Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

139 задач
АлгебраПеріодичні і неперіодичні послідовності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-093

Фарбування вершин 2009-кутника з умовою на шістки

Чи можна пофарбувати усі вершини 2009-кутника у жовтий та блакитний колір так, що серед шести вершин, що йдуть підряд, рівно 33 блакитних, або рівно одна жовта?
8–9 класиПарність і непарність
Київський турнір математичних боївKMB-07-08-064

2008 цифр на дошці та подільність сусідніх пар

На дошці виписано 20082008 цифр так, що число, яке складається з будь-яких двох цифр, що стоять поруч, ділиться на 1717 або на 2323. Перша цифра 99. Знайти останню.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-039

Перевертання верхніх книг у стопці з n книг

Є nn книг, що лежать одна на одній. Занумеруємо їх 1,2,…,n1, 2, \ldots, n. У кожному турі ми робимо nn ходів наступним чином – ii-й хід полягає в тому, що ми перевертаємо верхні ii книг як одне ціле. Після кожного туру ми аналогічним чином проводимо наступний. Доведіть, що після якоїсь кількості ходів ми прийдемо до початкової розстановки усіх книг.
8–9 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-153

Періодичність послідовності найменших відсутніх сум

Послідовність aia_i будується наступним чином: a1=a2=…=a2007=0a_1 = a_2 = \ldots = a_{2007} = 0, а для n>2007n > 2007 ana_n дорівнює найменшому цілому невід’ємному числу, яке не зустрічається серед чисел an−1+a1a_{n-1} + a_1, an−2+a2a_{n-2} + a_2, …\ldots, an−[n2]+a[n2]a_{n-\left[\frac{n}{2}\right]} + a_{\left[\frac{n}{2}\right]}. Довести, що (ai)(a_i) – періодична, починаючи з деякого місця.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Київська математична карусельKMC-06-07-003

Послідовність за сумою цифр квадрата і 2006-те місце

Послідовність будується за таким законом. На першому місці стоїть число 77, а далі за кожним числом стоїть сума цифр його квадрата, збільшена на 11. Яке число стоїть на 20062006 місці?
8–9 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-22-23-065

Послідовність за правилом ab - 1 і 2023-й член

На моніторі комп’ютера з’являються одне за одним числа за таким правилом: якщо послідовно з’явилися числа aa та bb, то наступним з’явиться число ab−1ab - 1. Першими з’явилися числа 11 та 22. Яке число з’явиться на 20232023-му місці?
6 класПеріодичні і неперіодичні послідо…
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-19-20-020

Жовтий чи синій прапорець 29 січня

З 1 січня 2020 р. Оксана щодня на балконі виставляла жовтий або синій прапорець. Які прапорці були виставлені в перші два дні цього року, невідомо, але, починаючи з 3 січня, Оксана діяла за таким правилом: виставляла жовтий прапорець, якщо перед цим останні два дні були виставлені прапорці різного кольору; відповідно, виставляла синій прапорець, якщо два дні напередодні прапорці були однакового кольору. Відомо, що за цим правилом 14 січня вона виставила синій прапорець. Чи можна за таких умов з’ясувати, який прапорець Оксана виставила 29 січня?
4 класПеріодичні і неперіодичні послідо…
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-18-19-036

Напрям руху равлика між клітинками 243 і 244

Равлик рухається на аркуші паперу в клітинку по спіралі (рис. 10.5), не заходячи двічі на жодну клітинку та не пропускаючи жодної, причому всі ці клітинки занумеровано послідовно. У якому напрямі равлик рухатиметься від клітинки з номером 243243 до клітинки з номером 244244 — нагору, донизу, ліворуч чи праворуч?
5 класСуми послідовностей
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-17-18-051

Номер сірого квадратика у верхньому рядку прямокутника

Прямокутник 2018×62018\times6 розрізали на квадратики 1×11\times1, ці квадратики перенумерували так, як це показано на рис. 10.9. У кожному рядку помітили сірим кольором рівно по одному квадратику. Визначте номер сірого квадратика, що розташований у верхньому рядку.
5 класПеріодичні і неперіодичні послідо…
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-15-16-051

Послідовність знаків з правилом побудови та 2016-й знак

Задано послідовно 4 знаки: a1=+a_1 = +, a2=−a_2 = -, a3=+a_3 = +, a4=+a_4 = +. П'ятий знак визначають залежно від першого та третього знаків: якщо вони однакові, то він є «++», якщо різні, то «−-». Так само шостий знак визначається другим і четвертим, сьомий знак — третім та п'ятим і т. д. Яким буде 2016-й знак у цій послідовності знаків?
5 класПеріодичні і неперіодичні послідо…
Тематичні олімпіади з математикиTMO-15-16-029

Натуральні n з попарно різними дійсними числами

Знайдіть усі такі натуральні nn, для яких існують попарно різні дійсні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, що задовольняють умову {ai+(−1)iai  ∣  1⩽i⩽n}={ai∣1⩽i⩽n}.\left\{a_i+\frac{(-1)^i}{a_i}\;\bigm|\;1\leqslant i\leqslant n\right\}=\{a_i\mid 1\leqslant i\leqslant n\}.
11 класПарність і непарність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-007

Найбільший степінь числа a серед членів послідовності

Нехай aa, d>1d > 1 — взаємно прості натуральні числа. Визначимо послідовність (xk)(x_k) таким чином: xk+1={xka,якщо xk⋮a,xk+d,якщо інакше,x_{k+1} = \begin{cases} \dfrac{x_k}{a}, & \text{якщо } x_k \vdots a, \\ x_k + d, & \text{якщо інакше}, \end{cases} де x1=1x_1 = 1, k∈Nk \in \mathbb{N}. Знайдіть найбільше натуральне число nn, для якого існує такий індекс kk, що число xkx_k ділиться на ana^n, або доведіть, що такого nn не існує.
10–11 класиСтепені за модулем. Періодичність…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-012

Послідовності через НСД і НСК та періодичність

Припустимо, що a0a_0, a1a_1, …\ldots і b0b_0, b1b_1, …\ldots — дві послідовності натуральних чисел, що задовольняють умови a0,b0⩾2a_0, b_0 \geqslant 2 і an+1=НСД(an,bn)+1,bn+1=НСК(an,bn)−1,a_{n+1} = \text{НСД}(a_n, b_n) + 1, \quad b_{n+1} = \text{НСК}(a_n, b_n) - 1, для довільного n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що послідовність (an)(a_n) стає періодичною починаючи з деякого моменту; іншими словами, існують цілі числа N⩾0N \geqslant 0 і t>0t > 0 такі, що an+t=ana_{n+t} = a_n для довільного n⩾Nn \geqslant N.
10–11 класиНСД та НСК
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-003

Нескінченна послідовність з умовою на кількість повторень

Нехай a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots — нескінченна послідовність натуральних чисел та нехай NN — деяке натуральне число. Відомо, що для кожного натурального числа n>Nn > N число an−1a_{n-1} трапляється поміж чисел a1,a2,…,an−1a_1, a_2, \ldots, a_{n-1} рівно ana_n разів. Доведіть, що принаймні одна з послідовностей — a1,a3,a5,…a_1, a_3, a_5, \ldots або a2,a4,a6,…a_2, a_4, a_6, \ldots — стає періодичною, починаючи з деякого номера. Примітка. Нескінченну послідовність b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \ldots називають періодичною, починаючи з деякого номера, якщо існують такі натуральні числа pp та MM, коли рівність bm+p=bmb_{m+p} = b_m справджується при всіх натуральних числах m⩾Mm \geqslant M.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-001

Періодичність послідовності, заданої середніми

Нехай a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — нескінченна строго зростаюча послідовність натуральних чисел така, що для кожного n⩾1n \geqslant 1 виконується an∈{an−1+an+12,an−1⋅an+1}a_{n} \in\left\{\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}, \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}\right\} Нехай b1,b2,…b_{1}, b_{2}, \ldots — нескінченна послідовність літер, визначена як bn={A, якщо an=12(an−1+an+1)G, інакше b_{n}= \begin{cases}A, & \text{ якщо } a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n-1}+a_{n+1}\right) \\ G, & \text{ інакше }\end{cases} Доведіть, що існують натуральні числа n0n_{0} і dd такі, що для всіх n⩾n0n \geqslant n_{0} виконується bn+d=bnb_{n+d}=b_{n}.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-002

Темп зростання рекурентних послідовностей

Для натурального числа nn називаємо nn-послідовністю послідовність (a0,…,an)(a_{0}, \ldots, a_{n}) з невід'ємних цілих чисел, яка задовольняє таку умову: якщо ii і jj — невід'ємні цілі числа, для яких i+j⩽ni+j \leqslant n, то ai+aj⩽na_{i}+a_{j} \leqslant n і aai+aj=ai+ja_{a_{i}+a_{j}}=a_{i+j}. Нехай f(n)f(n) — кількість nn-послідовностей. Доведіть, що існують додатні дійсні числа c1,c2c_{1}, c_{2} і λ\lambda такі, що c1λn<f(n)<c2λnc_{1} \lambda^{n}<f(n)<c_{2} \lambda^{n} для всіх натуральних чисел nn.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-020

Періодичність послідовності з умовою подільності

Нехай a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots — нескінченна послідовність натуральних чисел така, що an+2ma_{n+2m} ділить an+an+ma_{n} + a_{n+m} для всіх натуральних чисел nn і mm. Доведіть, що ця послідовність зрештою періодична, тобто існують натуральні числа NN і dd такі, що an=an+da_{n} = a_{n+d} для всіх n>Nn > N.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2018-002

Цілі n з циклічною послідовністю дійсних чисел

Знайдіть усі цілі числа n⩾3n \geqslant 3, для яких існують дійсні числа a1,a2,…,an+2a_1, a_2, \ldots, a_{n+2} такі, що an+1=a1a_{n+1} = a_1, an+2=a2a_{n+2} = a_2 і aiai+1+1=ai+2a_i a_{i+1} + 1 = a_{i+2} при всіх i=1,n‾i = \overline{1, n}.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-011

Послідовність з кубом та подільність члена на просте число

Послідовність натуральних чисел (an)(a_n) така, що a1=1a_1 = 1 і ak+1=ak3+1a_{k+1} = a_k^3 + 1, k∈Nk \in \mathbb{N}. Доведіть, що для будь-якого простого числа pp вигляду 3l+23l + 2, де ll — ціле невід'ємне число, існує таке натуральне число nn, що ana_n ділиться націло на pp.
10–11 класиМала теорема Ферма
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-045

Двійкова послідовність із повторюваним блоком

У двобічно нескінченній послідовності ana_n, де n∈Zn \in \mathbb{Z}, кожен член ana_n дорівнює або 00, або 11. Доведіть, що існують числа pp і q>1q > 1 такі, що ap+k=ap+q+ka_{p+k} = a_{p+q+k} для k=0,1,…,q−1k = 0, 1, \dots, q-1.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-011

Періодичність послідовності з рівності сум

Нехай rr — натуральне число, а a0,a1,…a_{0}, a_{1}, \ldots — нескінченна послідовність дійсних чисел. Припустімо, що для всіх невід’ємних цілих чисел mm і ss існує натуральне число n∈[m+1,m+r]n \in [m+1, m+r] таке, що am+am+1+⋯+am+s=an+an+1+⋯+an+sa_{m}+a_{m+1}+\cdots+a_{m+s}=a_{n}+a_{n+1}+\cdots+a_{n+s} Доведіть, що послідовність є періодичною, тобто існує таке p⩾1p \geqslant 1, що an+p=ana_{n+p}=a_{n} для всіх n⩾0n \geqslant 0.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2012-008

Слово, що стає накопиченим після обміну сусідніх літер

Під «словом» будемо розуміти скінченну послідовність літер деякої абетки. Назвімо слово накопиченим, якщо воно є об’єднанням щонайменше двох однакових менших слів (наприклад, слова́ «абабаб» та «вабваб» накопичені, а слова «абаба» й «аабб» — ні). Доведіть, що якщо після обміну місцями довільних двох сусідніх літер слова воно стає накопиченим, то це слово складається з однакових літер. (Якщо дві сусідні літери слова однакові, їх також можна поміняти місцями — отримане слово збігатиметься з початковим і також має бути накопиченим.)
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-009

Періодичність останньої цифри рекурентної послідовності

Послідовність a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots з натуральних чисел така, що an+1a_{n+1} є останньою цифрою числа an+an−1a_n + a_{n-1} для всіх n>2n > 2. Чи завжди правда, що для деякого n0n_0 послідовність an0,an0+1,an0+2,…a_{n_0}, a_{n_0+1}, a_{n_0+2}, \ldots є періодичною?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-007

Всюдисущі слова в періодичній послідовності

Нехай nn — натуральне число, а W=…x−1x0x1x2…W = \ldots x_{-1} x_{0} x_{1} x_{2} \ldots — нескінченне періодичне слово з літер aa і bb. Припустимо, що мінімальний період NN слова WW більший за 2n2^{n}. Скінченне непорожнє слово UU зустрічається в WW, якщо існують індекси k≤ℓk \leq \ell такі, що U=xkxk+1…xℓU = x_{k} x_{k+1} \ldots x_{\ell}. Скінченне слово UU називається всюдисущим, якщо всі чотири слова UaU a, UbU b, aUa U і bUb U зустрічаються в WW. Доведіть, що існує принаймні nn всюдисущих скінченних непорожніх слів.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2010-006

Послідовність з максимумом сум двох попередніх членів

Задано послідовність (an)(a_n), яка складається з додатних дійсних чисел. Відомо, що для деякого фіксованого натурального ss при всіх n>sn > s має місце рівність an=max⁡{ak+an−k∣1≤k≤n−1}.a_n = \max\left\{ a_k + a_{n-k} \mid 1 \le k \le n-1 \right\}. Доведіть, що існують натуральні числа ll і NN, такі, що l≤sl \le s і an=al+an−la_n = a_l + a_{n-l} при всіх n≥Nn \ge N.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.