Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

94 задачі
Теорія чиселПорядок (показник) числа за модулем.
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-085

Максимальний степінь, що ділить члени послідовності

Нехай a⩾2a \geqslant 2 і d⩾2d \geqslant 2 — два взаємно прості цілі числа. Покладемо x1=1x_{1}=1; далі, для кожного цілого k⩾1k \geqslant 1, покладемо xk+1=xk/ax_{k+1}=x_{k} / a, якщо aa ділить xkx_{k}, і xk+1=xk+dx_{k+1}=x_{k}+d інакше. Знайдіть, залежно від aa і dd, максимальне ціле ℓ\ell, для якого aℓa^{\ell} ділить один із членів x1,x2,x3,…x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-019

Прості пари з факторіальним рівнянням

Знайдіть усі пари простих чисел (p,q)(p, q), для яких виконується 2p=2q−2+q!2^{p}=2^{q-2}+q!
10–11 класиФормула Лежандра
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-016

Дільники і функція Ейлера в цілих відношеннях

Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що ϕ(n)d(n)+1n\frac{\phi(n)^{d(n)} + 1}{n} є цілим числом, а nϕ(n)−1d(n)5\frac{n^{\phi(n)} - 1}{d(n)^5} — ні. Тут ϕ(n)\phi(n) позначає кількість цілих чисел у множині {1,…,n}\{1, \dots, n\}, взаємно простих із nn, а d(n)d(n) позначає кількість додатних дільників числа nn.
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-010

Простота членів рекурентно заданої послідовності

Нехай m,n⩾2m, n \geqslant 2 — цілі числа, такі, що НСД(m,n)=НСД(m,n−1)=1\text{НСД}(m, n)=\text{НСД}(m, n-1)=1. Визначимо послідовність (nk)k∈N\left(n_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} умовами n0=mn_{0}=m і nk+1=n⋅nk+1n_{k+1}=n \cdot n_{k}+1 для k∈Nk \in \mathbb{N}. Доведіть, що цілі числа n1,…,nm−1n_{1}, \ldots, n_{m-1} не можуть усі бути простими числами.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-121

Циклічні степеневі конгруенції за простим модулем

Натуральні числа a1,a2,…,a7,b1,b2,…,b7a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{7}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{7} задовольняють 2≤ai≤1662 \leq a_{i} \leq 166 і aibi≡ai+12( mod 167)a_{i}^{b_{i}} \equiv a_{i+1}^{2} (\bmod 167) для кожного 1≤i≤71 \leq i \leq 7 (де a8=a1a_{8}=a_{1}). Обчисліть найменше можливе значення b1b2⋯b7(b1+b2+⋯+b7)b_{1} b_{2} \cdots b_{7}\left(b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{7}\right).
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Відбіркові тести на IMOTST-2022-023

Подільність частки показникової суми

Нехай n≥2n \geq 2 — ціле число. Доведіть, що якщо n2+4n+7nn\frac{n^{2}+4^{n}+7^{n}}{n} — ціле число, то воно ділиться на 1111.
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-006

Набори з експоненційною умовою за модулем

Визначте кількість наборів цілих чисел (a1,a2,…,a17)(a_1, a_2, \dots, a_{17}), які задовольняють 2≤ai≤202 \le a_i \le 20 для всіх i=1,…,17i = 1, \dots, 17 і a1a2⋯a16a17≡a2a3⋯a17a17≡1(mod17).a_1^{a_2} \cdots a_{16}^{a_{17}} \equiv a_2^{a_3} \cdots a_{17}^{a_{17}} \equiv 1 \pmod{17}. Тут степінь обчислюється послідовно починаючи з двох верхніх правих чисел.
10–11 класиМала теорема Ферма
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-125

Щасливі многочлени над полем з 101 елемента

Означимо F101[x]\mathbb{F}_{101}[x] як множину всіх многочленів від xx з коефіцієнтами з F101\mathbb{F}_{101} (цілих чисел за модулем 101101 зі звичайними додаванням і відніманням), так що два многочлени рівні тоді й лише тоді, коли коефіцієнти при xkx^{k} рівні в F101\mathbb{F}_{101} для кожного невід'ємного цілого числа kk. Наприклад, (x+3)(100x+5)=100x2+2x+15(x+3)(100 x+5)=100 x^{2}+2 x+15 в F101[x]\mathbb{F}_{101}[x], оскільки відповідні коефіцієнти рівні за модулем 101101. Скажімо, що f(x)∈F101[x]f(x) \in \mathbb{F}_{101}[x] є щасливим, якщо його степінь не перевищує 10001000 і існують g(x),h(x)∈F101[x]g(x), h(x) \in \mathbb{F}_{101}[x] такі, що f(x)=g(x)(x1001−1)+h(x)101−h(x)f(x)=g(x)\left(x^{1001}-1\right)+h(x)^{101}-h(x) в F101[x]\mathbb{F}_{101}[x]. Знайдіть кількість щасливих многочленів.
10–11 класиМногочлени ділення кола2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2020-031

Взаємна подільність з рівними цілими частинами коренів

Знайдіть усі пари натуральних чисел (a,b)(a, b), що задовольняють такі умови: (i) aa ділить b4+1b^4 + 1, (ii) bb ділить a4+1a^4 + 1, (iii) ⌊a⌋=⌊b⌋\lfloor\sqrt{a}\rfloor = \lfloor\sqrt{b}\rfloor.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-023

Добуток степенів за модулем простого числа

Нехай p,qp, q — прості числа, а aa — ціле число таке, що p>2p > 2 і a≠1(modq)a \neq 1 \pmod{q}, але ap≡1(modq)a^p \equiv 1 \pmod{q}. Доведіть, що (1+a1)(1+a2)…(1+ap−1)≡1(modq).(1+a^1)(1+a^2)\dots(1+a^{p-1}) \equiv 1 \pmod{q}.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…3 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-016

Факторіал як різниця степенів

Нехай uu — натуральне число. Доведіть, що існує лише скінченна кількість трійок невід'ємних цілих чисел (a,b,n)(a, b, n) таких, що n!=ua−ubn! = u^{a} - u^{b}. Зауваження: нагадаємо, що 0!=1!=10! = 1! = 1.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-010

Періодичні функції з модульним функціональним рівнянням

Нехай p=2017p=2017 — просте число, а Fp\mathbb{F}_p — цілі числа за модулем pp. Функція f:Z→Fpf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{F}_p називається хорошою, якщо існує α∈Fp\alpha \in \mathbb{F}_p, α≢0( mod p)\alpha \not \equiv 0 (\bmod p), таке, що f(x)f(y)=f(x+y)+αyf(x−y)( mod p)f(x) f(y) = f(x+y) + \alpha^{y} f(x-y) \quad (\bmod p) для всіх x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}. Скільки існує хороших функцій з найменшим періодом 20162016?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-089

Порядок за модулем і функція Ейлера

Для натуральних чисел aa і bb, таких, що aa взаємно просте з bb, визначимо ord⁡b(a)\operatorname{ord}_{b}(a) як найменше натуральне число kk таке, що b∣ak−1b \mid a^{k}-1, а φ(a)\varphi(a) — як кількість натуральних чисел, не більших за aa, які взаємно прості з aa. Знайдіть найменше натуральне число nn таке, що ord⁡n(m)<φ(n)10\operatorname{ord}_{n}(m)<\frac{\varphi(n)}{10} для всіх натуральних чисел mm, взаємно простих з nn.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-005

Ітеративне множення на прості дільники

Нехай kk — дане парне натуральне число. Сара спочатку вибирає натуральне число NN, більше за 11, і далі змінює його так: щохвилини вона вибирає простий дільник pp поточного значення NN і множить поточне NN на pk−p−1p^{k}-p^{-1}, щоб отримати наступне значення NN. Доведіть, що існує нескінченно багато парних натуральних чисел kk таких, що, незалежно від виборів Сари, її число NN у певний момент ділитиметься на 20182018.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-034

Олімпійські числа та четверті степені

Ціле число kk називається олімпійським, якщо існують чотири цілі числа a,b,ca, b, c і dd, усі взаємно прості з kk, такі, що kk ділить a4+b4+c4+d4a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}. Нехай nn — довільне ціле число. Доведіть, що число n2−2n^{2}-2 є олімпійським.
9–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-037

Квадрати n², що ділять bⁿ + 1

Для яких натуральних чисел b>2b > 2 існує нескінченно багато натуральних чисел nn таких, що n2n^2 ділить bn+1b^n + 1? Ця задача є своєрідним об'єднанням задач IMO 1990/3 та IMO 2000/5.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-086

Сума порядків за модулем 210

Для натуральних чисел nn нехай cnc_{n} — найменше натуральне число, для якого ncn−1n^{c_{n}}-1 ділиться на 210, якщо таке натуральне число існує, а інакше cn=0c_{n}=0. Чому дорівнює c1+c2+⋯+c210c_{1}+c_{2}+\cdots+c_{210}?
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2015-005

Сума трьох степенів за простим модулем

Нехай pp — просте число, для якого p−12\frac{p-1}{2} також просте, а aa, bb, cc — цілі числа, які не діляться на pp. Доведіть, що існує не більше ніж 1+2p1+\sqrt{2 p} натуральних чисел nn таких, що n<pn<p і pp ділить an+bn+cna^{n}+b^{n}+c^{n}.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-051

Спільний простий дільник виразів та чисел n і p-1

Нехай aa, bb, cc, nn — цілі числа, причому n≥2n \geq 2. Нехай pp — просте число, яке ділить a2+ab+b2a^{2}+a b+b^{2} і an+bn+cna^{n}+b^{n}+c^{n}, але не ділить a+b+ca+b+c. Доведіть, що nn і p−1p-1 не є взаємно простими.
9–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-060

Покриття непарних остач за модулем 1024 степеневими циклами

Назвемо степеневим циклом множину SS, що складається з невід'ємних цілих степенів цілого числа aa, тобто S={1,a,a2,…}S = \{1, a, a^{2}, \ldots\} для деякого цілого числа aa. Яка найменша кількість степеневих циклів потрібна, щоб для будь-якого непарного цілого числа nn існувало ціле число kk в одному зі степеневих циклів таке, що n≡k(mod1024)n \equiv k \pmod{1024}?
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-035

Прості дільники чисел виду степінь п'ятірки плюс один

Знайдіть усі прості числа pp і qq такі, що pp ділить 5q+15^{q}+1 і qq ділить 5p+15^{p}+1.
9–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-042

Рекурентна послідовність і період остач за модулем

Нехай послідовність {an}n=0∞\{a_{n}\}_{n=0}^{\infty} задано умовами a0=2a_{0}=\sqrt{2}, a1=2a_{1}=2 і an+1=anan−12a_{n+1}=a_{n} a_{n-1}^{2} при n≥1n \geq 1. Послідовність остач від ділення a0,a1,a2,⋯a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots на 20142014 зрештою стає періодичною з деяким мінімальним періодом pp (тобто am=am+pa_{m}=a_{m+p} для всіх достатньо великих цілих mm, а pp — найменше таке додатне ціле число). Знайдіть pp.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-015

Малі дільники числа 10ⁿ−1

Знайдіть усі дільники kk числа 102013−110^{2013} - 1, які задовольняють 1≤k≤1001 \le k \le 100.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-004

Кратні з однаковою кількістю кожної цифри

Дано натуральні числа mm і nn. Доведіть, що існує натуральне число cc таке, що числа cmcm і cncn містять однакову кількість входжень кожної ненульової цифри в десятковому записі.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-005

Кратні cm і cn з однаковою кількістю ненульових цифр

Дано додатні цілі числа mm і nn. Доведіть, що існує додатне ціле число cc таке, що числа cmcm і cncn мають однакову кількість входжень кожної ненульової цифри при записі в десятковій системі числення.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.