Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

187 задач
Теорія чиселМетоди поглибленого рівня (теорія чисел)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-008

Непарні члени послідовності цілих частин n^k/k

Задано натуральне число n>1n > 1. Доведіть, що серед членів послідовності (ak)k⩾1(a_k)_{k \geqslant 1}, заданої умовою ak=[nkk]a_k = \left[\dfrac{n^k}{k}\right], трапляється нескінченна кількість непарних чисел.
10–11 класиМала теорема Ферма
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-003

Степені числа p у сумах з x та y

Знайдіть усі трійки (p,x,y)(p, x, y), які складаються з простого числа pp і натуральних xx та yy таких, що числа xp−1+yx^{p-1}+y і x+yp−1x+y^{p-1} є степенями числа pp.
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-004

Три різні числа з умовою подільності суми і добутку

Нехай задано просте число p>5p>5. Доведіть, що існують три різних числа xx, yy, zz із множини {1,2,…,p}\{1, 2, \ldots, p\} такі, що два числа x+y+zx+y+z і xyz−1xyz-1 одночасно діляться на pp.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-008

Ітерації многочлена третього степеня і подільність на 101

Нехай многочлен P(x)=x3+14x2−2x+1P(x) = x^3 + 14x^2 - 2x + 1. Позначимо через P(n)(x)=P(P(n−1)(x))P^{(n)}(x) = P\left(P^{(n-1)}(x)\right). Покажіть, що існує таке натуральне NN, що для кожного цілого xx P(N)(x)−x⋮101P^{(N)}(x) - x \vdots 101.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-006

Непарні a і b з умовою подільності

Знайдіть усі пари непарних натуральних чисел aa та bb, для яких існує натуральне число cc, таке, що число cn+12na+b\dfrac{c^n+1}{2^n a+b} є цілим для всіх натуральних nn.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-006

Рівні множини лишків k² + 1 і степенів g

Знайти всі непарні прості числа pp, для яких існує натуральне gg, при якому множини A={(k2+1) mod p | k=1,2,…,p−12}A = \left\{ \left(k^2 + 1\right) \bmod p \,\middle|\, k = 1, 2, \ldots, \frac{p - 1}{2} \right\} і B={gk mod p | k=1,2,...,p−12}B = \left\{ g^k \bmod p \,\middle|\, k = 1, 2, ..., \frac{p - 1}{2} \right\} рівні.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-007

Цілість частки з 3²ᵐ і простота знаменника

а) Чи правильним є таке твердження: якщо для натурального mm число 32m+12m+1+1\dfrac{3^{2^m} + 1}{2^{m+1} + 1} є цілим, то число 2m+1+12^{m+1} + 1 — просте? б) Чи є правильним обернене до а) твердження?
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-001

Мультиплікативні p-періодичні функції на цілих числах

Нехай p≥3p \ge 3 — задане просте число. Знайдіть усі функції f:Z→Zf : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} такі, що якщо для m∈Z,n∈Zm \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z} число m−nm - n ділиться без остачі на pp, то f(m)=f(n)f(m) = f(n), і f(mn)=f(m)f(n)f(mn) = f(m) f(n) для всіх m∈Z,n∈Zm \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-003

Дотепні функції та найменша стала c

Нехай N\mathbb{N} — множина натуральних чисел. Функцію f:N→Nf: \mathbb{N} \to \mathbb{N} називатимемо дотепною, якщо ba−f(b)f(a)b^a - f(b)^{f(a)} ділиться націло на f(a)f(a) для всіх натуральних чисел aa і bb. Знайдіть найменше значення такої дійсної сталої cc, що нерівність f(n)⩽cnf(n) \leqslant cn справджується для всіх дотепних функцій ff та для всіх натуральних чисел nn.
10–11 класиТеорема Діріхле про арифметичні п…
Балтійський шляхBW-2024-016

Дільники складеного числа виду k^m + 1

Знайдіть усі складені додатні цілі числа nn такі, що для кожного додатного дільника dd числа nn існують цілі числа k⩾0k \geqslant 0 та m⩾2m \geqslant 2 такі, що d=km+1d = k^m + 1.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-013

Хороші многочлени та подільність

Нехай nn — натуральне число. Скажемо, що многочлен PP з цілими коефіцієнтами є nn-хорошим, якщо існує многочлен QQ степеня 2 з цілими коефіцієнтами такий, що Q(k)(P(k)+Q(k))Q(k)(P(k)+Q(k)) не ділиться на nn для жодного цілого kk. Визначте всі цілі nn, для яких кожен многочлен з цілими коефіцієнтами є nn-хорошим многочленом.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…4 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-027

Турові добутки з умовою подільності

Нехай nn — натуральне число. У цій задачі ми розглядаємо заповнення клітинок шахової дошки розміру n×nn \times n натуральними числами від 11 до n2n^2 так, що кожне число використано рівно один раз. Для такого заповнення кажемо, що додатне ціле число є туровим добутком, якщо воно є добутком чисел, записаних у nn клітинках, які мають таку властивість: якщо поставити на кожну з них по турі, то жодні дві тури не битимуть одна одну. (Дві тури б'ють одна одну тоді й лише тоді, коли вони стоять в одному рядку або стовпці.) a. Нехай n=8n = 8. З'ясуйте, чи існує заповнення шахової дошки 8×88 \times 8 таке, що виконується така умова: різниця будь-яких двох турових добутків завжди ділиться на 6565. b. Нехай n=10n = 10. З'ясуйте, чи існує заповнення шахової дошки 10×1010 \times 10 таке, що виконується така умова: різниця будь-яких двох турових добутків завжди ділиться на 101101.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-040

Многочлени з неперетинними множинами значень за модулем

Для простого числа pp та многочлена ff з цілими коефіцієнтами визначимо Im(p,f)\text{Im}(p, f) як множину цілих чисел a∈{0,1,…,p−1}a \in \{0, 1, \dots, p-1\} таких, що існує ціле число xx, для якого f(x)−af(x) - a ділиться на pp. Доведіть, що існують несталі многочлени ff і gg такі, що для нескінченно багатьох простих чисел перетин Im(p,f)\text{Im}(p, f) і Im(p,g)\text{Im}(p, g) порожній.
10–11 класиТеорема Ферма-Ейлера про суму дво…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-045

Різниця добутків за модулем простого числа

Нехай p>7p > 7 — просте число, а A⊆{0,1,…,p−1}A \subseteq \{0, 1, \dots, p-1\} — множина, що містить принаймні p−12\frac{p-1}{2} елементів. Доведіть, що для кожного цілого rr існують елементи a,b,c,d∈Aa, b, c, d \in A такі, що ab−cd≡r(modp).ab - cd \equiv r \pmod{p}.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-013

Неподільність різниці степенів

Доведіть, що 5n−3n5^{n}-3^{n} не ділиться на 2n+652^{n}+65 для жодного натурального числа nn.
10–11 класиМетод нескінченного спуску2 розв’язки
Європейський математичний кубокEMC-2020-007

Гра з додаванням і множенням до кратності простому числу

Нехай pp — просте число. Трой та Абед грають у таку гру. Трой записує натуральне число XX на дошці та задає для Абеда послідовність натуральних чисел (an)(a_n). Після цього Абед робить послідовність ходів, nn-й хід є таким: записане на дошці число YY замінив на число Y+anY + a_n або на число Y⋅anY \cdot a_n. Абед перемагає, якщо в певний момент число, що записане на дошці, кратне pp. Визначте, чи може Абед виграти незалежно від вибору Троя, якщо: а) p=109+7p = 10^9 + 7; б) p=109+9p = 10^9 + 9. Примітка. Обидва числа p=109+7p = 10^9 + 7 та p=109+9p = 10^9 + 9 є простими.
10–11 класиРозв’язування конгруенцій ax ≡ b…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-041

Просте p і куб p² + p + 1

Нехай pp — просте число. Доведіть, що p2+p+1p^2 + p + 1 не є точним кубом.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-043

Нерозв'язність рівняння зі степенем сімки у натуральних числах

Доведіть, що рівняння 7x=1+y2+z27^x = 1 + y^2 + z^2 не має розв'язків у натуральних числах.
10–11 класиМіркування за модулем
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2019-006

Пари c, d і покриття остач орбітами многочлена

Знайдіть усі пари цілих чисел (c,d)(c, d), більших за 11, для яких виконується умова: для довільного многочлена QQ степеня dd із цілими коефіцієнтами та старшим коефіцієнтом 11 і довільного простого числа p>c(2c+1)p > c(2c + 1) існує така множина SS, яка складається не більше ніж із (2c−12c+1)p\left(\frac{2c-1}{2c+1}\right)p цілих чисел, що ⋃s∈S{s,Q(s),Q(Q(s)),Q(Q(Q(s))),…}\bigcup_{s \in S} \{s, Q(s), Q(Q(s)), Q(Q(Q(s))), \ldots\} містить повну систему остач за модулем pp (тобто перетинає кожен клас остач за модулем pp).
10–11 класиОрієнтовані графи
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-038

Факторіал як різниця степенів двійки

Доведіть, що існує лише скінченна кількість трійок натуральних чисел (n,a,b)(n, a, b) таких, що: n!=2a−2b.n! = 2^a - 2^b.
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-014

Десяткові періоди дробів

Раціональне число назвемо коротким, якщо воно має скінченну кількість цифр у десятковому розкладі. Для натурального числа mm скажемо, що натуральне число tt є mm-тастичним, якщо існує число c∈{1,2,3,…,2017}c \in \{1,2,3, \ldots, 2017\} таке, що 10t−1c⋅m\frac{10^{t}-1}{c \cdot m} є коротким, і таке, що 10k−1c⋅m\frac{10^{k}-1}{c \cdot m} не є коротким для жодного 1⩽k<t1 \leqslant k<t. Нехай S(m)S(m) — множина mm-тастичних чисел. Розглянемо S(m)S(m) для m=1,2,…m=1,2, \ldots. Яка найбільша можлива кількість елементів у S(m)S(m)?
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-017

Функція на взаємно простих парах і квадратична сума

Нехай pp — непарне просте число, а Z>0\mathbb{Z}_{>0} — множина додатних цілих чисел. Припустимо, що функція f:Z>0×Z>0→{0,1}f: \mathbb{Z}_{>0} \times \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \{0,1\} задовольняє такі властивості: - f(1,1)=0f(1,1)=0; - f(a,b)+f(b,a)=1f(a, b)+f(b, a)=1 для будь-якої пари взаємно простих додатних цілих чисел (a,b)(a, b), не обох рівних 11; - f(a+b,b)=f(a,b)f(a+b, b)=f(a, b) для будь-якої пари взаємно простих додатних цілих чисел (a,b)(a, b). Доведіть, що ∑n=1p−1f(n2,p)⩾2p−2.\sum_{n=1}^{p-1} f\left(n^{2}, p\right) \geqslant \sqrt{2 p}-2 .
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-011

Значення квадратичних часток

Нехай aa — натуральне число, яке не є квадратом. Позначимо через AA множину всіх натуральних чисел kk таких, що k=x2−ax2−y2k = \frac{x^{2} - a}{x^{2} - y^{2}} для деяких цілих чисел xx і yy з x>ax > \sqrt{a}. Позначимо через BB множину всіх натуральних чисел kk таких, що (1) виконується для деяких цілих чисел xx і yy з 0⩽x<a0 \leqslant x < \sqrt{a}. Доведіть, що A=BA = B.
10–11 класиСтрибки Вієта3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-013

Многочлени непарного степеня з раціональними степеневими відношеннями

Знайдіть усі многочлени P(x)P(x) непарного степеня dd з цілими коефіцієнтами, які мають таку властивість: для кожного натурального числа nn існують nn натуральних чисел x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} таких, що 12<P(xi)P(xj)<2\frac{1}{2}<\frac{P\left(x_{i}\right)}{P\left(x_{j}\right)}<2 і P(xi)P(xj)\frac{P\left(x_{i}\right)}{P\left(x_{j}\right)} є dd-м степенем раціонального числа для кожної пари індексів ii і jj, де 1⩽i,j⩽n1 \leqslant i, j \leqslant n.
10–11 класиТеорема Діріхле про арифметичні п…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2013-001

Послідовність з подвоєнням плюс один і прості числа

Для натурального числа aa визначимо послідовність натуральних чисел x1,x2,…x_1, x_2, \ldots такими умовами: x1=ax_1=a, xn+1=2xn+1x_{n+1}=2x_n+1, n∈Nn \in \mathbb{N}. Покладемо yn=2xn−1y_n=2^{x_n}-1. Знайдіть найбільше можливе натуральне число kk таке, що для деякого натурального числа aa числа y1,y2,…,yky_1, y_2, \ldots, y_k є простими.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.