Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

157 задач
АлгебраЛінійні рекурентні послідовності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-013

Ряд Фібоначчі з геометричними вагами

Обчисліть суму ∑n=1∞Fn10n+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}} де FnF_n — nn-те число Фібоначчі, задане рівностями F1=F2=1F_1 = F_2 = 1 і Fn+1=Fn+Fn−1F_{n+1} = F_n + F_{n-1} для всіх n≥2n \geq 2.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-001

Сума степенів дорівнює зсунутому степеню

Знайдіть усі послідовності (x1,x2,…,x2011)\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2011}\right) натуральних чисел таких, що для кожного натурального числа nn існує ціле число aa, для якого x1n+2x2n+⋯+2011x2011n=an+1+1.x_{1}^{n}+2 x_{2}^{n}+\cdots+2011 x_{2011}^{n}=a^{n+1}+1 .
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-011

Границя зваженої рекурентної послідовності

Нехай x1x_1 і x2x_2 — дійсні числа, а 0<p<10 < p < 1. Визначимо xn=pxn−1+(1−p)xn−2x_n = p x_{n-1} + (1-p) x_{n-2} для n=3,4,…n = 3, 4, \dots. Доведіть, що послідовність (xn)(x_n) збігається, і знайдіть lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-005

Многочлени зі спільним дільником

Знайдіть цілі числа aa, bb і cc такі, що многочлени P(x)=x9−x7−31x2−26x−17іQ(x)=x13−x11−ax2−bx−cP(x) = x^9 - x^7 - 31x^2 - 26x - 17 \quad \text{і} \quad Q(x) = x^{13} - x^{11} - a x^2 - b x - c мають спільний дільник.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-009

Симетрія рекурентно заданих послідовностей

Нехай nn — натуральне число. Задано послідовність ε1,…,εn−1\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{n-1}, де εi=0\varepsilon_{i}=0 або εi=1\varepsilon_{i}=1 для кожного i=1,…,n−1i=1, \ldots, n-1; послідовності a0,…,ana_{0}, \ldots, a_{n} і b0,…,bnb_{0}, \ldots, b_{n} будуються за такими правилами: a0=b0=1,a1=b1=7ai+1={2ai−1+3ai, якщо εi=0,3ai−1+ai, якщо εi=1, для кожного i=1,…,n−1,bi+1={2bi−1+3bi, якщо εn−i=0,3bi−1+bi, якщо εn−i=1, для кожного i=1,…,n−1\begin{gathered} a_{0}=b_{0}=1, \quad a_{1}=b_{1}=7 \\ a_{i+1}=\left\{\begin{array}{ll} 2 a_{i-1}+3 a_{i}, & \text{ якщо } \varepsilon_{i}=0, \\ 3 a_{i-1}+a_{i}, & \text{ якщо } \varepsilon_{i}=1, \end{array}\right. \quad \text{ для кожного } i=1, \ldots, n-1, \\ b_{i+1}=\left\{\begin{array}{ll} 2 b_{i-1}+3 b_{i}, & \text{ якщо } \varepsilon_{n-i}=0, \\ 3 b_{i-1}+b_{i}, & \text{ якщо } \varepsilon_{n-i}=1, \end{array}\right. \text{ для кожного } i=1, \ldots, n-1 \end{gathered} Доведіть, що an=bna_{n}=b_{n}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-016

Добуток степенів мінус один не є повним квадратом

Нехай aa і bb — різні цілі числа, більші за 11. Доведіть, що існує натуральне число nn таке, що (an−1)(bn−1)(a^{n}-1)(b^{n}-1) не є повним квадратом.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності2 розв’язки
Балтійський шляхBW-2006-001

Найбільше число послідовних додатних членів послідовності

Для послідовності a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots дійсних чисел відомо, що an=an−1+an+2для n=2,3,4,…a_{n} = a_{n-1} + a_{n+2} \quad \text{для } n = 2, 3, 4, \ldots Скільки щонайбільше послідовних елементів цієї послідовності можуть бути одночасно додатними?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-002

Рекурентно задана додатна послідовність

Послідовність дійсних чисел a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots визначено рекурентно так: a0=−1,∑k=0nan−kk+1=0 при n≥1a_{0}=-1, \quad \sum_{k=0}^{n} \frac{a_{n-k}}{k+1}=0 \quad \text{ при } \quad n \geq 1 Доведіть, що an>0a_{n}>0 при n≥1n \geq 1.
10–11 класиМетод математичної індукції
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2005-004

Натуральні числа, взаємно прості з послідовністю

Знайдіть усі натуральні числа, які є взаємно простими з усіма членами нескінченної послідовності an=2n+3n+6n−1a_n = 2^n + 3^n + 6^n - 1, n≥1n \ge 1.
10–11 класиМала теорема Ферма
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1996-002

Числа з цілою сумою симетричних степенів

Знайдіть усі дійсні числа xx такі, що xn+x−nx^{n}+x^{-n} є цілим числом для всіх цілих чисел nn.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Балтійський шляхBW-1994-002

Нерівність для дев'яти невід'ємних чисел з нулями

Нехай a1,a2,…,a9a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{9} — довільні невід'ємні числа, такі, що a1=a9=0a_{1}=a_{9}=0 і принаймні одне з чисел відмінне від нуля. Доведіть, що для деякого ii, 2≤i≤82 \leq i \leq 8, справджується нерівність ai−1+ai+1<2aia_{i-1}+a_{i+1}<2 a_{i}. Чи залишиться твердження правильним, якщо число 22 в останній нерівності замінити на 1.91.9?
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-020

Квадратичний многочлен плюс геометрична прогресія

Нехай ff — квадратичний многочлен із дійсними коефіцієнтами, а g1g_{1}, g2g_{2}, g3g_{3},... — геометрична прогресія дійсних чисел. Визначимо an=f(n)+gna_{n} = f(n) + g_{n}. Відомо, що a1a_{1}, a2a_{2}, a3a_{3}, a4a_{4} та a5a_{5} дорівнюють 11, 22, 33, 1414 та 1616 відповідно. Обчисліть g2g1\frac{g_{2}}{g_{1}}.
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-029

Очікувана кількість синіх діамантів після випадкового процесу

В Ізабелли в мішку 20 синіх діамантів і 25 фіолетових діамантів. Вона повторює такий процес 44 рази: навмання рівномірно виймає з мішка один діамант, а потім кладе в мішок один синій діамант і один фіолетовий діамант. Обчисліть математичне сподівання кількості синіх діамантів у мішку після всіх 44 повторень.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Відбіркові тести на IMOTST-2025-001

Рекурентна послідовність, що дає повні квадрати

Розглянемо послідовність y0,y1,…y_0, y_1, \dots таку, що y0=−14y_0 = -\frac{1}{4} і y1=0y_1 = 0, а крім того yn+1+yn−1=4yn+1y_{n+1} + y_{n-1} = 4y_n + 1 для всіх n≥1n \ge 1. Доведіть, що для всіх n≥0n \ge 0 вираз 2y2n+322y_{2n} + \frac{3}{2} є a) додатним цілим числом, а b) квадратом цілого числа.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2025-010

Орієнтований граф з вершинами, що еволюціонують

Кластер JMO спочатку складається з п'яти зірок OO, AA, BB, CC і DD. Кожній зірці присвоюється значення, яке називається її важливістю. Важливість OO дорівнює 00, а важливість кожної зі зірок AA, BB, CC і DD дорівнює 11. Крім того, існують односторонні прямі рейси з OO до AA і CC; з AA до BB і DD; з BB до OO; з CC до BB і DD; і з DD до OO, і жодних інших прямих рейсів не існує. Щоб запобігти старінню зірок, Кластер JMO періодично виконує операцію, що складається з такої послідовності дій: (1) Скасувати всі існуючі прямі рейси та знищити всі зірки. (2) Для кожного прямого рейсу ff, скасованого на кроці (1), побудувати нову зірку SfS_f. Потім присвоїти SfS_f важливість, що дорівнює сумі важливостей зірок відправлення та прибуття ff. (3) Для кожної впорядкованої пари (f,f′)(f, f') двох скасованих прямих рейсів, таких, що зірка прибуття ff збігається зі зіркою відправлення f′f', відкрити односторонній прямий рейс з SfS_f до Sf′S_{f'}. Знайдіть суму важливостей зірок, побудованих під час 100-ї операції.
10–11 класиОрієнтовані графи
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2024-040

Сума відношень чисел Фібоначчі

Числа Фібоначчі визначено як F1=1F_1 = 1, F2=1F_2 = 1 і Fn=Fn−1+Fn−2F_n = F_{n-1} + F_{n-2} при n≥3n \ge 3. Чому дорівнює F2F1+F4F2+F6F3+⋯+F20F10?\frac{F_2}{F_1} + \frac{F_4}{F_2} + \frac{F_6}{F_3} + \dots + \frac{F_{20}}{F_{10}}?
8–10 класиЧисла Фібоначі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-058

Система степеневих сум із комплексними змінними

Нехай m>n>1m>n>1 — натуральні числа, для яких існують nn комплексних чисел x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} таких, що - x1k+x2k+⋯+xnk=1x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots+x_{n}^{k}=1 при k=1,2,…,n−1k=1,2, \ldots, n-1; - x1n+x2n+⋯+xnn=2x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\cdots+x_{n}^{n}=2; і - x1m+x2m+⋯+xnm=4x_{1}^{m}+x_{2}^{m}+\cdots+x_{n}^{m}=4. Знайдіть найменше можливе значення m+nm+n.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Відбіркові тести на IMOTST-2023-005

Нижня межа відношення членів послідовності

Знайдіть найбільше дійсне число MM таке, що для кожної нескінченної послідовності x0,x1,x2,…x_0, x_1, x_2, \dots дійсних чисел, яка задовольняє умови a. x0=1x_0 = 1 і x1=3x_1 = 3, b. x0+x1+⋯+xn−1≥3xn−xn+1x_0 + x_1 + \dots + x_{n-1} \ge 3x_n - x_{n+1} для всіх n≥1n \ge 1, нерівність xn+1xn>M,\frac{x_{n+1}}{x_n} > M, виконується для всіх n≥0n \ge 0.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-051

Очікувана відстань на килимі Серпінського

Нехай S0S_{0} — одиничний квадрат у декартовій площині з горизонтальними й вертикальними сторонами. Для будь-якого n>0n>0 фігура SnS_{n} утворюється приєднанням 9 копій Sn−1S_{n-1} у сітці 3×33 \times 3 з подальшим вилученням центральної копії. Наприклад, S3S_{3} показано нижче: Нехай ana_{n} — математичне сподівання ∣x−x′∣+∣y−y′∣|x-x'|+|y-y'|, де (x,y)(x, y) і (x′,y′)(x', y') — дві точки, вибрані випадково всередині SnS_{n}. Існують взаємно прості натуральні числа aa і bb такі, що lim⁡n→∞an3n=ab.\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{3^{n}}=\frac{a}{b} . Обчисліть 100a+b100 a+b.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-001

Суми зсунутої послідовності, кратні трьом

Пітер нудьгував під час локдауну, тож вирішив цілий день писати числа. Він складає послідовність чисел, яка починається з 00, 11 і −1-1, а далі продовжується нескінченно. У наступному рядку він пише ту саму послідовність чисел, але зсунуту на одну позицію праворуч. У третьому рядку він знову пише ту саму послідовність чисел, зсунуту ще на одну позицію праворуч. Він додає всі три числа, що стоять в одному вертикальному стовпчику. (Він пропускає перші два місця, тож починає з −1+1+0-1 + 1 + 0.) Відповідь у кожному стовпчику — це наступне кратне трьом. Тож аркуш Пітера має такий вигляд: 01−1……………01−1…………+01−1………036912…\begin{array}{rrrrrrrrr} & 0 & 1 & -1 & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ & & 0 & 1 & -1 & \dots & \dots & \dots & \dots \\ + & & & 0 & 1 & -1 & \dots & \dots & \dots \\ \hline & & & 0 & 3 & 6 & 9 & 12 & \dots \end{array} Перше число у верхній послідовності дорівнює 00, друге число дорівнює 11, третє число дорівнює −1-1 тощо. Знайдіть 20212021-е число у верхній послідовності.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-015

Опуклий многокутник з рівним поділом кутів

Нехай P1P2…P2021P_{1} P_{2} \ldots P_{2021} — опуклий многокутник з 2021 вершиною такий, що для кожної вершини PiP_{i} 2018 діагоналей, що виходять з PiP_{i}, ділять кут P^i\widehat{P}_{i} на 2019 рівних кутів. Доведіть, що P1P2…P2021P_{1} P_{2} \ldots P_{2021} — правильний многокутник, тобто многокутник, у якого всі кути мають однакову величину, а всі сторони мають однакову довжину.
8–10 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-137

Несиметрична монета і три орли поспіль

Джуд раз за разом підкидає монету. Якщо він уже підкинув nn орлів, то монета падає орлом з імовірністю 1n+2\frac{1}{n+2} і решкою з імовірністю n+1n+2\frac{n+1}{n+2}. Якщо Джуд підкидає монету необмежено довго, нехай pp — імовірність того, що в деякий момент випадуть 3 орли поспіль. Обчисліть ⌊180p⌋\lfloor 180 p\rfloor.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-002

Ітероване усереднення дає цілі числа

На дошці написано три різні натуральні числа. Коли на дошці написано дійсні числа aa, bb, cc, розглянемо процедуру, яка одночасно замінює ці три числа на b+c2\frac{b+c}{2}, c+a2\frac{c+a}{2}, a+b2\frac{a+b}{2}. Після того як цю процедуру виконали 20212021 разів, усі три числа на дошці є натуральними числами. Знайдіть найменше можливе значення суми початкових трьох натуральних чисел на дошці.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-008

Рекурентна послідовність і квадрати непарних чисел

Нехай (xn)n∈N\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} — дійсна послідовність така, що x0=0x_{0}=0 і x1=1x_{1}=1, а для всіх n⩾0n \geqslant 0 виконується xn+2=3xn+1−2xnx_{n+2}=3 x_{n+1}-2 x_{n}. Покладемо також yn=xn2+2n+2y_{n}=x_{n}^{2}+2^{n+2} для кожного невід'ємного цілого nn. Доведіть, що для кожного цілого n>0n>0 число yny_{n} є квадратом непарного цілого числа.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-144

Очікувана абсолютна різниця гербів і решок

Макс раз за разом підкидає симетричну монету в ураган. При кожному кидку є 4%4\% шанс, що монету знесе вітром. Він записує кількість гербів HH і кількість решок TT до втрати монети. (Якщо монету знесло під час кидка, результат цього кидка не записується.) Чому дорівнює математичне сподівання величини ∣H−T∣|H-T|?
10–11 класиСуми послідовностей3 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.