Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

89 задач
КомбінаторикаОрієнтовані графи
Балтійський шляхBW-1992-014

Місто, з якого можна дістатися до всіх інших

У країні є скінченна кількість міст. Вони сполучені дорогами з одностороннім рухом. Відомо, що для будь-яких двох міст одне з них досяжне з іншого. Доведіть, що існує місто, з якого досяжні всі інші міста.
10–11 класиОрієнтовані графи
Балтійський шляхBW-1991-012

Стратегія виходу із замку з залами і дверима

Замок має кілька залів і nn дверей. Кожні двері ведуть до іншої зали або назовні. Кожна зала має принаймні двоє дверей. Лицар входить до замку. У будь-якій залі він може обрати для виходу будь-які двері, крім тих, через які він щойно увійшов до цієї зали. Знайдіть стратегію, яка дозволить лицарю вийти назовні, відвідавши не більше ніж 2n2 n залів (зала зараховується щоразу, коли до неї входять).
10–11 класиШляхи на графах
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2025-001

Ітеративне голосування в колі гравців

nn гравців хокейної команди зібралися, щоб обрати капітана команди. Спочатку вони стають у коло, і кожен голосує за гравця ліворуч від себе. Гравці оновлюватимуть свої голоси протягом серії раундів. В одному раунді кожен гравець aa оновлює свій голос, по одному за раз, за такою процедурою: на момент оновлення, якщо aa голосує за bb, а bb голосує за cc, то aa змінює свій голос на cc. (Зауважимо, що aa, bb і cc не обов’язково різні; якщо b=cb = c, то голос aa під час цього оновлення не змінюється.) Кожен гравець оновлює свій голос рівно один раз у кожному раунді, у порядку, визначеному гравцями (можливо, різному в різних раундах). Вони повторюють цю процедуру оновлення протягом nn раундів. Доведіть, що в цей момент усі nn гравців одноголосно голосуватимуть за одну й ту саму особу.
10–11 класиОрієнтовані графи
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2025-010

Орієнтований граф з вершинами, що еволюціонують

Кластер JMO спочатку складається з п'яти зірок OO, AA, BB, CC і DD. Кожній зірці присвоюється значення, яке називається її важливістю. Важливість OO дорівнює 00, а важливість кожної зі зірок AA, BB, CC і DD дорівнює 11. Крім того, існують односторонні прямі рейси з OO до AA і CC; з AA до BB і DD; з BB до OO; з CC до BB і DD; і з DD до OO, і жодних інших прямих рейсів не існує. Щоб запобігти старінню зірок, Кластер JMO періодично виконує операцію, що складається з такої послідовності дій: (1) Скасувати всі існуючі прямі рейси та знищити всі зірки. (2) Для кожного прямого рейсу ff, скасованого на кроці (1), побудувати нову зірку SfS_f. Потім присвоїти SfS_f важливість, що дорівнює сумі важливостей зірок відправлення та прибуття ff. (3) Для кожної впорядкованої пари (f,f′)(f, f') двох скасованих прямих рейсів, таких, що зірка прибуття ff збігається зі зіркою відправлення f′f', відкрити односторонній прямий рейс з SfS_f до Sf′S_{f'}. Знайдіть суму важливостей зірок, побудованих під час 100-ї операції.
10–11 класиОрієнтовані графи
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-047

Розсилання інформації в сильно зв’язному орграфі

Дано натуральне число nn. У мережі є nn комп’ютерів, пронумерованих натуральними числами 1,2,…,n1, 2, \dots, n. Комп’ютери з’єднано односторонніми лініями зв’язку так, що інформацію з будь-якого комп’ютера можна надіслати до всіх інших комп’ютерів або безпосередньо, або через інші комп’ютери мережі. Спочатку кожен комп’ютер знає лише свій власний номер. Коли на будь-якому комп’ютері запускають певну процедуру, комп’ютер виводить усі номери комп’ютерів, які він знає, і передає їх усім комп’ютерам, до яких він має прямі лінії. Оператор комп’ютера запускає цю процедуру на будь-яких вибраних комп’ютерах у будь-якій обраній послідовності (можливо, кілька разів на тому самому комп’ютері). Доведіть, що мінімальна загальна кількість запусків процедури, за якої можливо, щоб усі комп’ютери вивели номери всіх комп’ютерів принаймні один раз, не залежить від мережі ліній, а лише від числа nn, і знайдіть цю кількість запусків.
11 класОрієнтовані графи
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2023-005

Випадкова перестановка послідовних вказівок

Пан Мергатройд вирішив влаштувати для свого класу вечірку з піцою, але спершу змусить учнів на неї полювати. Він обирає в школі одинадцять локацій, які ми назвемо 1,2,…,111,2, \ldots, 11. Його план — сказати учням стартувати з локації 11, причому на кожній локації nn від 11 до 1010 на них чекає повідомлення зі вказівкою йти до локації n+1n+1; на локації 1111 — піца! Пан Мергатройд доручає своєму асистентові розкласти десять повідомлень у локаціях від 11 до 1010. На жаль, асистент перед розкладанням випадковим чином перемішує картки з повідомленнями. Якщо учні починають з локації 11, як і було заплановано, і на кожній локації керуються вказівкою, доведіть, що вони все одно дійдуть до піци.
10–11 класиШляхи на графах
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-062

Доповнення таблиці (n-2) × n до n × n

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — натуральне число. Кожен рядок таблиці (n−2)×n(n-2) \times n містить числа від 1 до nn по одному разу, причому в кожному стовпці всі числа різні. Доведіть, що таблицю можна доповнити до таблиці n×nn \times n так, щоб у кожному рядку і в кожному стовпці були всі числа від 1 до nn.
8–10 класиОрієнтовані графи
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-016

Бандити, що стріляють один в одного

Жахлива банда розбійників готується поділити здобич. Кожен бандит цілиться з пістолетів у двох інших бандитів. Бандитів викликають у певному порядку. Коли бандита викликають, якщо він ще живий, він стріляє в бандитів, у яких цілився. Після того як усіх бандитів було викликано, виявилося 28 жертв. Доведіть, що за будь-якого порядку виклику бандитів було б щонайменше 10 жертв.
10–11 класиОрієнтовані графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-104

Шикування турніру з умовою про сусідів

Тисяча людей бере участь у тенісному турнірі, де кожен грає з кожним рівно один раз, і нічиїх немає. Доведіть, що всіх учасників можна вишикувати в ряд так, щоб кожен із 998 людей, які не стоять на кінцях ряду, або переміг обох своїх сусідів, або програв обом своїм сусідам.
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на IMOTST-2023-029

Необмежена різниця ітерованої функції

Зафіксуймо функцію f:N→Nf: \mathbb{N} \to \mathbb{N} і для будь-яких m,n∈Nm, n \in \mathbb{N} визначимо Δ(m,n)=f(f(…f(m)… ))⏟f(n) разів−f(f(…f(n)… ))⏟f(m) разів.\Delta(m, n) = \underbrace{f(f(\dots f(m)\dots))}_{f(n) \text{ разів}} - \underbrace{f(f(\dots f(n)\dots))}_{f(m) \text{ разів}}. Припустімо, що Δ(m,n)≠0\Delta(m, n) \neq 0 для будь-яких різних m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}. Доведіть, що Δ\Delta є необмеженою, тобто що для будь-якої сталої CC існують m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}, для яких ∣Δ(m,n)∣>C|\Delta(m, n)| > C.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-049

Еквівалентність подільних і переставних графів

Скінченний простий граф GG з nn вершинами називається подільним, якщо можна кожній вершині ss графа GG присвоїти номер nsn_{s} так, що будь-які дві різні вершини завжди мають два різні номери, а будь-які дві вершини ss і s′s^{\prime} з'єднані ребром тоді й лише тоді, коли ns∣ns′n_{s} \mid n_{s^{\prime}} або ns′∣nsn_{s^{\prime}} \mid n_{s}. Скінченний простий граф GG з nn вершинами називається переставним, якщо можна пронумерувати вершини графа GG від 11 до nn і існує перестановка σ\sigma множини {1,…,n}\{1, \ldots, n\} така, що вершини з номерами ii і jj з'єднані ребром тоді й лише тоді, коли (i−j)(σ(i)−σ(j))<0(i-j)(\sigma(i)-\sigma(j))<0. Доведіть, що граф GG є переставним тоді й лише тоді, коли GG та його доповнення є подільними.
10–11 класиОрієнтовані графи
Відбіркові тести на IMOTST-2022-015

Гра з монетами на графі з квотами вершин

Дано (простий) граф GG з n≥2n \geq 2 вершинами v1,v2,…,vnv_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n} і m≥1m \geq 1 ребрами, Жоель і Роберт грають у таку гру з mm монетами: i) Спочатку Жоель приписує кожній вершині viv_{i} невід'ємне ціле число wiw_{i} таке, що w1+⋯+wn=mw_{1}+\cdots+w_{n}=m. ii) Потім Роберт вибирає (можливо, порожню) підмножину ребер, і для кожного вибраного ребра він кладе монету рівно на один із двох його кінців, а потім вилучає це ребро з графа. Коли він закінчить, кількість монет на кожній вершині viv_{i} має бути не більшою за wiw_{i}. iii) Потім Жоель робить те саме для всіх ребер, що залишилися. iv) Жоель перемагає, якщо кількість монет на кожній вершині viv_{i} дорівнює wiw_{i}. Визначте всі графи GG, для яких Жоель має виграшну стратегію.
10–11 класиДвочасткові графи
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-033

Турнір і місто з не більше ніж однією вихідною дорогою

У країні чудес є nn міст. Кожна пара міст сполучена дорогою з одностороннім рухом, яка виходить з одного з двох міст і приходить до іншого. Щоб розібратися, Аліса запитує Червового короля: у кожному запитанні Аліса вибирає пару міст, а Червовий король каже їй, яке місто є початком дороги, що сполучає ці два міста. Доведіть, що за 5n5 n запитань або менше Аліса може дізнатися, чи існує місто, з якого виходить не більше однієї дороги.
8–10 класиСтепені вершин
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-002

Покриття гіперкуба за правилом двох сусідів

Нехай kk та nn — натуральні числа, відмінні від нуля, такі, що k⩽2nk \leqslant 2^{n}. Моргана записала у своєму зошиті множину всіх nn-наборів, складених з 0 та 1: їх є 2n2^{n}. Кажуть, що два nn-набори (x1,…,xn)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) та (y1,…,yn)\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) є сусідніми, якщо вони мають n−1n-1 спільних членів, тобто якщо існує єдине ціле число ii таке, що xi≠yix_{i} \neq y_{i}. Потім Моргана вибирає kk з цих nn-наборів і підкреслює їх. Далі вона виконує такі операції: під час кожної операції вона вибирає nn-набір, у якого два сусіди підкреслено, і також підкреслює цей nn-набір. Для яких значень kk Моргана може домогтися того, щоб підкреслити множину всіх nn-наборів?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-035

Сума квадратів перемог дорівнює сумі квадратів поразок

У турнірі, в якому беруть участь nn гравців, пронумерованих від 1 до nn, кожна пара гравців зустрічається рівно один раз. Ця зустріч завершується перемогою одного з двох гравців і поразкою іншого гравця. Позначимо через vkv_{k} кількість перемог гравця kk протягом турніру, а через dkd_{k} — кількість його поразок. Доведіть, що ∑k=1nvk2=∑k=1ndk2\sum_{k=1}^{n} v_{k}^{2}=\sum_{k=1}^{n} d_{k}^{2}.
9–11 класиОрієнтовані графи
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-062

Ланцюжок перемог у шаховому турнірі

Двадцять гравців взяли участь у шаховому турнірі. Кожен гравець зіграв з кожним іншим гравцем рівно один раз, і кожна партія закінчилася перемогою одного з гравців або нічиєю. У цьому турнірі помітили, що для кожної партії, яка закінчилася нічиєю, кожен з решти 18 гравців переміг принаймні одного з двох гравців, які в ній брали участь. Відомо також, що принаймні дві партії закінчилися нічиєю. Покажіть, що можна позначити гравців через P1,P2,…,P20P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{20} так, щоб гравець PkP_{k} виграв у гравця Pk+1P_{k+1} для кожного k∈{1,2,3,…,19}k \in\{1,2,3, \ldots, 19\}.
10–11 класиШляхи на графах
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-009

Круговий турнір та його майстер

a) У чемпіонаті буде 7 учасників. Кожен з них зіграє рівно одну гру проти кожного іншого. Яка загальна кількість ігор чемпіонату? b) У чемпіонаті буде nn учасників і кожен з них зіграє рівно одну гру проти кожного іншого. Доведіть, що загальна кількість ігор дорівнює n⋅(n−1)2\frac{n \cdot (n-1)}{2}. c) Учасник AA називається майстром чемпіонату, якщо кожен інший гравець або програв AA, або програв комусь, хто програв AA. Доведіть, що будь-який чемпіонат, у якому кожен гравець грає рівно один раз проти кожного іншого і не існує нічиїх, завжди має майстра. d) Жуан і Марія були на турнірі, в якому кожен спортсмен мав зіграти проти кожного іншого рівно один раз. Однак Марія через проблеми зі здоров'ям покинула турнір після 10 зіграних ігор, а Жуану довелося піти після своєї першої гри. Наприкінці дня було нараховано загалом 55 ігор. Чи була гра, яку зіграв Жуан, проти Марії?
8–9 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-002

Нільпотентна матриця і заборонені обходи

Нехай S={1,2,…,n}S=\{1,2, \ldots, n\} для деякого натурального числа nn, а AA — матриця розміру nn на nn, яка складається лише з нулів та одиниць. Назвемо нескінченну послідовність {xi}i≥0\{x_{i}\}_{i \geq 0} дивною, якщо: - xi∈Sx_{i} \in S для всіх ii, - axkxk+1=1a_{x_{k} x_{k+1}}=1 для всіх kk, де aija_{ij} позначає елемент у iйi^{\text{й}} рядку та jйj^{\text{й}} стовпці матриці AA. Доведіть, що множина дивних послідовностей порожня тоді й лише тоді, коли AA нільпотентна, тобто Am=0A^{m}=0 для деякого цілого числа mm.
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-046

Циклічне домінування у випадковому турнірі

П'ятеро однаково сильних тенісистів на ім'я Аллен, Боб, Кетрін, Девід та Еван грають круговий турнір, у якому кожна пара гравців грає рівно один раз і нічиїх немає. У кожній з десяти ігор обидва гравці мають 50%50\% шанс на перемогу, а результати ігор незалежні. Обчисліть ймовірність того, що існують чотири різні гравці P1,P2,P3,P4P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4} такі, що PiP_{i} перемагає Pi+1P_{i+1} при i=1,2,3,4i=1,2,3,4. (Позначаємо P5=P1P_{5}=P_{1}).
10–11 класиОрієнтовані графи
Відбіркові тести на IMOTST-2015-021

Досяжність у двоколірному турнірі

У країні Тейль-Ланд є nn міст. Кожні два міста сполучені вулицею з одностороннім рухом, якою можна проїхати або лише мотоциклом, або лише автомобілем. Доведіть, що існує місто, з якого до кожного іншого міста можна дістатися або мотоциклом, або автомобілем. Зауваження: Не обов'язково, щоб до кожного іншого міста можна було дістатися одним і тим самим транспортним засобом.
10–11 класиОрієнтовані графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-133

Ранжування турніру з властивістю домінування

Шість різних гравців беруть участь у тенісному турнірі. Кожен гравець грає один матч проти кожного іншого гравця. Нічиїх у цьому турнірі немає — кожен тенісний матч завершується перемогою одного гравця та поразкою іншого. Припустімо, що щоразу, коли AA і BB — гравці турніру такі, що AA здобуває строго більше перемог, ніж BB за весь турнір, виконується також, що AA перемагає BB в їхньому очному матчі турніру. Скількома способами міг завершитися турнір?
10–11 класиОрієнтовані графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-097

Недоміновані розподіли іграшок та улюблений вибір

Є nn дітей і nn іграшок, причому кожна дитина має строге впорядкування іграшок за бажаністю. Ми хочемо роздати іграшки: кажемо, що розподіл AA домінує над розподілом B≠AB \neq A, якщо в розподілі AA кожна дитина отримує не менш бажану іграшку, ніж у розподілі BB. Доведіть, що якщо над деяким розподілом не домінує жоден інший, то в цьому розподілі принаймні одна дитина отримує свою улюблену іграшку.
10–11 класиОрієнтовані графи
Відбіркові тести на IMOTST-2013-044

Стабільні трикутні таблиці із заданими сумами рядків

Нехай nn — натуральне число. Розглянемо трикутну таблицю з невід'ємних цілих чисел такого вигляду: Назвемо таку трикутну таблицю стабільною, якщо для всіх 0≤i<j<k≤n0 \le i < j < k \le n виконується ai,j+aj,k≤ai,k≤ai,j+aj,k+1.a_{i,j} + a_{j,k} \le a_{i,k} \le a_{i,j} + a_{j,k} + 1. Для будь-якої неспадної послідовності невід'ємних цілих чисел s1,…,sns_1, \dots, s_n доведіть, що існує єдина стабільна трикутна таблиця, у якій сума всіх елементів у рядку kk дорівнює sks_k.
10–11 класиОрієнтовані графи
Відбіркові тести на IMOTST-2013-045

Класи еквівалентності повних рядків за простої операції

Нехай SS — множина з nn змінних, бінарна операція ×\times на SS називається простою, якщо вона задовольняє (x×y)×z=x×(y×z)(x \times y) \times z = x \times (y \times z) для всіх x,y,z∈Sx, y, z \in S і x×y∈{x,y}x \times y \in \{x, y\} для всіх x,y∈Sx, y \in S. Для простої операції ×\times на SS будь-який рядок з елементів SS можна звести до одного елемента, наприклад xyz→x×(y×z)xyz \rightarrow x \times (y \times z). Рядок зі змінних з SS називається повним, якщо він містить кожну змінну з SS принаймні один раз, а два рядки називаються еквівалентними, якщо вони дають ту саму змінну незалежно від того, яку просту операцію ×\times обрано. Наприклад, xxxxxx, xxxx і xx еквівалентні, але вони повні лише якщо n=1n = 1. Нехай TT — множина рядків така, що будь-який повний рядок еквівалентний рівно одному елементу з TT. Визначте кількість елементів множини TT.
10–11 класиПерестановки
Відбіркові тести на IMOTST-2010-024

Орієнтація ребер в ейлеровому графі

У країні є скінченно багато міст і скінченно багато доріг. Кожна дорога з'єднує два різні міста, і будь-які два міста з'єднані щонайбільше однією дорогою. Усіма дорогами можна рухатися в обох напрямках, а мережа доріг влаштована так, що з кожного міста можна дістатися до кожного іншого міста (можливо, об'їзними шляхами). Крім того, для кожного міста кількість доріг, що виходять із цього міста, є парною. Уряд вирішує перетворити всі дороги на дороги з одностороннім рухом. Це треба зробити так, щоб для кожного міста кількість доріг, що виходять з нього, дорівнювала кількості доріг, що входять до нього. a) Покажіть, що це завжди можливо. b) Покажіть, що за такого перетворення з кожного міста все одно можна буде дістатися до кожного іншого, хоч би як уряд реалізував свій план.
10–11 класиШляхи на графах2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.