Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

71 задача
ГеометріяТеорема Чеви
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-042

Паралельні прямі в трикутнику із серединами

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB = 13, AC=14AC = 14 і BC=15BC = 15. Нехай GG — точка на стороні ACAC така, що відбиття прямої BGBG відносно бісектриси кута ∠B\angle B проходить через середину сторони ACAC. Нехай YY — середина відрізка GCGC, а XX — точка на відрізку AGAG така, що AXXG=3\frac{AX}{XG} = 3. Точки FF і HH на сторонах ABAB і BCBC відповідно вибрано так, що FX∥BG∥HYFX \parallel BG \parallel HY. Якщо AHAH і CFCF перетинаються в точці ZZ, а WW лежить на ACAC так, що WZ∥BGWZ \parallel BG, знайдіть довжину відрізка WZWZ.
10–11 класиІнші точки трикутника
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-015

Конкурентність прямих у конфігурації з дотичними колами

Два кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дотикаються в точці SS, причому ω1\omega_{1} лежить усередині кола ω2\omega_{2}. Нехай OO — центр кола ω1\omega_{1}. Хорда [AB][AB] кола ω2\omega_{2} дотикається до кола ω1\omega_{1} в точці TT. Доведіть, що пряма (AO)(AO), перпендикуляр до прямої (AB)(AB), який проходить через BB, і перпендикуляр до прямої (ST)(ST), який проходить через SS, перетинаються в одній точці.
8–10 класиТеорема Чеви
Відбіркові тести на IMOTST-2015-015

Радіуси вписаних кіл у трикутниках, утворених чевіанами

Нехай ABCABC — трикутник. Точки KK, LL і MM лежать на сторонах BCBC, CACA і ABAB так, що прямі AKAK, BLBL і CMCM перетинаються в одній точці. Доведіть, що серед трикутників AMLAML, BKMBKM і CLKCLK можна вибрати два так, щоб сума радіусів їхніх вписаних кіл була не меншою за радіус вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиТеорема Чеви
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-072

Хронологія теорем про трикутники

Виберіть підмножину з принаймні чотирьох із наведених нижче геометричних теорем, упорядкуйте їх від найранішої до найпізнішої за датою публікації та запишіть їхні позначки (по одній великій літері) у цьому порядку. Якщо теорему відкривали кілька разів, використовуйте дату публікації, що відповідає геометру, на честь якого названо теорему. C. (Чева) Три чевіани ADAD, BEBE, CFCF трикутника ABCABC перетинаються в одній точці тоді й лише тоді, коли BDDCCEEAAFFB=1\frac{BD}{DC} \frac{CE}{EA} \frac{AF}{FB}=1. E. (Ейлер) У трикутнику ABCABC з інцентром II і центром описаного кола OO маємо IO2=R(R−2r)IO^{2}=R(R-2r), де rr — радіус вписаного кола, а RR — радіус описаного кола трикутника ABCABC. H. (Герон) Площа трикутника ABCABC дорівнює s(s−a)(s−b)(s−c)\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, де s=12(a+b+c)s=\frac{1}{2}(a+b+c). M. (Менелай) Якщо D,E,FD, E, F лежать на прямих BC,CA,ABBC, CA, AB, то вони колінеарні тоді й лише тоді, коли BDDCCEEAAFFB=−1\frac{BD}{DC} \frac{CE}{EA} \frac{AF}{FB}=-1, де відношення напрямлені. P. (Паскаль) Перетини протилежних сторін вписаних шестикутників колінеарні. S. (Стюарт) Нехай ABCABC — трикутник, а DD — точка на стороні BCBC. Покладемо m=BD,n=CD,d=ADm=BD, n=CD, d=AD. Тоді man+dad=bmb+cncman+dad=bmb+cnc. V. (Варіньйон) Середини сторін довільного чотирикутника є вершинами паралелограма. Якщо ваша відповідь — це список з 4≤N≤74 \leq N \leq 7 позначок у правильному порядку, ваш бал дорівнюватиме (N−2)(N−3)(N-2)(N-3). Інакше ваш бал дорівнюватиме нулю.
10–11 класиТеорема Чеви
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-029

Медіана, бісектриса і висота з однією спільною точкою

Кути трикутника дорівнюють 22.5∘22.5^\circ, 45∘45^\circ і 112.5∘112.5^\circ. Доведіть, що всередині цього трикутника існує точка, яка лежить на медіані, проведеній з однієї вершини, на бісектрисі, проведеній з іншої вершини, і на висоті, проведеній з третьої вершини.
10–11 класиТеорема Чеви3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-049

Площа трикутника з конкурентними чевіанами

Нехай ABCDABCD — паралелограм, у якому AB=8AB = 8, AD=11AD = 11 та ∠BAD=60∘\angle BAD = 60^{\circ}. Нехай XX лежить на відрізку CDCD так, що CX/XD=1/3CX / XD = 1 / 3, а YY — на відрізку ADAD так, що AY/YD=1/2AY / YD = 1 / 2. Нехай ZZ лежить на відрізку ABAB так, що AXAX, BYBY і DZDZ перетинаються в одній точці. Знайдіть площу трикутника XYZXYZ.
10–11 класиТеорема Чеви
Відбіркові тести на IMOTST-2013-013

Рівні кути з перетину кіл

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник, у якого ∠BCA=90∘\angle BCA = 90^\circ, а DD — основа висоти, проведеної з CC. Нехай XX — точка всередині відрізка CDCD. Нехай KK — точка на відрізку AXAX така, що BK=BCBK = BC. Аналогічно, нехай LL — точка на відрізку BXBX така, що AL=ACAL = AC. Описане коло трикутника DKLDKL перетинає відрізок ABAB у другій точці TT (іншій, ніж DD). Доведіть, що ∠ACT=∠BCT\angle ACT = \angle BCT.
10–11 класиТеорема Чеви
Відбіркові тести на IMOTST-2012-020

Чевіани через одну точку і прямий кут

Дано трикутник ABCA B C. Бісектриса кута ∠CAB\angle C A B перетинає BCB C в точці LL. На сторонах ACA C і ABA B лежать відповідно внутрішні точки MM і NN такі, що ALA L, BMB M і CNC N проходять через одну точку і ∠AMN=∠ALB\angle A M N=\angle A L B. Доведіть, що ∠NML=90∘\angle N M L=90^{\circ}.
10–11 класиТеорема Чеви
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-013

Симетричні чевіани та спільна точка

Нехай ABCABC — трикутник, MM — середина сторони ACAC, а NN — середина сторони ABAB. Нехай rr і ss — образи прямих BMBM і CNCN при симетрії відносно прямої BCBC відповідно. Прямі rr і ss перетинають пряму MNMN у точках DD і EE відповідно. Описані кола трикутників BDMBDM і CENCEN перетинаються в точках XX і YY, прямі BEBE і CDCD перетинаються в точці ZZ, а прямі rr і ss перетинаються в точці WW. Доведіть, що прямі XYXY, WZWZ і BCBC перетинаються в одній точці.
8–9 класиРадикальна вісь
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2009-010

Пряма через інцентр і середину сторони ділить відрізок навпіл

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB≠ACAB \neq AC, а II — центр вписаного кола. Вписане коло дотикається до сторони BCBC у точці DD. Нехай MM — середина сторони BCBC. Доведіть, що пряма IMIM ділить відрізок ADAD навпіл.
10–11 класиТеорема Менелая
Відбіркові тести на IMOTST-2007-017

П'ятикутник з рівними ланцюжками кутів

Нехай ABCDEA B C D E — опуклий п'ятикутник, для якого ∠BAC=∠CAD=∠DAE і ∠ABC=∠ACD=∠ADE\angle B A C=\angle C A D=\angle D A E \quad \text{ і } \quad \angle A B C=\angle A C D=\angle A D E Діагоналі BDB D і CEC E перетинаються в точці PP. Доведіть, що пряма APA P перетинає сторону CDC D в її середині.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-088

Площа чотирикутника в трикутнику

Сторони трикутника ABCA B C мають довжини AB=25A B=2 \sqrt{5}, BC=1B C=1 і CA=5C A=5. Точка DD лежить на стороні ACA C так, що CD=1C D=1, а точка FF така, що BF=2B F=2 і CF=3C F=3. Нехай EE — перетин прямих ABA B і DFD F. Знайдіть площу чотирикутника CDEBC D E B.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2004-030

Рівнобедрений трикутник з кутом APB 90° і відрізок AF

PP — точка всередині трикутника ABCABC, а прямі APAP, BPBP, CPCP перетинають протилежні сторони BCBC, CACA, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Відомо, що ∠APB=90∘\angle APB = 90^{\circ}, а також що AC=BCAC = BC і AB=BDAB = BD. Також відомо, що BF=1BF = 1, а BC=999BC = 999. Знайдіть довжину відрізка AFAF.
10–11 класиТеорема Чеви
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2003-004

Коло через вершини A і B та співвідношення відрізків

Нехай задано трикутник △ABC\triangle ABC. Коло, що проходить через точки AA і BB, перетинає відрізки ACAC і BCBC у точках DD і EE відповідно. Промені BABA і EDED перетинаються в точці FF, а прямі BDBD і CFCF — у точці MM. Доведіть, що MF=MCMF = MC тоді й лише тоді, коли MB⋅MD=MC2MB \cdot MD = MC^2.
10–11 класиОзнаки подібності2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2002-015

Чевіани через центри вписаних квадратів

У гострокутний трикутник ABCA B C вписано квадрат з центром A1A_{1} так, що дві його вершини лежать на стороні BCB C, а по одній — на сторонах ABA B та ACA C. Аналогічно визначено квадрати з центрами B1B_{1} та C1C_{1}. Доведіть, що прямі AA1,BB1A A_{1}, B B_{1} і CC1C C_{1} мають спільну точку перетину.
10–11 класиТеорема Чеви
Французька математична олімпіадаFRMO-0000-009

Циклічний чотирикутник з бісектриси та висоти

Нехай ABCABC — трикутник. Позначимо через DD основу бісектриси кута BAC^\widehat{BAC}, а через EE — основу висоти, проведеної з AA. Серединний перпендикуляр до відрізка [AD][AD] перетинає півкола з діаметрами [AB][AB] і [AC][AC], побудовані зовні трикутника ABCABC, у точках XX і YY. Доведіть, що точки X,Y,D,EX, Y, D, E лежать на одному колі.
8–10 класиІнверсія2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-0000-012

Рівнобедрений трикутник за кутовими умовами

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з вершиною AA, DD — основа висоти, проведеної з AA, а MM — внутрішня точка трикутника ADCADC така, що кут AMB^\widehat{AMB} тупий і DBM^+DAM^=MCB^\widehat{DBM} + \widehat{DAM} = \widehat{MCB}. Прямі (CM)(CM) і (AD)(AD) перетинаються в PP, а прямі (BM)(BM) і (AD)(AD) перетинаються в QQ. Нехай SS — точка на відрізку [AB][AB], а RR — точка на промені [AM)[AM), яка не лежить на відрізку [AM][AM], такі, що SQB^=DPC^\widehat{SQB} = \widehat{DPC} і MRQ^=2QAM^\widehat{MRQ} = 2\widehat{QAM}. Доведіть, що трикутник QRSQRS рівнобедрений.
8–10 класиЗастосування тригонометрії
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-0000-002

Конкурентні прямі від середин дуг

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Нехай MAM_{A}, MBM_{B} та MCM_{C} — середини сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно. Нехай MA′M_{A}^{\prime}, MB′M_{B}^{\prime} та MC′M_{C}^{\prime} — середини менших дуг BCBC, CACA та ABAB на описаному колі трикутника ABCABC відповідно. Нехай PAP_{A} — перетин прямої MBMCM_{B}M_{C} та перпендикуляра до прямої MB′MC′M_{B}^{\prime}M_{C}^{\prime}, проведеного через AA. Точки PBP_{B} та PCP_{C} означено аналогічно. Доведіть, що прямі MAPAM_{A}P_{A}, MBPBM_{B}P_{B} та MCPCM_{C}P_{C} перетинаються в одній точці.
10–11 класиТеорема Чеви2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2018-022

Перетин медіани, бісектриси та висоти у трикутнику

Нехай BEBE — висота гострокутного трикутника ABCABC, а PP — точка на стороні ABAB така, що AP=AEAP = AE. Нехай NN — точка, для якої BCENBCEN — паралелограм. Площі трикутників AEPAEP і BNPBNP рівні. Прямі NENE і ABAB перетинаються в точці QQ. a) Доведіть, що медіана трикутника ABCABC, проведена з вершини CC, перетинає відрізок PQPQ. b) Доведіть, що в трикутнику ABCABC бісектриса кута AA, висота, проведена з вершини BB, і медіана, проведена з вершини CC, перетинаються в одній точці.
Теорема Чеви
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-005

Чевіани, що перетинаються, та описані чотирикутники

На сторонах ABAB, BCBC та CACA трикутника ABCABC вибрано точки LL, MM та NN відповідно так, що прямі CLCL, AMAM та BNBN перетинаються у спільній точці OO всередині трикутника, а чотирикутники ALONALON, BMOLBMOL та CNOMCNOM мають вписані кола. Доведіть, що 1AL⋅BM+1BM⋅CN+1CN⋅AL=1AN⋅BL+1BL⋅CM+1CM⋅AN.\frac{1}{AL \cdot BM} + \frac{1}{BM \cdot CN} + \frac{1}{CN \cdot AL} = \frac{1}{AN \cdot BL} + \frac{1}{BL \cdot CM} + \frac{1}{CM \cdot AN}.
Теорема Чеви
Математичний гурток БеркліBMC-0000-231

Паралельні та перпендикулярні прямі за допомогою лінійки

Припустімо, що у вас є лише немаркована лінійка (без циркуля), і дано відрізок ABA B із серединою OO та точку PP, що не лежить на прямій ABA B. a. Побудуйте пряму через PP, паралельну до ABA B. b. Якщо додатково дано коло з центром OO і радіусом OAO A, а точка PP не лежить на колі, побудуйте пряму через PP, перпендикулярну до ABA B.
Задачі на побудову (алгоритмічна…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.