Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

90 задач
ГеометріяВекторний метод
Американський запрошувальний математичний іспит (AIME)AIME-2022-004

Зустріч плавчинь з урахуванням течії річки

Пряма річка завширшки 264 метри тече із заходу на схід зі швидкістю 14 метрів за хвилину. Мелані та Шеррі сидять на південному березі річки, причому Мелані знаходиться на відстані DD метрів нижче за течією від Шеррі. Відносно води Мелані пливе зі швидкістю 80 метрів за хвилину, а Шеррі пливе зі швидкістю 60 метрів за хвилину. Водночас Мелані та Шеррі починають плисти по прямих лініях до точки на північному березі річки, рівновіддаленої від їхніх початкових положень. Обидві жінки прибувають у цю точку одночасно. Знайдіть DD.
10–11 класиВекторний метод
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-110

Рівнокутний шестикутник зі сторонами 1,2,3,4,5,6 і сума можливих площ

Аліса й Боб граються в лісі. У них є шість паличок завдовжки 1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6 дюймів. Вони якось зуміли скласти з цих паличок сторони рівнокутного шестикутника. Обчисліть суму всіх можливих значень площі цього шестикутника.
10–11 класиВекторний метод
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-003

Діагоналі паралелограма із заданими сторонами

Паралелограм має дві сторони завдовжки 44 і дві сторони завдовжки 77. Також одна з діагоналей має довжину 77. (Зауважте: рисунок виконано не в масштабі.) Чому дорівнює довжина іншої діагоналі?
10–11 класиВекторний метод
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-012

Перетин прямих, що сполучають відповідні вершини тетраедрів

Нехай A1A2A3A4A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}, B1B2B3B4B_{1} B_{2} B_{3} B_{4} і C1C2C3C4C_{1} C_{2} C_{3} C_{4} — три правильні тетраедри в тривимірному просторі, попарно нерівні. Припустимо, що для кожного i∈{1,2,3,4}i \in \{1,2,3,4\} точка CiC_{i} є серединою відрізка AiBiA_{i} B_{i}. Визначте, чи повинні чотири прямі A1B1A_{1} B_{1}, A2B2A_{2} B_{2}, A3B3A_{3} B_{3} і A4B4A_{4} B_{4} перетинатися в одній точці.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-032

Проекції граней куба із заданим відношенням площ

Три грані X,Y,Z\mathcal{X}, \mathcal{Y}, \mathcal{Z} одиничного куба мають спільну вершину. Нехай проекції X,Y,Z\mathcal{X}, \mathcal{Y}, \mathcal{Z} на фіксовану площину P\mathcal{P} мають площі x,y,zx, y, z відповідно. Якщо x:y:z=6:10:15x: y: z=6: 10: 15, то x+y+zx+y+z можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа і НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть 100m+n100 m+n.
10–11 класиВекторний метод
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-003

Ортоцентр тетраедра та відстані

Нехай P1P2P3P4P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} — тетраедр у R3\mathbb{R}^{3}, а OO — точка, рівновіддалена від усіх його вершин. Припустімо, що існує точка HH така, що для кожного ii пряма PiHP_{i} H перпендикулярна до площини через три інші вершини. Пряма P1HP_{1} H перетинає площину через P2,P3,P4P_{2}, P_{3}, P_{4} у точці AA та містить точку B≠P1B \neq P_{1} таку, що OP1=OBO P_{1}=O B. Доведіть, що HB=3HAH B=3 H A.
10–11 класиТочка перетину висот2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-041

Максимізація мінімальної відстані на периметрі квадрата

Припустімо, Гарвард-Ярд — це квадрат 17×1717 \times 17. На периметрі двору розташовано 14 гуртожитків. Якщо ss — найменша відстань між двома гуртожитками, то найбільше можливе значення ss можна записати у вигляді a−ba-\sqrt{b}, де a,ba, b — натуральні числа. Обчисліть 100a+b100 a+b.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-139

П'ятикутник у паралелепіпеді з рівними сторонами

У прямокутному паралелепіпеді ABCDEFGHA B C D E F G H з довжинами ребер AB=AD=6A B = A D = 6 і AE=49A E = 49 площина проходить через точку AA і перетинає ребра BFB F, FGF G, GHG H, HDH D у точках PP, QQ, RR, SS відповідно. Відомо, що AP=ASA P = A S і PQ=QR=RSP Q = Q R = R S, знайдіть площу п'ятикутника APQRSA P Q R S.
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-078

Площа проєкції восьмої частини сфери

Розглянемо восьму частину сфери {(x,y,z)∣x,y,z≥0,x2+y2+z2=1}\{(x, y, z) \mid x, y, z \geq 0, x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}. Чому дорівнює площа її проєкції на площину x+y+z=1x+y+z=1?
10–11 класиВекторний метод
Відбіркові тести на IMOTST-2019-022

Дотична і перпендикуляр у гострокутному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник такий, що AB<ACAB < AC. Нехай EE і FF — основи висот, проведених з BB і CC відповідно, а MM — середина сторони BCBC. Дотична до описаного кола трикутника ABCABC у точці AA перетинає пряму BCBC у точці PP. Пряма, що проходить через AA паралельно прямій BCBC, перетинає пряму EFEF у точці QQ. Доведіть, що пряма PQPQ перпендикулярна до прямої AMAM.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-002

Наближення точок опуклої оболонки центроїдами

Розглянемо скінченну множину точок T∈RnT \in \mathbb{R}^n, що міститься в nn-вимірній одиничній кулі з центром у початку координат, і нехай XX — опукла оболонка множини TT. Доведіть, що для всіх натуральних чисел kk і всіх точок x∈Xx \in X існують точки t1,t2,…,tk∈Tt_1, t_2, \ldots, t_k \in T, не обов’язково різні, такі, що їхній центроїд t1+t2+⋯+tkk\frac{t_1 + t_2 + \cdots + t_k}{k} перебуває на евклідовій відстані не більше 1k\frac{1}{\sqrt{k}} від xx. (nn-вимірна одинична куля з центром у початку координат — це множина точок із Rn\mathbb{R}^n, евклідова відстань від яких до початку координат не більша за 1. Опукла оболонка множини точок T∈RnT \in \mathbb{R}^n — це найменша множина точок XX, що містить TT, така, що кожен відрізок між двома точками з XX повністю лежить всередині XX.)
10–11 класиОпуклі множини
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-038

Сума синусів і косинусів в арифметичній прогресії

Обчисліть значення cos⁡30.5∘+cos⁡31.5∘+…+cos⁡44.5∘sin⁡30.5∘+sin⁡31.5∘+…+sin⁡44.5∘\frac{\cos 30.5^{\circ}+\cos 31.5^{\circ}+\ldots+\cos 44.5^{\circ}}{\sin 30.5^{\circ}+\sin 31.5^{\circ}+\ldots+\sin 44.5^{\circ}}
10–11 класиВекторний метод
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-004

Конкурентність прямих через центри описаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник, ортоцентр HH якого відмінний від вершин, а також від центра OO описаного кола. Позначимо через M,N,PM, N, P центри описаних кіл трикутників HBCHBC, HCAHCA і HABHAB. Доведіть, що прямі (AM)(AM), (BN)(BN), (CP)(CP) і (OH)(OH) перетинаються в одній точці.
8–10 класиТочка перетину висот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-003

Завершення процесу додавання векторів

Нехай v1,v2,…,vmv_{1}, v_{2}, \ldots, v_{m} — вектори в Rn\mathbb{R}^{n}, кожен з яких має додатну першу координату. Розглянемо такий процес. Починаємо з нульового вектора w=(0,0,…,0)∈Rnw=(0,0, \ldots, 0) \in \mathbb{R}^{n}. Кожного раунду вибираємо ii таке, що 1≤i≤m1 \leq i \leq m і w⋅vi≤0w \cdot v_{i} \leq 0, а потім замінюємо ww на w+viw+v_{i}. Доведіть, що існує стала CC така, що незалежно від вибору ii на кожному кроці процес гарантовано завершиться за CC раундів. Стала CC може залежати від векторів v1,…,vmv_{1}, \ldots, v_{m}.
10–11 класиВекторний метод
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-055

Довжини відрізків між серединами сторін чотирикутника

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якого AB=5AB = 5, BC=6BC = 6, CD=7CD = 7 і DA=8DA = 8. Нехай MM, PP, NN, QQ — середини сторін ABAB, BCBC, CDCD, DADA відповідно. Обчисліть MN2−PQ2MN^{2} - PQ^{2}.
10–11 класиВекторний метод
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-064

Сума квадратів відстаней до вершин тетраедра

Ундецильйон років тому в одній далекій-далекій галактиці було чотири космічні станції в тривимірному просторі, кожна пара на відстані 11 світлового року одна від одної. Адмірал Акбар хотів заснувати базу десь у космосі так, щоб сума квадратів відстаней від бази до кожної зі станцій не перевищувала 1515 квадратних світлових років. (Розмірами космічних станцій та бази можна знехтувати.) Визначте об’єм множини всіх можливих розташувань бази Адмірала (у кубічних світлових роках).
10–11 класиМетод координат
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-002

Колінеарність у трикутнику з ортоцентром

Нехай ABCABC — трикутник, усі кути якого гострі, а HH — його ортоцентр. Бісектриси кутів ABH^\widehat{ABH} і ACH^\widehat{ACH} перетинаються в точці II. Доведіть, що II лежить на одній прямій із серединами відрізків [BC][BC] і [AH][AH].
9–11 класиВекторний метод
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-043

Сума квадратів відстаней до середин точок на колі

Нехай A1,A2,…,A2015A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{2015} — різні точки одиничного кола з центром OO. Для кожних двох різних цілих чисел i,ji, j нехай PijP_{i j} — середина відрізка з кінцями AiA_{i} та AjA_{j}. Знайдіть найменше можливе значення ∑1≤i<j≤2015OPij2\sum_{1 \leq i<j \leq 2015} O P_{i j}^{2}
10–11 класиВекторний метод
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-053

Найкоротша відстань між мимобіжними прямими

Знайдіть найкоротшу відстань між прямими x+22=y−13=z1\frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{1} і x−3−1=y1=z+12\frac{x-3}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{2}.
10–11 класиВекторний метод
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-002

Зважені вектори з сумою обернених відстаней

Зафіксуймо натуральні числа mm і nn. Нехай a1,a2,…,ama_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m} — дійсні числа, а попарно різні вектори v1,…,vm∈Rnv_{1}, \ldots, v_{m} \in \mathbb{R}^{n} задовольняють ∑j≠iajvj−vi∥vj−vi∥3=0\sum_{j \neq i} a_{j} \frac{v_{j}-v_{i}}{\left\|v_{j}-v_{i}\right\|^{3}}=0 для i=1,2,…,mi=1,2, \ldots, m. Доведіть, що ∑1≤i<j≤maiaj∥vj−vi∥=0\sum_{1 \leq i<j \leq m} \frac{a_{i} a_{j}}{\left\|v_{j}-v_{i}\right\|}=0
10–11 класиВекторний метод
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-027

Рівновіддаленість середини у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, L=(AC)∩(BD)L = (AC) \cap (BD), JJ і KK — основи перпендикулярів до прямих (AD)(AD) і (BC)(BC) відповідно, проведених через LL, а II — середина відрізка [C,D][C, D]. Доведіть, що IJ=IKIJ = IK.
9–11 класиЦентральні і вписані кути2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2013-031

Рівні відрізки від середини сторони гострокутного трикутника

У гострокутному трикутнику основи висот, проведених з вершин AA і BB, — це DD і EE відповідно. Нехай MM — середина сторони ABAB. Пряма CMCM перетинає описане коло трикутника CDECDE вдруге в точці PP, а описане коло трикутника CABCAB вдруге — у точці QQ. Доведіть, що ∣MP∣=∣MQ∣.|MP| = |MQ|.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-099

Вершини крос-політопа та куба

Нехай SS — множина точок (x1,x2,…,x2012)(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2012}) у 2012-вимірному просторі таких, що ∣x1∣+∣x2∣+⋯+∣x2012∣≤1|x_{1}| + |x_{2}| + \cdots + |x_{2012}| \leq 1. Нехай TT — множина точок у 2012-вимірному просторі таких, що max⁡i=12012∣xi∣=2\max_{i=1}^{2012} |x_{i}| = 2. Нехай pp — випадково вибрана точка множини TT. Яка ймовірність того, що найближча до pp точка множини SS є вершиною SS?
10–11 класиВекторний метод
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-045

Мінімум суми квадратів тригонометричних виразів

Нехай α\alpha і β\beta — дійсні числа. Знайдіть найменше можливе значення (2cos⁡α+5sin⁡β−8)2+(2sin⁡α+5cos⁡β−15)2.(2 \cos \alpha + 5 \sin \beta - 8)^2 + (2 \sin \alpha + 5 \cos \beta - 15)^2.
10–11 класиВекторний метод
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-016

Ортоцентр і середина центрів кіл

Трикутники PABPAB і PCDPCD розміщено на площині. Припустимо, що виконуються рівності PA=PBPA = PB, PC=PDPC = PD і що 3 точки PP, AA, CC лежать на одній прямій у цьому порядку, і те саме справджується для 3 точок BB, PP, DD. Припустимо далі, що коло S1S_1, яке проходить через AA, CC, і коло S2S_2, яке проходить через BB, DD, перетинаються у 2 різних точках XX і YY. Доведіть, що ортоцентр трикутника PXYPXY збігається із серединою відрізка, що сполучає центри кіл S1S_1 і S2S_2. Тут для відрізка ZWZW його довжину також позначаємо через ZWZW.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.