Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

107 задач
ГеометріяТеорема про тризуб
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2012-002

Коло, дотичне до паралелі через середину дуги

Нехай дано трикутник ABCABC, нехай PP — точка на описаному колі трикутника, що є серединою дуги BCBC, яка не містить AA. Пряму ll проведено через точку PP так, щоб ll була паралельною до ABAB. Позначимо через kk коло, яке проходить через точку BB і дотикається до прямої ll у точці PP. Нехай QQ — друга точка перетину кола kk з прямою ABAB (якщо другої точки перетину немає, покладемо Q=BQ = B). Доведіть, що AQ=ACAQ = AC.
10–11 класиТеорема про тризуб2 розв’язки
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2010-002

Перетин прямих DG та EI на описаному колі

Точка II — центр кола, вписаного в трикутник ABCABC, а Γ\Gamma — коло, описане навколо цього трикутника. Пряма AIAI перетинає коло Γ\Gamma в точках AA і DD. Точка EE обрана на дузі BDCBDC, а точка FF — на стороні BCBC так, що ∠BAF=∠CAE<12∠BAC\angle BAF = \angle CAE < \frac{1}{2}\angle BAC. Точка GG — середина відрізка IFIF. Доведіть, що прямі DGDG і EIEI перетинаються в точці, що належить колу Γ\Gamma.
10–11 класиТеорема про тризуб
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2006-001

Центр вписаного кола і точка з рівністю кутів

Точка II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Усередині цього трикутника вибрано таку точку PP, що ∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB\angle PBA + \angle PCA = \angle PBC + \angle PCB. Доведіть, що AP≥AIAP \ge AI, причому рівність досягається тоді й тільки тоді, коли точка PP співпадає з II.
10–11 класиТеорема про тризуб
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-009

Трикутник із кіл на серединах дуг

У трикутнику ABCA B C нехай Ma,Mb,McM_{a}, M_{b}, M_{c} — відповідно середини сторін BC,CA,ABB C, C A, A B, а Ta,Tb,TcT_{a}, T_{b}, T_{c} — середини дуг BC,CA,ABB C, C A, A B описаного кола трикутника ABCA B C, що не містять протилежних вершин. Для i∈{a,b,c}i \in \{a, b, c\} нехай ωi\omega_{i} — коло з діаметром MiTiM_{i} T_{i}. Нехай pip_{i} — спільна зовнішня дотична до кіл ωj,ωk({i,j,k}={a,b,c})\omega_{j}, \omega_{k}(\{i, j, k\}=\{a, b, c\}) така, що ωi\omega_{i} лежить з протилежного боку від pip_{i}, ніж ωj,ωk\omega_{j}, \omega_{k}. Доведіть, що прямі pa,pb,pcp_{a}, p_{b}, p_{c} утворюють трикутник, подібний до ABCA B C, і знайдіть коефіцієнт подібності.
10–11 класиГомотерія і подібність
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2025-004

Інцентри, зовнішні дотичні та спільна хорда

Нехай ABCABC — трикутник з описаним колом Γ\Gamma і AB≠ACAB \neq AC. Нехай DD і EE лежать на дузі BCBC кола Γ\Gamma, що не містить AA, так, що ∠BAE=∠DAC\angle BAE = \angle DAC. Нехай інцентри трикутників BAEBAE і CADCAD — це XX і YY відповідно, а зовнішні дотичні до вписаних кіл трикутників BAEBAE і CADCAD перетинаються в точці ZZ. Доведіть, що ZZ лежить на спільній хорді кола Γ\Gamma й описаного кола трикутника AXYAXY.
10–11 класиТеорема про тризуб
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-062

Перетин кіл у рівносторонньому трикутнику

Нехай △ABC\triangle ABC — рівносторонній трикутник зі стороною 66. Нехай PP — точка всередині трикутника △ABC\triangle ABC така, що ∠BPC=120∘\angle BPC = 120^\circ. Коло з діаметром AP‾\overline{AP} перетинає описане коло трикутника △ABC\triangle ABC ще раз у точці X≠AX \neq A. Відомо, що AX=5AX = 5. Обчисліть довжину відрізка XPXP.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2024-005

Побудова ортоцентра паралельною лінійкою

Спочатку на площині позначено три неколінеарні точки AA, BB і CC. Ви маєте олівець і двобічну лінійку шириною 1. З їх допомогою ви можете виконувати такі операції: - Позначити довільну точку на площині. - Позначити довільну точку на вже проведеній прямій. - Якщо позначено дві точки P1P_1 і P2P_2, провести пряму, що сполучає P1P_1 і P2P_2. - Якщо проведено дві непаралельні прямі ℓ1\ell_1 і ℓ2\ell_2, позначити перетин прямих ℓ1\ell_1 і ℓ2\ell_2. - Якщо проведено пряму ℓ\ell, провести пряму, паралельну до ℓ\ell, що знаходиться на відстані 1 від ℓ\ell (зауважте, що можна провести дві такі прямі). Доведіть, що за допомогою цих операцій можна позначити ортоцентр трикутника ABCA B C.
10–11 класиЗадачі на побудову (алгоритмічна…2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-047

Концентричні описані кола з середин дуг

Нехай ABCABC — трикутник, а Γ\Gamma — його описане коло. Нехай A1A_{1} — середина дуги BC^\widehat{BC}, що не містить AA; B1B_{1} — середина дуги CA⌢\overparen{CA}, що не містить BB; C1C_{1} — середина дуги AB⌢\overparen{AB}, що не містить CC. Нарешті, нехай A2A_{2} — точка, для якої AB1A2C1AB_{1}A_{2}C_{1} є паралелограмом; B2B_{2} — точка, для якої BC1B2A1BC_{1}B_{2}A_{1} є паралелограмом; C2C_{2} — точка, для якої CA1C2B1CA_{1}C_{2}B_{1} є паралелограмом. Доведіть, що описані кола трикутників ABCABC і A2B2C2A_{2}B_{2}C_{2} концентричні.
8–10 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-052

Перетин бісектрис у рівнобедреному трикутнику

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з вершиною AA, усі кути якого гострі, а DD — точка на відрізку [BC][BC]. Нехай ℓ\ell — пряма, паралельна прямій (BC)(BC), що проходить через AA, далі XX — точка на прямій ℓ\ell, для якої пряма (XD)(XD) перпендикулярна до прямої (BC)(BC), а Γ\Gamma — коло з центром XX, що проходить через DD. Коло Γ\Gamma перетинає відрізок [AB][AB] у точці EE, і через YY позначимо точку на прямій ℓ\ell таку, що пряма (AB)(AB) перпендикулярна до прямої (EY)(EY); аналогічно, коло Γ\Gamma перетинає відрізок [AC][AC] у точці FF, а через ZZ позначимо точку на прямій ℓ\ell таку, що пряма (AC)(AC) перпендикулярна до прямої (FZ)(FZ). Доведіть, що бісектриси кутів EYA^\widehat{EYA} і FZA^\widehat{FZA} перетинаються в точці прямої (XD)(XD).
8–10 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-075

Вписаний чотирикутник, побудований за інцентром

Нехай ABCABC — трикутник, а II — центр його вписаного кола. Серединний перпендикуляр до відрізка [BC][BC] перетинає пряму (AI)(AI) в точці SS та пряму (BI)(BI) в точці TT. Доведіть, що CC, II, SS і TT лежать на одному колі.
8–10 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-002

Паралельні прямі в трикутнику з вписаним колом

Нехай ABCABC — нерівнобедрений трикутник, а II — центр його вписаного кола. Нехай DD — точка на відрізку [BC][BC] (відмінна від BB і CC). Описане коло трикутника DIBDIB перетинає пряму (AB)(AB) вдруге в точці E≠BE \neq B, а описане коло трикутника DICDIC перетинає пряму (AC)(AC) вдруге в точці F≠CF \neq C. Описане коло трикутника DEFDEF перетинає прямі (AB)(AB) і (AC)(AC) вдруге в точках MM і NN відповідно. Прямі (IB)(IB) і (DE)(DE) перетинаються в точці PP, а прямі (IC)(IC) і (DF)(DF) перетинаються в точці QQ. Доведіть, що прямі (EN)(EN), (FM)(FM) і (PQ)(PQ) паралельні.
8–10 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-070

Коло через середину дуги, дотичне до сторін трикутника

Нехай ABCABC — трикутник з кутом BAC^=60∘\widehat{BAC}=60^{\circ}, а Γ\Gamma — його описане коло. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC, а SS — середина дуги BC^\widehat{BC}, яка не містить AA. Нехай PP — точка кола Γ\Gamma така, що SPH^=90∘\widehat{SPH}=90^{\circ}. Доведіть, що існує коло, яке проходить через P,SP, S і дотикається до прямих (AB)(AB) та (AC)(AC).
10–11 класиТеорема про тризуб
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-134

Радіус вписаного кола за відстанями від інцентра

Трикутник ABCABC має інцентр II. Нехай DD — основа перпендикуляра з AA на сторону BCBC. Нехай XX — точка така, що відрізок AXAX є діаметром описаного кола трикутника ABCABC. Відомо, що ID=2ID = 2, IA=3IA = 3 та IX=4IX = 4. Обчисліть радіус вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-002

Бісектриса кута в паралелограмі з центроїдом

Нехай ABCDABCD — паралелограм, а GG — точка перетину медіан трикутника ABDABD. Нехай PP і QQ — точки прямої (BD)(BD) такі, що прямі (GP)(GP) і (PC)(PC) перпендикулярні, а прямі (GQ)(GQ) і (QC)(QC) перпендикулярні. Доведіть, що пряма (AG)(AG) є бісектрисою кута PAQ^\widehat{PAQ}.
9–11 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-040

Перетин прямих на описаному колі через бісектрису

Нехай ABCABC — трикутник, а Ω\Omega — його описане коло. Нехай DD — основа висоти, проведеної з вершини AA. Бісектриса, проведена з вершини AA, перетинає відрізок [BC][BC] у точці PP і вдруге перетинає коло Ω\Omega у точці SS. Нехай A′A' — точка, діаметрально протилежна вершині AA на колі Ω\Omega. Доведіть, що прямі (SD)(SD) і (A′P)(A'P) перетинаються на колі Ω\Omega.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-088

Хорда, дотична до вписаного кола в трикутнику

Нехай трикутник ABCA B C — гострокутний з описаним колом Γ\Gamma. Нехай XX і YY — середини менших дуг AB^\widehat{A B} і AC^\widehat{A C} кола Γ\Gamma відповідно. Якщо пряма XYX Y дотикається до вписаного кола трикутника ABCA B C і радіус кола Γ\Gamma дорівнює RR, знайдіть із доведенням довжину відрізка XYX Y через RR.
10–11 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-003

Опуклий п'ятикутник з прямими кутами

Нехай ABCDEA B C D E — опуклий п'ятикутник такий, що ABE^=ACE^=ADE^=90∘\widehat{A B E}=\widehat{A C E}=\widehat{A D E}=90^{\circ} і BC=CDB C=C D. Нарешті, нехай KK — точка на промені [AB)[A B) така, що AK=ADA K=A D, а LL — точка на промені [ED)[E D) така, що EL=BEE L=B E. Доведіть, що точки B,D,KB, D, K і LL належать одному колу з центром CC.
8–10 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-021

Конкурентність у колах рівнобедреного трикутника

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з вершиною AA, а DD — точка відрізка [BC][BC] така, що BD≠CDBD \neq CD. Нехай PP і QQ — ортогональні проєкції DD на прямі (AB)(AB) і (AC)(AC). Нарешті, нехай EE — точка перетину, відмінна від AA, описаних кіл трикутників ABCABC і APQAPQ. Доведіть, що якщо прямі (EP)(EP), (AC)(AC) і серединний перпендикуляр до відрізка [PQ][PQ] перетинаються в одній точці, то трикутник ABCABC має прямий кут при вершині AA.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2021-004

Бісектриса прямокутного трикутника з інцентром

Нехай ABCA B C — трикутник, у якому ∠BAC=90∘\angle B A C=90^{\circ}, з центром описаного кола OO та інцентром II. Бісектриса кута ∠BAC\angle B A C перетинає описане коло трикутника ABCA B C у точках AA і PP. Нехай QQ — проєкція точки PP на пряму ABA B, а RR — проєкція точки II на пряму PQP Q. Доведіть, що пряма ROR O ділить відрізок CIC I навпіл.
10–11 класиТеорема про тризуб
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-052

Рівносторонній трикутник з проєкцій інцентра

У △ABC\triangle ABC коло ω\omega — описане, II — інцентр, а IAI_{A} — центр зовнівписаного кола навпроти вершини AA. Нехай MM — середина дуги BAC^\widehat{BAC} на колі ω\omega, а X,YX, Y — проєкції II на пряму MIAMI_{A} та IAI_{A} на пряму MIMI відповідно. Якщо △XYIA\triangle XYI_{A} — рівносторонній трикутник зі стороною 11, обчисліть площу △ABC\triangle ABC.
10–11 класиТеорема про тризуб2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-059

Трикутник з інцентром і перетином описаного кола

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, вписаний в одиничне коло з центром OO. Нехай II — інцентр △ABC\triangle ABC, а DD — перетин сторони BCBC і бісектриси ∠BAC\angle BAC. Припустімо, що описане коло △ADO\triangle ADO перетинає BCBC знову в точці EE такій, що EE лежить на прямій IOIO. Якщо cos⁡A=1213\cos A=\frac{12}{13}, знайдіть площу △ABC\triangle ABC.
10–11 класиТеорема про тризуб
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2020-002

Бісектриси кутів і паралельні хорди

Нехай ABCABC — трикутник, у якого AB>ACAB > AC. Бісектриси кутів при вершинах BB і CC перетинаються в точці II всередині трикутника ABCABC. Описане коло трикутника BICBIC перетинає ABAB вдруге в точці XX і ACAC вдруге в точці YY. Доведіть, що пряма CXCX паралельна прямій BYBY.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-033

Середина сторони на прямій, визначеній серединою дуги

Нехай ABCABC — трикутник, усі кути якого гострі, причому AB≠ACAB \neq AC. Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC, а DD — середина дуги BC^\widehat{BC}, що не містить AA. Нехай EE і FF — точки, які належать відповідно відрізкам [AB][AB], [AC][AC], такі, що AE=AFAE = AF. Нехай PP — точка перетину, відмінна від AA, кола Γ\Gamma та описаного кола трикутника AEFAEF. Нехай GG і HH — точки перетину, відмінні від PP, кола Γ\Gamma з прямими (PE)(PE) і (PF)(PF) відповідно. Нарешті, нехай JJ — точка перетину прямих (AB)(AB) і (DG)(DG), а KK — точка перетину прямих (AC)(AC) і (DH)(DH). Доведіть, що середина відрізка [BC][BC] належить прямій (JK)(JK).
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-020

Дотик описаних кіл, побудованих за чевіанами

Нехай ABCABC — трикутник, нехай II — центр вписаного в трикутник ABCABC кола. Нехай A′A', B′B' і C′C' — три точки, розташовані відповідно на прямих (AI)(AI), (BI)(BI) і (CI)(CI). Припустімо, що A′A', B′B' і C′C' відмінні від AA, BB, CC і II, і що вони колінеарні. Нарешті, нехай PAP_A — точка перетину серединних перпендикулярів до відрізків [BB′][BB'] і [CC′][CC']. Так само нехай PBP_B — точка перетину серединних перпендикулярів до відрізків [CC′][CC'] і [AA′][AA'], а PCP_C — точка перетину серединних перпендикулярів до відрізків [AA′][AA'] і [BB′][BB']. Доведіть, що описані кола трикутників ABCABC і PAPBPCP_A P_B P_C дотикаються одне до одного.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-011

Перпендикулярність через бісектриси та центри

Різносторонній трикутник ABCABC задовольняє умову ∠A=60∘\angle A = 60^{\circ}. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC, HH — ортоцентр, а II — інцентр. Нехай D,TD, T — точки, в яких пряма BCBC перетинає внутрішню та зовнішню бісектриси кута ∠A\angle A відповідно. Нехай XX — точка на описаному колі трикутника △IHO\triangle IHO така, що HX∥AIHX \parallel AI. Доведіть, що OD⊥TXOD \perp TX.
10–11 класиПроєктивна геометрія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.