Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

78 задач
КомбінаторикаОпуклі множини
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-013

Випадковий відрізок у правильному шестикутнику

Нехай PP і QQ — точки, вибрані рівномірно й незалежно навмання всередині правильного шестикутника ABCDEFABCDEF. Обчисліть ймовірність того, що відрізок PQ‾\overline{PQ} повністю міститься принаймні в одному з чотирикутників ABCDABCD, BCDEBCDE, CDEFCDEF, DEFADEFA, EFABEFAB або FABCFABC.
10–11 класиОпуклі множини
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-039

Очікуваний момент потрапляння в опуклу оболонку

Баррі вибирає нескінченно багато точок усередині одиничного круга, кожну незалежно й рівномірно випадково, P1,P2,…P_{1}, P_{2}, \ldots Обчисліть математичне сподівання NN, де NN — найменше ціле число таке, що PN+1P_{N+1} лежить усередині опуклої оболонки, утвореної точками P1,P2,…,PNP_{1}, P_{2}, \ldots, P_{N}. Подайте додатне дійсне число EE. Якщо правильна відповідь дорівнює AA, ви отримаєте ⌊100⋅max⁡(0.2099−∣E−A∣,0)⌋\lfloor 100 \cdot \max (0.2099-|E-A|, 0)\rfloor балів.
10–11 класиОпуклі множини
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-022

Мінімальна площа покриття кратних 7 на решітці

Сто точок з мітками від 11 до 100100 розташовано у вигляді решітки 10×1010 \times 10 так, що сусідні точки містяться на відстані одиниці одна від одної. Мітки зростають зліва направо, згори вниз (тож перший рядок має мітки від 11 до 1010, другий рядок має мітки від 1111 до 2020 і так далі). Опуклий многокутник P\mathcal{P} має властивість, що кожна точка з міткою, кратною 77, лежить або на межі, або у внутрішності P\mathcal{P}. Обчисліть найменшу можливу площу P\mathcal{P}.
10–11 класиОпуклі множини
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-072

Очікувана кількість вершин опуклої оболонки випадкових точок

Колекція S\mathcal{S} із 1000010000 точок утворена вибором кожної точки рівномірно навмання всередині круга радіуса 11. Нехай NN — математичне сподівання кількості точок множини S\mathcal{S}, які є вершинами опуклої оболонки множини S\mathcal{S}. (Опукла оболонка — це найменший опуклий многокутник, що містить кожну точку множини S\mathcal{S}.) Оцініть NN. Оцінка E>0E>0 принесе max⁡(⌊22−∣E−N∣⌋,0)\max (\lfloor 22-|E-N|\rfloor, 0) балів.
10–11 класиОпуклі множини
Відбіркові тести на IMOTST-2019-044

Неперетинні парування 16 точок

Нехай SS — множина з 16 точок на площині, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Нехай χ(S)\chi(S) позначає кількість способів провести 8 відрізків з кінцями в точках множини SS так, щоб жодні два проведені відрізки не перетиналися, навіть у кінцях. Знайдіть найменше можливе значення χ(S)\chi(S) для всіх таких SS.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-002

Наближення точок опуклої оболонки центроїдами

Розглянемо скінченну множину точок T∈RnT \in \mathbb{R}^n, що міститься в nn-вимірній одиничній кулі з центром у початку координат, і нехай XX — опукла оболонка множини TT. Доведіть, що для всіх натуральних чисел kk і всіх точок x∈Xx \in X існують точки t1,t2,…,tk∈Tt_1, t_2, \ldots, t_k \in T, не обов’язково різні, такі, що їхній центроїд t1+t2+⋯+tkk\frac{t_1 + t_2 + \cdots + t_k}{k} перебуває на евклідовій відстані не більше 1k\frac{1}{\sqrt{k}} від xx. (nn-вимірна одинична куля з центром у початку координат — це множина точок із Rn\mathbb{R}^n, евклідова відстань від яких до початку координат не більша за 1. Опукла оболонка множини точок T∈RnT \in \mathbb{R}^n — це найменша множина точок XX, що містить TT, така, що кожен відрізок між двома точками з XX повністю лежить всередині XX.)
10–11 класиОпуклі множини
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-128

Математичне сподівання кількості вершин випадкової опуклої оболонки

Для i=0,1,…,5i = 0, 1, \ldots, 5 нехай lil_{i} — промінь на декартовій площині з початком у початку координат під кутом θ=iπ3\theta = i \frac{\pi}{3} проти годинникової стрілки від додатної півосі xx. Для кожного ii точку PiP_{i} вибрано рівномірно навмання з перетину променя lil_{i} з одиничним кругом. Розглянемо опуклу оболонку точок PiP_{i}, яка (з імовірністю 1) буде опуклим многокутником з nn вершинами для деякого nn. Чому дорівнює математичне сподівання nn?
10–11 класиОпуклі множини
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-006

Мінімальна кількість різних відстаней між точками

Розглянемо 2016 різних точок площини. Доведіть, що серед відстаней між цими точками є принаймні 45 різних.
10–11 класиОпуклі множини
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-006

Зважена сума квадратів спадної послідовності

Доведіть, що якщо a1⩾a2⩾⋯⩾an⩾0a_{1} \geqslant a_{2} \geqslant \cdots \geqslant a_{n} \geqslant 0 і a1+a2+⋯+an=1a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=1, тоді a12+3a22+5a32+⋯+(2n−1)an2⩽1.a_{1}^{2}+3 a_{2}^{2}+5 a_{3}^{2}+\cdots+(2 n-1) a_{n}^{2} \leqslant 1 .
9–11 класиЧислові нерівності
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-002

Забарвлені точки з умовою про точку всередині трикутника

Дано nn точок площини, жодні три з яких ніколи не лежать на одній прямій. Кожну з них пофарбовано в червоний або в синій колір. Припускається, що всередині кожного трикутника з червоними вершинами міститься рівно одна синя точка, а всередині кожного трикутника з синіми вершинами — одна червона точка. Яке найбільше можливе значення nn?
8–10 класиОпуклі множини
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-005

Нерівність опуклості для площі многокутника

а. Нехай XX — скінченна множина точок на площині, а fX(n)f_{X}(n) — найбільша можлива площа многокутника з не більше ніж nn вершинами, усі з яких є точками множини XX. Доведіть, що якщо m,nm, n — цілі числа, для яких m≥n>2m \geq n > 2, то fX(m)+fX(n)≥fX(m+1)+fX(n−1)f_{X}(m) + f_{X}(n) \geq f_{X}(m+1) + f_{X}(n-1). б. Нехай P0P_{0} — прямокутник 1 на 2 (разом із внутрішністю), а многокутник PiP_{i} індуктивно означається як результат згинання Pi−1P_{i-1} по деякій прямій, що розрізає Pi−1P_{i-1} на дві зв’язні частини. Діаметром многокутника PiP_{i} називається найбільша відстань між двома точками PiP_{i}. Знайдіть найменший можливий діаметр многокутника P2013P_{2013}. (Іншими словами, для даного многокутника Pi−1P_{i-1} згин Pi−1P_{i-1} складається з прямої ll, яка ділить Pi−1P_{i-1} на дві зв’язні частини AA і BB, а згорнутий многокутник має вигляд Pi=A∪BlP_{i} = A \cup B_{l}, де BlB_{l} — образ BB при симетрії відносно прямої ll.)
10–11 класиОпуклі множини
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-058

Переріз гіперкуба з найбільшою кількістю граней

Нехай WW — гіперкуб {(x1,x2,x3,x4)∣0≤x1,x2,x3,x4≤1}\{ (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \mid 0 \leq x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \leq 1 \}. Перетин WW з гіперплощиною, паралельною до x1+x2+x3+x4=0x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, є невиродженим тривимірним многогранником. Яка найбільша можлива кількість граней цього многогранника?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-099

Вершини крос-політопа та куба

Нехай SS — множина точок (x1,x2,…,x2012)(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2012}) у 2012-вимірному просторі таких, що ∣x1∣+∣x2∣+⋯+∣x2012∣≤1|x_{1}| + |x_{2}| + \cdots + |x_{2012}| \leq 1. Нехай TT — множина точок у 2012-вимірному просторі таких, що max⁡i=12012∣xi∣=2\max_{i=1}^{2012} |x_{i}| = 2. Нехай pp — випадково вибрана точка множини TT. Яка ймовірність того, що найближча до pp точка множини SS є вершиною SS?
10–11 класиВекторний метод
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-092

Обмеженість двовимірного многочлена знизу

Нехай є 16 змінних {ai,j}0≤i,j≤3\{a_{i, j}\}_{0 \leq i, j \leq 3}, кожна з яких може дорівнювати 0 або 1. Для скількох наборів значень змінних ai,ja_{i, j} існують додатні дійсні числа ci,jc_{i, j} такі, що многочлен f(x,y)=∑0≤i,j≤3ai,jci,jxiyjf(x, y) = \sum_{0 \leq i, j \leq 3} a_{i, j} c_{i, j} x^{i} y^{j} (x,y∈R)(x, y \in \mathbb{R}) обмежений знизу?
10–11 класиОпуклі множини
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-115

Збурення вершин правильного шестикутника й опуклість

Нехай HH — правильний шестикутник зі стороною xx. Назвемо шестикутник у тій самій площині «спотворенням» шестикутника HH тоді й лише тоді, коли його можна отримати з HH зсувом кожної вершини шестикутника HH на відстань, строго меншу за 11. Знайдіть найменше значення xx, для якого кожне спотворення шестикутника HH обов’язково є опуклим.
10–11 класиОпуклі множини
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-097

Опукла множина зі скінченною площею

Нехай SS — опукла множина на площині зі скінченною площею aa. Доведіть, що або a=0a=0, або SS обмежена. Зауваження: множина обмежена, якщо вона міститься в крузі скінченного радіуса. Зауваження: множина опукла, якщо щоразу, коли дві точки AA і BB належать множині, відрізок між ними також належить множині.
10–11 класиОпуклі множини
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-147

Математичне сподівання площі опуклої оболонки на решітці

Для кожного цілого xx з 1≤x≤101 \leq x \leq 10 точку випадково розміщують або в (x,1)(x, 1), або в (x,−1)(x,-1) з рівною ймовірністю. Чому дорівнює математичне сподівання площі опуклої оболонки цих точок? Зауваження: опукла оболонка скінченної множини — це найменший опуклий многокутник, що її містить.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-076

Опуклі підмножини цілочисельної ґратки

Множина точок є опуклою, якщо ці точки є вершинами опуклого многокутника (тобто многокутника без самоперетинів з усіма кутами, не більшими за 180∘180^{\circ}). Нехай SS — множина точок (x,y)(x, y) таких, що xx і yy — цілі числа й 1≤x,y≤261 \leq x, y \leq 26. Знайдіть кількість способів вибрати опуклу підмножину множини SS, яка містить рівно 98 точок.
10–11 класиОпуклі множини
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-038

Точки без опуклого семикутника

На аркуші для відповідей чітко позначте принаймні сім точок так, щоб (i) жодні три не лежали на одній прямій; (ii) жодні сім не утворювали опуклий семикутник. Будь ласка, не закреслюйте жодних точок; стирайте, якщо можете зробити це акуратно. Якщо журі вирішить, що ваша робота надто неохайна, або якщо воно встановить, що ви порушили одну з цих умов, вашу роботу за цю задачу буде дискваліфіковано. Інакше ваш результат дорівнюватиме кількості позначених вами точок мінус 66, навіть якщо ви насправді порушили одну з умов, але змогли ввести журі в оману.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2005-003

Найближчі точки до межі кола

Нехай SS — множина з n≥3n \geq 3 точок у внутрішній області круга. a) Покажіть, що існують три різні точки a,b,c∈Sa, b, c \in S і три різні точки A,B,CA, B, C на колі такі, що aa (строго) ближча до AA, ніж будь-яка інша точка з SS, bb ближча до BB, ніж будь-яка інша точка з SS, а cc ближча до CC, ніж будь-яка інша точка з SS. b) Покажіть, що за жодного значення nn не можна гарантувати чотири такі точки в SS (і відповідні точки на колі).
10–11 класиОпуклі множини2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-015

Найбільший за площею трикутник у ґратчастому колі

Нехай SS — множина точок цілочисельної решітки всередині кола x2+y2=11x^{2}+y^{2}=11. Нехай MM — найбільша площа трикутника з вершинами в SS. Скільки трикутників з вершинами в SS мають площу MM?
10–11 класиОпуклі множини
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2004-008

Найменший кут серед точок на площині

Дано m≥3m \geq 3 точок на площині. Доведіть, що завжди можна вибрати три з цих точок A,B,CA, B, C так, щоб виконувалося ∡ABC≤180∘m.\Varangle A B C \leq \frac{180^{\circ}}{m} .
10–11 класиОпуклі множини
Математичний гурток БеркліBMC-2019-001

Проміжки з попарним перетином

На одній лекції є скінченна кількість студентів, щонайменше двоє. Кожен студент заснув рівно один раз і прокинувся рівно один раз. Припустімо, що для будь-яких двох студентів був момент часу, коли обидва спали. Доведіть, що був момент часу, коли спали всі студенти.
Опуклі множини
Естонська математична олімпіадаESTMO-2018-014

Неопуклий чотирикутник серед точок

На площині позначено скінченну кількість точок, з яких жодні три не лежать на одній прямій. Припустімо, що існує неопуклий многокутник, усі вершини якого знаходяться в деяких із цих точок. Доведіть, що існує неопуклий чотирикутник, усі вершини якого лежать у позначених точках.
Геометричні конфігурації точок
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-056

Випадковий конус, породжений точками сфери

Якщо u1,…,uk∈R3u_1, \dots, u_k \in \mathbb{R}^3, позначимо через C(u1,…,uk)C(u_1, \dots, u_k) конус, породжений u1,…,uku_1, \dots, u_k: C(u1,…,uk)={a1u1+⋯+akuk;a1,…,ak∈[0,+∞)}.C(u_1, \dots, u_k) = \{a_1 u_1 + \dots + a_k u_k; a_1, \dots, a_k \in [0, +\infty)\}. Нехай v1,v2,v3,v4v_1, v_2, v_3, v_4 — точки, випадково й незалежно вибрані з одиничної сфери x2+y2+z2=1x^2 + y^2 + z^2 = 1. a. Яка ймовірність того, що C(v1,v2,v3,v4)=R3C(v_1, v_2, v_3, v_4) = \mathbb{R}^3? b. Яка ймовірність того, що кожен із векторів потрібен для породження C(v1,v2,v3,v4)C(v_1, v_2, v_3, v_4), тобто що C(v1,v2,v3)≠C(v1,v2,v3,v4)C(v_1, v_2, v_3) \neq C(v_1, v_2, v_3, v_4), C(v1,v2,v4)≠C(v1,v2,v3,v4)C(v_1, v_2, v_4) \neq C(v_1, v_2, v_3, v_4), C(v1,v3,v4)≠C(v1,v2,v3,v4)C(v_1, v_3, v_4) \neq C(v_1, v_2, v_3, v_4) і C(v2,v3,v4)≠C(v1,v2,v3,v4)C(v_2, v_3, v_4) \neq C(v_1, v_2, v_3, v_4)?
Опуклі множини

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.