Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

374 задачі
ГеометріяСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-083

Трикутник, дотичне коло і перетин трьох прямих

Нехай дано трикутник ABCABC, у якому AC>ABAC > AB. Коло ω\omega дотикається до сторін ABAB та ACAC у точках DD та EE відповідно, а також перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках KK та LL. Точки XX та YY вибрано на сторонах ABAB та ACAC відповідно таким чином, що AXAB=CEBD+CE,AYAC=BDBD+CE.\frac{AX}{AB} = \frac{CE}{BD + CE}, \quad \frac{AY}{AC} = \frac{BD}{BD + CE}. Доведіть, що прямі XYXY, BCBC та KLKL перетинаються в одній точці.
9 класРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-112

Прямі через вершини трикутника та центри кіл

Коло ω\omega із центром у точці PP перетинає сторони BCBC, CACA, ABAB трикутника ABCABC у точках A1A_1 та A2A_2, B1B_1 та B2B_2, C1C_1 та C2C_2 відповідно. Нехай точка A′A' — центр описаного кола трикутника A1A2PA_1A_2P, точка B′B' — центр описаного кола трикутника B1B2PB_1B_2P, а точка C′C' — центр описаного кола трикутника C1C2PC_1C_2P. Доведіть, що прямі AA′AA', BB′BB', CC′CC' перетинаються в одній точці.
10–11 класиТеорема Чеви
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-085

Коло через B, C і рівність BP = CQ

Коло ω\omega проходить через вершини BB та CC трикутника ABCABC. Нехай PP і QQ — точки всередині трикутника ABCABC, що лежать на колі ω\omega. Прямі APAP та AQAQ перетинають сторону BCBC у точках DD та EE відповідно. Відомо, що BD2+CD2=2⋅DP⋅DAтаBE2+CE2=2⋅EQ⋅EA.BD^2 + CD^2 = 2 \cdot DP \cdot DA \quad \text{та} \quad BE^2 + CE^2 = 2 \cdot EQ \cdot EA. Доведіть, що BP=CQBP = CQ.
9 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-089

Перетин п'яти висот опуклого п'ятикутника

В опуклому п’ятикутнику проведено висоти з кожної вершини на протилежні сторони. Доведіть, що якщо чотири із цих висот перетинаються в одній точці, то й п’ята висота також проходить через точку перетину чотирьох висот.
9 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-095

Перпендикуляр до AO та чотири точки на одному колі

Нехай точка OO — центр кола, описаного навколо гострокутного трикутника ABCABC. Пряма, перпендикулярна до прямої AOAO, перетинає сторони ACAC та ABAB у точках DD і EE відповідно. Нехай точка KK лежить на стороні BCBC, але не належить прямій AOAO. Пряма AKAK вдруге перетинає описане навколо трикутника ADEADE коло в точці LL. Точка MM є образом точки AA відносно прямої DEDE. Доведіть, що точки KK, LL, MM, OO лежать на одному колі.
9 класСтепінь точки відносно кола
Київський турнір математичних боївKMB-19-20-117

Вписане коло, висота AH і добуток BD·DC

Коло ww, вписане в гострокутний трикутник ABCABC, дотикається до сторін BCBC і CACA в точках DD та EE відповідно. На висоті AHAH вибрано точку XX так, що коло w′w' з діаметром AXAX дотикається до кола ww. Позначимо через UU та VV другі точки перетину кола w′w' зі сторонами ACAC та BCBC відповідно. Знаючи, що UV=12UV = 12, AX=15AX = 15 та AE=24AE = 24, знайдіть BD⋅DCBD \cdot DC.
10–11 класиКола, що дотикаються
Київський турнір математичних боївKMB-19-20-090

Рівнобедрений трикутник, два кола і дотична BE

Нехай трикутник ABCABC — рівнобедрений з вершиною у точці AA. Коло Γ\Gamma лежить поза трикутником ABCABC та дотикається до прямої ACAC у точці CC. Точка DD розташована на колі Γ\Gamma таким чином, що описане коло трикутника ABDABD дотикається внутрішнім чином до кола Γ\Gamma. Відрізок ADAD перетинає вдруге коло Γ\Gamma у точці EE. Доведіть, що пряма BEBE дотикається до кола Γ\Gamma.
9 класГомотерія і подібність
Київський турнір математичних боївKMB-19-20-122

Три дотичні кола та точки A, B, C

Три задані кола k,k1,k2k, k_1, k_2, які дотикаються одне до одного, розташовано таким чином, що кола k1,k2k_1, k_2 дотикаються зовнішнім чином у точці WW, яка лежить усередині кола kk. Так само відомо, що точки AA, BB, CC на колі kk задовольняють умови: пряма BCBC дотикається в різних точках до кіл k1,k2k_1, k_2, пряма WAWA — спільна дотична до цих кіл, при цьому точки AA, WW лежать по один бік від прямої BCBC. Доведіть, що точка WW — центр вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Київський турнір математичних боївKMB-19-20-126

Рівні відрізки на прямій через перетин дотичної

Нехай ww — описане коло трикутника ABCABC. На дузі BCBC кола ww, що не містить вершину AA, виберемо точку DD, відмінну від середини цієї дуги. Дотична до кола в точці DD перетинає пряму BCBC у точці KK. Пряма, що проходить через точку KK, перетинає коло ww у точках EE, FF та відрізки ACAC, ADAD та ABAB у точках NN, MM та LL відповідно. Доведіть, що коли NE=LFNE = LF, то ML=MNML = MN.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Київський турнір математичних боївKMB-19-20-133

Зовнівписані центри половин трикутника і рівні відрізки

Нехай трикутник ABCABC — гострокутний, точка MM — середина сторони BCBC, точки DD та EE — відповідно центри зовнівписаних кіл трикутників ABMABM та ACMACM, що відповідають вершині MM. Описане коло трикутника ABDABD перетинає вдруге пряму BCBC у точці FF. Описане коло трикутника ACEACE перетинає вдруге пряму BCBC у точці GG. Доведіть, що BF=CGBF = CG.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-100

Єдина точка на стороні BC та сума сторін

Трикутник ABCABC має таку властивість: існує єдина точка XX на стороні BCBC, для якої справджується рівність AX2=BX⋅CXAX^2 = BX \cdot CX. Яких значень може набувати величина kk у такій рівності AB+AC=k⋅BCAB + AC = k \cdot BC, що справджується?
9 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-153

Дотичні в точках B і C та сторона BC

У трикутнику ABCABC сторони AB=4AB = 4 та AC=6AC = 6. Дві дотичні до описаного кола трикутника ABCABC у точках BB та CC перетинаються в точці DD. Знайдіть довжину сторони BCBC, якщо відомо, що точки AA та DD розташовані на однаковій відстані від прямої BCBC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-160

Дотичні до кола та перпендикуляр CQ до BP

Дано коло ww та точку AA поза цим колом. Прямі ABAB та ACAC — дотичні до кола ww, де B,C∈wB, C \in w. Виберемо точку PP на промені ACAC за точкою CC. Описане коло трикутника ABPABP удруге перетинає коло ww у точці EE, точку QQ вибрано на відрізку BPBP таким чином, що ∠PEQ=2∠APB\angle PEQ = 2\angle APB. Доведіть, що CQ⊥BPCQ \perp BP.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Київський турнір математичних боївKMB-18-19-115

Точка F і бісектриса через центр вписаного кола

Точка OO — центр описаного кола гострокутного трикутника ABCABC (AB<ACAB < AC). Перпендикуляри, проведені через точки AA та OO до прямої BCBC, перетинають її в точках A1A_1 та PP відповідно. Прямі BOBO та COCO перетинають пряму AA1AA_1 у точках DD та EE відповідно. Описані кола трикутників ABDABD та ACEACE вдруге перетинаються в точці FF. Доведіть, що бісектриса кута FAPFAP проходить через центр вписаного кола трикутника ABCABC.
9 класСтепінь точки відносно кола
Київський турнір математичних боївKMB-18-19-166

Периметр трикутника зі стороною 1 і точкою

У трикутнику ABCABC зі стороною BC=1BC = 1 існує на цій стороні єдина точка DD така, що справджується рівність DA2=DB⋅DCDA^2 = DB \cdot DC. Яких можливих значень може набувати периметр трикутника ABCABC?
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-117

Дотичні до описаного кола трикутника і рівні площі

Нехай дано трикутник ABCABC, у якому ∠A<∠B<90∘\angle A < \angle B < 90^\circ, та описане коло Γ\Gamma. Дотичні до кола Γ\Gamma у точках AA та CC перетинаються в точці PP. Прямі ABAB і PCPC перетинаються в точці QQ. Відомо, що SACP=SABC=SBQCS_{ACP} = S_{ABC} = S_{BQC}. Доведіть, що трикутник ABCABC прямокутний.
9 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-124

Описане коло трикутника AKL, що дотикається до BC

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, ACAC та ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Точка MM — середина відрізка EFEF, точка LL — друга точка перетину описаного кола трикутника DFMDFM зі стороною ABAB, а точка KK — друга точка перетину описаного кола трикутника DEMDEM зі стороною ACAC. Доведіть, що описане коло трикутника AKLAKL дотикається до сторони BCBC.
9 класДотична кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-104

Два перетинні кола та паралельність PQ і січної

Кола k1k_1 і k2k_2 перетинаються в точках MM і NN. Пряма ll перетинає коло k1k_1 у точках AA та CC, а коло k2k_2 — у точках BB і DD так, що точки AA, BB, CC, DD лежать на прямій ll у цьому порядку. Нехай точка XX на прямій MNMN є такою, що точка MM лежить між точками XX та NN. Прямі AXAX і BMBM перетинаються в точці PP, а прямі DXDX та CMCM — у точці QQ. Доведіть, що PQ∥lPQ \parallel l.
9 класРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-116

Дотики вписаного кола, пряма DE і середина AB

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, ACAC та ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Коло, що проходить через вершини AA і BB та містить усередині трикутник ABCABC, перетинає пряму DEDE в точках PP та QQ. Доведіть, що середина відрізка ABAB лежить на описаному колі трикутника PQFPQF.
9 класТеорема Менелая
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-134

Бісектриса трикутника і коло, дотичне до основи

Нехай ADAD — бісектриса трикутника ABCABC, коло Γ\Gamma проходить через точку AA та дотикається до сторони BCBC у точці DD, це коло перетинає сторони ABAB та ACAC удруге відповідно в точках EE та FF. Прямі BFBF і CECE перетинають коло Γ\Gamma у точках PP та QQ відповідно. Прямі APAP та AQAQ перетинають сторону BCBC у точках XX та YY відповідно. Доведіть, що XY=12BCXY = \frac{1}{2} BC.
9 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-203

Дотик описаних кіл трикутників AXY і HBC

Точка HH — ортоцентр гострокутного трикутника ABCABC. На сторонах ABAB і ACAC вибрано точки XX і YY таким чином, що AX=2XBAX = 2XB і AY=2YCAY = 2YC. Також відомо, що 3BC2=AB2+AC23BC^2 = AB^2 + AC^2. Доведіть, що описане коло трикутника AXYAXY дотикається до описаного кола трикутника HBCHBC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-216

Відрізки на прямих через D паралельно сторонам

Чотирикутник ABCDABCD вписано в коло ω\omega. Пряма, що проходить через точку DD паралельно BCBC, перетинає пряму ACAC у точці PP, пряму ABAB — у точці QQ та вдруге перетинає ω\omega у точці RR. Пряма, що проходить через точку DD паралельно ABAB, перетинає пряму CACA в точці SS, пряму BCBC — у точці TT і вдруге перетинає ω\omega у точці UU. Доведіть, що коли PQ=QRPQ = QR, то ST=TUST = TU.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-237

Січна, перпендикулярна до OA, і кола трикутників MNP

Нерівнобедрений трикутник ABCABC вписано в коло із центром у точці OO. Пряма ll, що перпендикулярна до OAOA, перетинає промені ABAB і ACAC у точках MM і NN відповідно. Прямі BNBN і CMCM перетинаються в точці KK, а прямі AKAK і BCBC — у точці PP. Доведіть, що при довільному виборі прямої ll описані кола трикутників MNPMNP проходять через фіксовану точку.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-243

Дотик прямої OP до описаного кола трикутника KLX

Дотична до описаного кола гострокутного трикутника ABCABC (AB<AC)(AB < AC), що проходить через точку AA, перетинає пряму BCBC у точці PP. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. XX — точка на OPOP така, що ∠AXP=90∘\angle AXP = 90^\circ. Точки EE і FF вибрано відповідно на ABAB і ACAC так, що вони лежать в одній півплощині відносно OPOP і ∠EXP=∠ACX\angle EXP = \angle ACX, ∠FXO=∠ABX\angle FXO = \angle ABX. Нехай KK і LL — точки перетину EFEF з описаним колом трикутника ABCABC. Доведіть, що OPOP дотикається до описаного кола трикутника KLXKLX.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Київський турнір математичних боївKMB-14-15-159

Середина бісектриси трикутника та коло CLM

Позначимо через MM середину бісектриси ALAL трикутника ABCABC. Описане коло трикутника CLMCLM перетинає вдруге відрізок BMBM у точці KK. Доведіть, що коли ∠ACB=180∘−∠AKC\angle ACB = 180^\circ - \angle AKC, то трикутник ABCABC — прямокутний.
9 класСтепінь точки відносно кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.