Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

82 задачі
ГеометріяЛанцюжок подібних трикутників
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-010

Пошук кута в гострокутному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, DD — основа перпендикуляра з AA на BCBC, а MM — середина сторони ACAC. Нехай PP — точка на відрізку BMBM така, що ∠PAM=∠MBA\angle PAM = \angle MBA. Відомо, що ∠BAP=41∘\angle BAP = 41^\circ і ∠PDB=115∘\angle PDB = 115^\circ, знайдіть величину ∠BAC\angle BAC.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-020

Вписані в квадрат прямокутники

Прямокутник зі сторонами 11 і 33, квадрат зі стороною 11 і прямокутник RR вписані в більший квадрат, як показано на рисунку. Суму всіх можливих значень площі прямокутника RR можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де mm і nn — взаємно прості натуральні числа. Чому дорівнює m+nm + n? (A) 14 (B) 23 (C) 46 (D) 59 (E) 67
8–10 класиЛанцюжок подібних трикутників
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-008

Відношення у вписаному чотирикутнику з рівністю кутів

У трикутнику ABCABC припустимо, що точки DD і EE лежать на відрізках ABAB і ACAC відповідно. Нехай DD, BB, CC, EE лежать на одному колі, а точка PP лежить всередині чотирикутника DBCEDBCE, причому ∠BDP=∠BPC=∠PEC\angle BDP = \angle BPC = \angle PEC. Обчисліть BPCP\frac{BP}{CP}, якщо AB=9AB = 9, AC=11AC = 11, DP=1DP = 1 і EP=3EP = 3.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-070

Чотирикутник з відношеннями кутів і площ

У чотирикутнику ABCDA B C D існує точка EE на відрізку ADA D така, що AEED=19\frac{A E}{E D}=\frac{1}{9} і ∠BEC\angle B E C — прямий кут. Крім того, площа трикутника CEDC E D у 27 разів більша за площу трикутника AEBA E B. Якщо ∠EBC=∠EAB\angle E B C=\angle E A B, ∠ECB=∠EDC\angle E C B=\angle E D C і BC=6B C=6, обчисліть значення AD2A D^{2}.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2020-016

Пряма AP і точки X та Y з перпендикулярів

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а PP — перетин дотичних у точках BB і CC до описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC. Пряма через точку AA, перпендикулярна до ABAB, і пряма через точку CC, перпендикулярна до ACAC, перетинаються в точці XX. Пряма через точку AA, перпендикулярна до ACAC, і пряма через точку BB, перпендикулярна до ABAB, перетинаються в точці YY. Доведіть, що AP⊥XYAP \perp XY.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2020-019

Точки перетину перпендикулярів і пряма AP

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а PP — перетин дотичних у BB і CC до описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC. Пряма через AA перпендикулярно до ABAB і пряма через CC перпендикулярно до ACAC перетинаються в точці XX. Пряма через AA перпендикулярно до ACAC і пряма через BB перпендикулярно до ABAB перетинаються в точці YY. Доведіть, що AP⊥XYAP \perp XY.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2019-001

Паралельні прямі з висот і описаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, а DD, EE і FF — основи висот, проведених з вершин AA, BB і CC відповідно. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC. Відрізки EFEF і ADAD перетинаються в точці GG. Нехай KK — точка описаного кола трикутника ABCABC, діаметрально протилежна точці AA. Пряма AKAK перетинає BCBC в точці MM. Доведіть, що прямі GMGM і HKHK паралельні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-004

Перпендикулярність у трикутнику з серединою бісектриси

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Нехай DD — основа внутрішньої бісектриси, проведеної з AA, а MM — середина відрізка ADAD. Нехай також XX — точка на відрізку BMBM така, що ∠MXA=∠DAC\angle MXA = \angle DAC. Доведіть, що пряма AXAX перпендикулярна до прямої XCXC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-088

Відношення на стороні трикутника через висоти та середини

У гострокутному трикутнику ABCA B C нехай D,ED, E і FF — основи висот, проведених з A,BA, B і CC відповідно, а L,ML, M і NN — середини сторін BC,CAB C, C A і ABA B відповідно. Прямі DED E і NLN L перетинаються в точці XX, прямі DFD F і LML M перетинаються в точці YY, а прямі XYX Y і BCB C перетинаються в точці ZZ. Знайдіть відношення ZBZC\frac{Z B}{Z C} через AB,ACA B, A C і BCB C.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-034

Перпендикулярні відрізки в одиничному квадраті

В одиничному квадраті ABCDABCD точки E,F,GE, F, G вибрано на сторонах BC,CD,DABC, CD, DA відповідно так, що AEAE перпендикулярна до EFEF, а EFEF перпендикулярна до FGFG. Відомо, що GA=4041331GA=\frac{404}{1331}. Знайдіть усі можливі значення довжини BEBE.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-050

Ланцюжок вписаних кіл і кількість перетинів

Нехай ΔA1B1C\Delta A_{1} B_{1} C — трикутник, у якому ∠A1B1C=90∘\angle A_{1} B_{1} C=90^{\circ} і CA1CB1=5+2\frac{C A_{1}}{C B_{1}}=\sqrt{5}+2. Для довільного i≥2i \geq 2 визначимо AiA_{i} як точку на прямій A1CA_{1} C таку, що AiBi−1⊥A1CA_{i} B_{i-1} \perp A_{1} C, а BiB_{i} визначимо як точку на прямій B1CB_{1} C таку, що AiBi⊥B1CA_{i} B_{i} \perp B_{1} C. Нехай Γ1\Gamma_{1} — вписане коло трикутника ΔA1B1C\Delta A_{1} B_{1} C, а для i≥2,Γii \geq 2, \Gamma_{i} — коло, дотичне до Γi−1,A1C,B1C\Gamma_{i-1}, A_{1} C, B_{1} C, яке менше за Γi−1\Gamma_{i-1}. Скільки існує цілих чисел kk таких, що пряма A1B2016A_{1} B_{2016} перетинає Γk\Gamma_{k}?
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2016-026

Бісектриса, висота і добуток сторін трикутника

Нехай ABCABC — трикутник з AB≠ACAB \neq AC і нехай MM — середина сторони BCBC. Бісектриса ∠BAC\angle BAC перетинає пряму BCBC у точці QQ. Нехай HH — основа висоти, проведеної з вершини AA на пряму BCBC. Перпендикуляр до прямої AQAQ, що проходить через AA, перетинає пряму BCBC у точці SS. Доведіть, що MH⋅QS=AB⋅ACMH \cdot QS = AB \cdot AC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-005

Вписаний шестикутник із конкурентними діагоналями

На колі розміщено 6 точок AA, BB, CC, DD, EE, FF у цьому порядку проти годинникової стрілки, а три прямі ADAD, BEBE і CFCF перетинаються в одній точці. Якщо AB=1, BC=2, CD=3, DE=4, EF=5,AB = 1,\ BC = 2,\ CD = 3,\ DE = 4,\ EF = 5, знайдіть значення FAFA. Тут довжину відрізка XYXY також позначаємо через XYXY.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-128

Чотирикутник з прямими кутами і можливі довжини відрізка DF

Нехай ABCDABCD — чотирикутник такий, що ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ}, а BC=7BC = 7. Нехай EE і FF — точки на відрізку BDBD такі, що AEAE і CFCF перпендикулярні до BDBD. Припустимо, що BE=3BE = 3. Знайдіть добуток найменшої та найбільшої можливих довжин відрізка DFDF.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-012

Дотичні в точках перетину кіл і відношення радіусів

Два кола O1O_1 і O2O_2 перетинаються у двох різних точках PP і QQ. Дотична до кола O1O_1 в точці PP перетинає коло O2O_2 в точці RR, відмінній від PP, а дотична до кола O2O_2 в точці QQ перетинає коло O1O_1 в точці SS, відмінній від QQ. Нехай XX — точка перетину двох прямих PRPR і QSQS. Якщо XR=9XR = 9 і XS=2XS = 2, чому дорівнює відношення r1r2\frac{r_1}{r_2}, де r1r_1 і r2r_2 — радіуси кіл O1,O2O_1, O_2 відповідно? Тут через YZYZ позначено довжину відрізка YZYZ.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-011

Рівнобедрений трикутник із середин чотирикутника

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що AD=DCAD = DC, AC=ABAC = AB і ∠ADC=∠CAB\angle ADC = \angle CAB. Нехай MM і NN — середини сторін ADAD і ABAB. Доведіть, що трикутник MNCMNC рівнобедрений.
8–9 класиЛанцюжок подібних трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-082

Прямокутний трикутник з рівними відрізками

△ABC\triangle ABC прямокутний із прямим кутом при AA. DD — точка на стороні ABAB така, що CD=1CD=1. AEAE — висота з вершини AA на сторону BCBC. Якщо BD=BE=1BD=BE=1, чому дорівнює довжина відрізка ADAD?
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2007-012

Подібні трикутники у конструкції з дотичними

Трикутник ABCABC вписано в коло ω\omega. Дотичні до кола ω\omega у точках BB і CC перетинаються в точці TT. Точка SS лежить на промені BCBC, причому AS⊥ATAS \perp AT. Точки B1B_1 і C1C_1 лежать на промені STST (причому C1C_1 лежить між B1B_1 і SS) так, що B1T=BT=C1TB_1T = BT = C_1T. Доведіть, що трикутники ABCABC і AB1C1AB_1C_1 подібні.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2007-017

П'ятикутник з рівними ланцюжками кутів

Нехай ABCDEA B C D E — опуклий п'ятикутник, для якого ∠BAC=∠CAD=∠DAE і ∠ABC=∠ACD=∠ADE\angle B A C=\angle C A D=\angle D A E \quad \text{ і } \quad \angle A B C=\angle A C D=\angle A D E Діагоналі BDB D і CEC E перетинаються в точці PP. Доведіть, що пряма APA P перетинає сторону CDC D в її середині.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2007-001

Коло, дотичне до описаного кола та сторони

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а OO — його описане коло. Нехай O′O' — коло, яке дотикається до кола OO в точці AA і дотикається до сторони BCBC в точці DD. Коло O′O' перетинає прямі ABAB і ACAC в точках EE і FF відповідно. Коло O′O' перетинає прямі OO′OO' і EO′EO' в точках A′(≠A)A' (\neq A) і G(≠E)G (\neq E) відповідно. Прямі BOBO і A′GA'G перетинаються в точці HH. Доведіть, що DF2=AF⋅GHDF^2 = AF \cdot GH.
10–11 класиКола, що дотикаються
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2005-013

Кут C з рівностями AC'=AB' та BC'=BA'

ABCABC — трикутник з AC=BCAC = BC і ∠ACB<60∘\angle ACB < 60^{\circ}. Нехай A′A' і B′B' — дві точки на сторонах BCBC і ACAC відповідно такі, що AA′=BB′=ABAA' = BB' = AB. Нехай C′C' — перетин відрізків AA′AA' і BB′BB'. Відомо, що AC′=AB′AC' = AB' і BC′=BA′BC' = BA'. Чому дорівнює градусна міра кута ∠ACB\angle ACB?
9–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-009

Чотирикутник з рівними кутами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що CAB^=CDA^\widehat{CAB} = \widehat{CDA} і BCA^=ACD^\widehat{BCA} = \widehat{ACD}. Нехай MM — середина сторони ABAB. Доведіть, що BCM^=DBA^\widehat{BCM} = \widehat{DBA}.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників3 розв’язки
Інші змаганняMISC-0000-135

Висота в прямокутному трикутнику і подібність

Вчителька Жуссара любить робити зменшені копії. Спочатку вона малює прямокутний трикутник ABCA B C, зображений нижче: Далі вчителька Жуссара проводить відрізок AP1A P_{1} так, щоб AP1A P_{1} був перпендикулярний до сторони BCB C, як показано на рисунку нижче. Жуссара стверджує, що трикутник AP1CA P_{1} C подібний до трикутника ABCA B C (тобто має відповідно рівні кути). а) Покажіть, що вчителька Жуссара має рацію! б) Обчисліть довжину відрізка AP1A P_{1}. в) Обчисліть відношення площі трикутника ABCA B C до площі трикутника AP1CA P_{1} C. г) Вчителька Жуссара повторює процес, тепер проводячи відрізок P1P2P_{1} P_{2}, перпендикулярний до сторони ACA C, як на рисунку нижче. Чому дорівнює відношення площ трикутників P1P2CP_{1} P_{2} C і AP1CA P_{1} C? д) Вчителька Жуссара повторює процес ще двічі, як показано на рисунку нижче. Яка площа трикутника P5P6CP_{5} P_{6} C?
8–9 класиЛанцюжок подібних трикутників
Інші змаганняMISC-0000-192

Згинання квадрата з обчисленням відрізків

На рисунку нижче зображено квадрат ABCDABCD і дві точки PP і QQ на сторонах BC‾\overline{BC} і DA‾\overline{DA} відповідно. Тепер згинаємо квадрат уздовж відрізка PQ‾\overline{PQ}, суміщаючи вершину BB із серединою відрізка CD‾\overline{CD}. Відомо, що сторона квадрата дорівнює 24. a) Обчисліть довжину відрізка PC‾\overline{PC}. b) Обчисліть довжину відрізка AQ‾\overline{AQ}. c) Обчисліть довжину відрізка PQ‾\overline{PQ}.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2021-035

Симетрична точка на описаному колі

Точка DD всередині гострокутного трикутника ABCABC задовольняє ∠ADC=∠BDA=180∘−∠CAB.\angle ADC = \angle BDA = 180^{\circ} - \angle CAB. Доведіть, що точка, симетрична точці AA відносно точки DD, лежить на описаному колі трикутника ABCABC.
Допоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.