими. Гравці роблять ходи по черзі, починає Анна. У свій хід Анна може або пофарбувати одну білу клітинку в жовтий колір, або пропустити свій хід, а Богдан у свій хід може або пофарбувати квадрат розміром k×kk \times k клітинок, усі клітинки якого є білими, у синій колір, або пропустити свій хід. Як тільки обидва гравці пропускають свій хід, гра завершується, і того, хто зафарбував більше клітинок, оголошують переможцем (у грі можлива нічия). Для кожного 1⩽k⩽20221 \leqslant k \leqslant 2022 визначте, чи має хтось із гравців виграшну стратегію, і якщо так, то хто саме.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-015

Кролик на розфарбованій нескінченній сітці

Мисливець і невидимий кролик грають у гру на нескінченній клітинній дошці. Спочатку мисливець фіксує розфарбування клітин у скінченну кількість кольорів. Потім кролик таємно обирає клітину, з якої стартує. Щохвилини кролик повідомляє мисливцеві колір клітини, в якій він перебуває, а потім таємно переміщується в сусідню клітину, в якій він ще не був (дві клітини сусідні, якщо мають спільну сторону). Мисливець виграє, якщо через деякий скінченний час або - кролик не може ходити; або - мисливець може визначити клітину, з якої кролик стартував. Визначте, чи існує виграшна стратегія для мисливця.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2018-004

Гарантована кількість червоних камінців у грі на сітці

На координатній площині відмічено всі точки (x,y)(x, y) з натуральними координатами xx і yy, що не перевищують 20. Спочатку кожна із 400 відмічених точок не зайнята. Аліна і Богдан грають у таку гру: вони по черзі кладуть камінці у відмічені, ще не зайняті точки, Аліна розпочинає першою. Своїм ходом Аліна має покласти новий червоний камінець у відмічену незайняту точку таким чином, щоб відстань між довільними двома точками із червоними камінцями не дорівнювала 5\sqrt{5}. Богдан своїм ходом кладе синій камінець у довільну відмічену незайняту точку (точка із синім камінцем може знаходитися на будь-якій відстані від довільної іншої зайнятої точки). Гра припиняється, коли один із гравців не може покласти камінець. Знайдіть найбільше значення KK, при якому Аліна гарантовано зможе покласти принаймні KK червоних камінців, незважаючи на ходи Богдана.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2016-002

Найбільша кількість доміно без 2×2 з покритим верхнім рядом

Задано натуральні числа mm, nn, де n⩾mn \geqslant m. Визначте найбільшу кількість доміно (прямокутників розміром 1×21 \times 2 чи 2×12 \times 1), які можна розташувати на дошці, що має mm рядків та 2n2n стовпчиків, розрізаних на квадратики 1×11 \times 1, щоб виконувалися такі умови: - кожне доміно покриває рівно дві сусідні комірки дошки; - жодні два доміно не перекриваються; - жодні два доміно не утворюють разом квадрат 2×22 \times 2; - верхній ряд дошки повністю покритий nn фігурками доміно.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-044

Розфарбування 2012 точок на прямій і кількість способів

На прямій позначили 20122012 точок на рівних відстанях одна від одної. Кожну точку треба пофарбувати у жовтий чи в зелений колір, щоб виконувалася така умова: якщо AA, BB і CC — три позначені точки, AB=BCAB=BC і точка AA має той самий колір, що й CC, то і точку BB пофарбовано в той же колір. Визначте кількість способів розфарбувати точки.
7–9 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-024

Розфарбування площини з осями антисиметрії

Припустімо, що кожну точку площини пофарбовано в білий або чорний колір. Будемо казати, що пряма ℓ\ell є віссю антисиметрії цього розфарбування, якщо будь-які дві різні точки, симетричні відносно прямої ℓ\ell, мають різні кольори. З'ясуйте, чи існує розфарбування таке, що для кожної прямої kk існує вісь антисиметрії ℓ∥k\ell \parallel k.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-013

Одноколірний прямокутник у пофарбованих смугах

У декартовій координатній площині означимо смугу Sn={(x,y)∣n≤x<n+1}S_{n}=\{(x, y) \mid n \leq x<n+1\} для кожного цілого nn. Припустимо, що кожна смуга SnS_{n} пофарбована або в червоний, або в синій колір, і нехай aa і bb — два різні натуральні числа. Доведіть, що існує прямокутник зі сторонами aa і bb такий, що його вершини мають однаковий колір.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2001-001

Незалежні квадрати на решітці

Нехай AA — скінченна множина квадратів на координатній площині така, що вершинами всіх квадратів, які належать AA, є (m,n)(m, n), (m+1,n)(m+1, n), (m,n+1)(m, n+1) і (m+1,n+1)(m+1, n+1) для деяких цілих чисел mm і nn. Доведіть, що існує підмножина BB множини AA така, що BB містить принаймні 25%25\% квадратів з множини AA, але жодні два квадрати з множини BB не мають спільної вершини.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Балтійський шляхBW-1999-010

Розбиття круга без одиничної відстані

Чи можна точки круга радіуса 11 (включно з його межею) розбити на три підмножини так, щоб жодна підмножина не містила двох точок, відстань між якими дорівнює 11?
10–11 класиГеометричні розфарбування

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.