Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

81 задача
ГеометріяКоло і подібність
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-014

Периметр шестикутника на перетинах з описаними колами

Точка PP розташована всередині трикутника ABCABC з довжинами сторін aa, bb, cc. Точки A1A_1, B1B_1 і C1C_1 — це точки перетину прямих PAPA, PBPB і PCPC з колами, що описані навколо трикутників PBCPBC, PACPAC і PABPAB відповідно. Доведіть, що периметр pp шестикутника AB1CA1BC1AB_1CA_1BC_1 задовольняє нерівність p≥2(ab+bc+ca)p \ge 2\left(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}\right).
Коло і подібність
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-024

Середини діагоналей вписаного чотирикутника і рівність кутів

Розглянемо вписаний чотирикутник ABCDABCD. Нехай точки MM, NN — середини діагоналей ACAC і BDBD відповідно. Доведіть, що коли ∠AMB=∠AMD\angle AMB = \angle AMD, то ∠ANB=∠BNC\angle ANB = \angle BNC.
9 класМетричні співвідношення в колі
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-037

Пряма PT ділить навпіл відрізок MN при куті 90°

Продовження сторін ABAB і CDCD опуклого чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точці PP, а діагоналі перетинаються в точці QQ. Точки MM та NN — середини діагоналей ACAC і BDBD відповідно. Описані кола трикутників BCQBCQ і MNQMNQ перетинаються вдруге в точці TT. Доведіть, що коли ∠APD=90∘\angle APD = 90^\circ, то пряма PTPT ділить відрізок MNMN навпіл.
10 класКоло і подібність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-002

Симетрична середина BC на EF та AM до AO

У гострокутному нерівнобедреному трикутнику ABCABC провели висоти BEBE і CFCF. Позначимо через MM та OO середину сторони BCBC та центр описаного кола трикутника ABCABC відповідно. Відомо, що точка, симетрична точці MM відносно точки OO, лежить на прямій EFEF. Знайдіть усі можливі значення відношення AMAO\dfrac{AM}{AO}.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-012

Паралелограм BPTQ і відношення BT до BM

Точка MM — середина сторони ACAC гострокутного трикутника ABCABC. Коло ω\omega проходить через точки BB і MM та вдруге перетинає сторони ABAB і BCBC у точках PP і QQ відповідно. Нехай точка TT така, що чотирикутник BPTQBPTQ — паралелограм. Припустимо, що TT лежить на описаному колі трикутника ABCABC. Знайдіть усі можливі значення, яких може набувати відношення BT/BMBT/BM.
10–11 класиКоло і подібність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-012

Рівність відрізків QB і QR у трикутнику

Нехай задано трикутник ABCABC, у якому ∠B>∠C\angle B > \angle C. Нехай PP і QQ — дві різні точки на прямій ACAC такі, що ∠PBA=∠QBA=∠ACB\angle PBA = \angle QBA = \angle ACB, а точка AA лежить між PP і CC. Припустимо, що всередині відрізка BQBQ існує точка DD, для якої виконується рівність PD=PBPD = PB. Нехай промінь ADAD перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці R≠AR \ne A. Доведіть, що QB=QRQB = QR.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-002

Вписаний чотирикутник, середини сторін і спільна точка кіл

Нехай EE — точка перетину діагоналей вписаного чотирикутника ABCDABCD, FF — точка перетину прямих ABAB і CDCD, MM — середина сторони ABAB, NN — середина сторони CDCD. Кола, описані навколо трикутників ABEABE та ACNACN, удруге перетинаються в точці KK. Доведіть, що точки FF, KK, MM і NN лежать на одному колі.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-002

Вписаний чотирикутник і точки O, P, Q

Задано чотирикутник ABCDABCD, вписаний у коло з центром OO, PP — точка перетину діагоналей ACAC і BDBD, пряма BCBC не паралельна ADAD. Промені ABAB та DCDC перетинаються в точці EE. Коло з центром II, вписане в трикутник EBCEBC, дотикається до BCBC в точці T1T_1. Коло з центром JJ, зовнівписане в трикутник EADEAD, дотикається до сторони ADAD в точці T2T_2. Прямі IT1IT_1 та JT2JT_2 перетинаються в точці QQ. Доведіть, що точки OO, PP та QQ лежать на одній прямій.
10–11 класиКоло і подібність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-021

Точка перетину висот, середина EF і точка D

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник. Позначимо через EE і FF основи висот, проведених з BB і CC відповідно. Нехай HH — точка перетину прямих BEBE і CFCF. Нехай точка DD лежить з того самого боку від прямої BCBC, що й AA, і задовольняє умову: ∠DBC=∠DCB=∠BAC.\angle DBC = \angle DCB = \angle BAC. Нехай NN — середина відрізка EFEF. Доведіть, що точки HH, DD і NN лежать на одній прямій. Рисунок 23
10–11 класиКоло і подібність
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-003

Бісектриси кутів DAB та CXB і пряма BC

Нехай трикутник ABCABC з інцентром у точці II такий, що ∠CAB>∠ABC\angle CAB > \angle ABC. Нехай точка DD на відрізку BCBC така, що ∠CAD=∠ABC\angle CAD = \angle ABC. Нехай коло ww дотикається до сторони ACAC у точці AA та проходить через інцентр II. Нехай точка XX є другою точкою перетину кола ww та описаного кола трикутника ABCABC. Доведіть, що бісектриси кутів DABDAB та CXBCXB перетинаються в точці, що належить прямій BCBC.
10–11 класиТеорема про тризуб
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2018-006

Чотирикутник з рівними добутками сторін і рівними кутами

Опуклий чотирикутник ABCDABCD задовольняє умову AB⋅CD=BC⋅DAAB\cdot CD=BC\cdot DA. Точка XX усередині чотирикутника ABCDABCD є такою, що ∠XAB=∠XCD\angle XAB=\angle XCD і ∠XBC=∠XDA\angle XBC=\angle XDA. Доведіть, що ∠BXA+∠DXC=180∘\angle BXA+\angle DXC=180^\circ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2016-005

Вписаний шестикутник і радіуси трьох дотичних кіл

Опуклий шестикутник A1B1A2B2A3B3A_1B_1A_2B_2A_3B_3 вписано в коло Ω\Omega радіуса RR. Діагоналі A1B2A_1B_2, A2B3A_2B_3, A3B1A_3B_1 перетинаються в точці XX. Для i=1;2;3i = 1; 2; 3 позначимо через wiw_i коло, яке дотикається до відрізків XAiXA_i, XBiXB_i та дуги AiBiA_iB_i, що не містить інших вершин шестикутника, rir_i — радіус кола wiw_i. а) Доведіть, що R⩾r1+r2+r3R \geqslant r_1 + r_2 + r_3. б) Доведіть, що коли R=r1+r2+r3R = r_1 + r_2 + r_3, то 6 точок, де кола wiw_i дотикаються до діагоналей A1B2A_1B_2, A2B3A_2B_3, A3B1A_3B_1, лежать на одному колі.
10–11 класиКоло і подібність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-003

Описані кола трикутників KQH і FKM

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB>ACAB > AC, Γ\Gamma — описане коло, а точка HH — ортоцентр цього трикутника. Нехай точка FF — основа висоти, що проведена з вершини AA, а точка MM — середина сторони BCBC. Нехай QQ — точка на колі Γ\Gamma така, що ∠HQA=90∘\angle HQA = 90^\circ, KK — точка на колі Γ\Gamma така, що ∠HKQ=90∘\angle HKQ = 90^\circ. Нехай точки AA, BB, CC, KK та QQ різні та лежать на колі Γ\Gamma у наведеному порядку. Доведіть, що описані кола трикутників KQHKQH та FKMFKM дотикаються одне до одного.
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-052

Квадрат сторони AB вписаного чотирикутника AXBY

Нехай AXBYA X B Y — вписаний чотирикутник, а пряма ABA B і пряма XYX Y перетинаються в точці CC. Припустімо, що AX⋅AY=6A X \cdot A Y = 6, BX⋅BY=5B X \cdot B Y = 5 і CX⋅CY=4C X \cdot C Y = 4. Обчисліть AB2A B^{2}.
10–11 класиКоло і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-068

Відстань від B до прямої AM за рівності кутів

Нехай ABCABC — трикутник із ∠BAC>90∘\angle BAC > 90^{\circ}. Нехай DD — основа перпендикуляра з AA на сторону BCBC. Нехай MM і NN — середини відрізків BCBC і BDBD відповідно. Припустимо, що AC=2AC = 2, ∠BAN=∠MAC\angle BAN = \angle MAC і AB⋅BC=AMAB \cdot BC = AM. Обчисліть відстань від BB до прямої AMAM.
10–11 класиКоло і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-126

Трапеція з перетином діагоналі й описаного кола

Нехай ABCDABCD — трапеція з AB∥CDAB \parallel CD і AD=BDAD = BD. Нехай MM — середина сторони ABAB, а P≠CP \neq C — друга точка перетину описаного кола △BCD\triangle BCD з діагоналлю ACAC. Припустимо, що BC=27BC = 27, CD=25CD = 25 і AP=10AP = 10. Якщо MP=abMP = \frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb, обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиКоло і подібність2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-056

Довжина DE при CD = 4 у рівносторонньому трикутнику

Рівносторонній △ABC\triangle ABC має сторону завдовжки 66. Нехай ω\omega — коло через AA і BB таке, що прямі CACA і CBCB обидві дотикаються до кола ω\omega. Точка DD на колі ω\omega задовольняє CD=4CD = 4. Нехай EE — перетин прямої CDCD з відрізком ABAB. Чому дорівнює довжина відрізка DEDE?
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-016

Рівність радіусів описаних кіл при перетині двох кіл

Нехай Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — два кола, що перетинаються в точках MM і NN. Нехай AA і BB — точки дотику цих двох кіл з їхньою спільною зовнішньою дотичною, найближчою до MM. Нехай CC і DD — точки, симетричні точкам AA і BB відповідно відносно точки MM, а EE і FF — точки перетину (відмінні від MM) описаного кола трикутника MCDMCD з колами Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників MEFMEF і NEFNEF мають однаковий радіус.
9–11 класиРадикальна вісь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-052

Перетин діагоналей у вписаному чотирикутнику

Нехай AA, BB, CC, DD — чотири точки на колі, взяті у вказаному порядку, причому AB=3AB = 3, BC=5BC = 5, CD=6CD = 6 і DA=4DA = 4. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці PP. Обчисліть APCP\frac{AP}{CP}.
10–11 класиКоло і подібність
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-012

Дотичні в точках перетину кіл і відношення радіусів

Два кола O1O_1 і O2O_2 перетинаються у двох різних точках PP і QQ. Дотична до кола O1O_1 в точці PP перетинає коло O2O_2 в точці RR, відмінній від PP, а дотична до кола O2O_2 в точці QQ перетинає коло O1O_1 в точці SS, відмінній від QQ. Нехай XX — точка перетину двох прямих PRPR і QSQS. Якщо XR=9XR = 9 і XS=2XS = 2, чому дорівнює відношення r1r2\frac{r_1}{r_2}, де r1r_1 і r2r_2 — радіуси кіл O1,O2O_1, O_2 відповідно? Тут через YZYZ позначено довжину відрізка YZYZ.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-006

Точка на відрізку з відношенням дотичних

Нехай ABCABC — трикутник. Знайдіть усі точки PP на відрізку BCBC, що задовольняють таку властивість: якщо XX і YY — точки перетину прямої PAPA зі спільними зовнішніми дотичними до описаних кіл трикутників PABPAB і PACPAC, то (PAXY)2+PB⋅PCAB⋅AC=1.\left( \frac{PA}{XY} \right)^2 + \frac{PB \cdot PC}{AB \cdot AC} = 1.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-096

Кола, що перетинаються, та відношення дотичних

Є кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2}. Вони перетинаються у двох точках, одна з яких — точка AA. Точка BB лежить на колі ω1\omega_{1} так, що пряма ABA B дотикається до кола ω2\omega_{2}. Дотична до кола ω1\omega_{1} у точці BB перетинає ω2\omega_{2} у точках CC і DD, причому DD ближча до BB. Пряма ADA D знову перетинає ω1\omega_{1} у точці EE. Якщо BD=3B D=3 і CD=13C D=13, знайдіть відношення EB/EDE B / E D.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2011-002

Паралелограм з бісектрис кутів у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, протилежні сторони якого не паралельні, XX — точка перетину прямих ABAB і CDCD, а YY — точка перетину прямих ADAD і BCBC. Нехай бісектриса ∠AXD\angle AXD перетинає ADAD, BCBC у точках EE, FF відповідно, а бісектриса ∠AYB\angle AYB перетинає ABAB, CDCD у точках GG, HH відповідно. Доведіть, що EGFHEGFH — паралелограм.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-093

Трикутник із рівнобедреною добудовою та перетином

Нехай G1G2G3G_{1} G_{2} G_{3} — трикутник, у якому G1G2=7G_{1} G_{2}=7, G2G3=13G_{2} G_{3}=13 і G3G1=15G_{3} G_{1}=15. Нехай G4G_{4} — точка поза трикутником G1G2G3G_{1} G_{2} G_{3} така, що промінь G1G4→\overrightarrow{G_{1} G_{4}} перетинає внутрішність трикутника, G3G4=G4G2G_{3} G_{4}=G_{4} G_{2} і ∠G3G1G4=30∘\angle G_{3} G_{1} G_{4}=30^{\circ}. Нехай прямі G3G4G_{3} G_{4} і G1G2G_{1} G_{2} перетинаються в точці G5G_{5}. Знайдіть довжину відрізка G2G5G_{2} G_{5}.
10–11 класиТеорема про тризуб
Відбіркові тести на IMOTST-2011-013

Кола, що перетинаються, і дотична хорда

Кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} перетинаються в точках DD і PP. Спільна дотична до цих двох кіл, найближча до точки DD, дотикається до кола Γ1\Gamma_{1} в точці AA і до кола Γ2\Gamma_{2} в точці BB. Пряма ADA D перетинає Γ2\Gamma_{2} вдруге в точці CC. Нехай MM — середина відрізка BCB C. Доведіть, що ∠DPM=∠BDC\angle D P M=\angle B D C.
10–11 класиДотична кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.