Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

716 задач
ГеометріяВідношення відрізків
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-016

Висоти паралелограма рівної площі та перетин AG

У паралелограмі ABCDABCD проведено висоти BEBE і DFDF на сторони ADAD і BCBC відповідно, які ділять цей паралелограм на три частини рівної площі. На промені BDBD за вершину DD відклали відрізок DG=BDDG = BD. Пряма BEBE перетинає відрізок AGAG у точці HH. Знайдіть відношення AH:HGAH : HG.
9 класТочка перетину медіан
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-067

Відношення відрізків на стороні чотирикутника з паралельними прямими

Точки XX, YY вибрано на сторонах ABAB і ADAD відповідно опуклого чотирикутника ABCDABCD. Знайдіть відношення AX:BXAX : BX, якщо відомо, що CX∥DACX \parallel DA, DX∥CBDX \parallel CB, BY∥CDBY \parallel CD та CY∥BACY \parallel BA.
10 класПаралельні прямі і теорема Фалеса
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-078

Точки на бісектрисі кута і рівність відрізків

На бісектрисі кута BACBAC трикутника ABCABC вибрали такі точки B1B_1, C1C_1, для яких BB1⊥ABBB_1 \perp AB, CC1⊥ACCC_1 \perp AC. Точка MM — середина відрізка B1C1B_1C_1. Доведіть, що MB=MCMB = MC.
11 класПаралельні прямі і теорема Фалеса
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-079

Пряма через центр правильного трикутника та симетричні точки

Пряма, що проходить через центр правильного трикутника ABCABC, перетинає прямі ABAB, BCBC і CACA в точках C1C_1, A1A_1 і B1B_1 відповідно. Нехай A2A_2 — точка, що симетрична A1A_1 відносно середини BCBC; точки B2B_2 і C2C_2 визначаються аналогічно. Доведіть, що точки A2A_2, B2B_2 і C2C_2 лежать на одній прямій, яка дотикається до вписаного кола трикутника ABCABC.
11 класТеорема Менелая
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-086

Трапеція з перпендикулярними діагоналями і кут LPA

У трапеції ABCDABCD з перпендикулярними діагоналями точки PP, NN, QQ, MM — середини сторін ABAB, BCBC, CDCD, DADA відповідно. На основі CDCD існує точка LL, що відмінна від точки QQ, для якої кут MLNMLN — прямий. Знайдіть величину кута LPALPA.
8 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-021

Точки на колі і прямі через A та B

Задано коло ω\omega та точки AA, BB на прямій, яка не перетинає коло ω\omega. На колі вибрано довільну точку X0X_0 і далі побудовано такі послідовності точок (Yn)(Y_n) та (Xn)(X_n): YnY_n — друга точка перетину прямої AXnAX_n з колом ω\omega, n⩾0n \geqslant 0, а Xn+1X_{n+1} — друга точка перетину прямої BYnBY_n з колом ω\omega, n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що коли для деякої точки X0X_0 та для деякого натурального kk точка Xk=X0X_k = X_0, то Xk=X0X_k = X_0 при довільному виборі точки X0X_0.
10 класІнверсія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-030

Вписане коло, дотична та прямий кут

Вписане в трикутник ABCABC коло ω\omega дотикається до його сторін BCBC, CACA та ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Пряма, що проходить через точку AA та не проходить через точку DD, перетинає дугу EFEF у точці TT. Дотична до кола ω\omega у точці TT перетинає EFEF у точці PP, а пряма, що проходить через точку PP паралельно ABAB, перетинає ATAT у точці HH. Доведіть, що ∠HEF=90∘\angle HEF = 90^\circ.
11 класПроєктивна геометрія
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-13-14-018

Точки на діагоналі паралелограма і відрізок MN

На діагоналі BDBD паралелограма ABCDABCD вибрано точки PP і QQ таким чином, що BP=PQ=QDBP = PQ = QD. Прямі CPCP і CQCQ перетинають сторони ABAB і ADAD відповідно в точках MM і NN. Знайдіть відношення MN:BDMN : BD.
9 класТочка перетину медіан
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-13-14-044

Рівносторонній трикутник, середини сторін і проекції на пряму

Задано рівносторонній трикутник ABCABC, у якого A1A_1, B1B_1, C1C_1 — середини сторін BCBC, ACAC, ABAB відповідно. Пряма ll проходить через вершину AA. Позначимо через PP, QQ проекції точок BB, CC на пряму ll відповідно (пряму ll і точки QQ, AA, PP розташовано так, як це показано на рис. 2.2). Позначимо через TT точку перетину прямих B1PB_1P і C1QC_1Q. Доведіть, що пряма A1TA_1T перпендикулярна до прямої ll.
8 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-13-14-046

Медіана трикутника і відношення відрізків

На стороні ABAB трикутника ABCABC відмітили точку KK. Відрізок CKCK перетинає медіану AMAM у точці FF. Відомо, що AK=AFAK = AF. Знайдіть відношення MF:BKMF : BK.
8 класПаралельні прямі і теорема Фалеса
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-13-14-066

Кут KLM у трикутнику з бісектрисою і серединами сторін

У трикутнику ABCABC сторона AC=12(AB+BC)AC = \frac{1}{2}(AB + BC), BLBL — бісектриса кута ABCABC, KK, MM — середини сторін ABAB і BCBC відповідно. Знайдіть величину кута KLMKLM, якщо ∠ABC=β\angle ABC = \beta.
10 класОсновна властивість бісектриси
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-13-14-049

Точки на сторонах трикутника з прямим кутом

Задано трикутник ABCABC, на стороні BCBC якого відмічено точку EE таким чином, що BE⩾CEBE \geqslant CE. Побудуйте на сторонах ABAB і ACAC точки DD і FF відповідно такі, що ∠DEF=90∘\angle DEF = 90^\circ і відрізок BFBF ділиться навпіл відрізком DEDE.
8 класЗадачі на побудову (алгоритмічна…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-13-14-101

Бісектриси кутів трикутника і точки на прямій NK

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до його сторін ABAB, BCBC і ACAC у точках NN, KK, PP відповідно. Відомо, що AB>BCAB > BC, а бісектриси кутів AA і CC перетинають пряму NKNK у точках QQ і TT відповідно. Позначимо через SS точку перетину прямих AQAQ і TPTP, а через FF — точку перетину прямих CTCT і PQPQ. Доведіть, що прямі NKNK, SFSF і ACAC перетинаються в одній точці.
10 класТеорема Менелая
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-12-13-026

Бісектриса кута KJH і інцентр трикутника OCB

Задано рівнобедрений трикутник OCBOCB з вершиною OO, коло w=S(O,OB)w = S(O, OB). Дотичні до цього кола в точках BB і CC перетинаються в точці AA. Розглянемо коло w1w_1, що розташоване всередині трикутника ABCABC і дотикається до кола ww та сторони ACAC у точці HH. Коло w2w_2 також розташоване всередині трикутника ABCABC і дотикається до кола ww та кола w1w_1 у точці JJ та до сторони ABAB у точці KK. Доведіть, що бісектриса кута KJHKJH проходить через інцентр трикутника OCBOCB.
11 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-12-13-016

Трапеція з рівними діагоналлю та стороною і середина відрізка

У трапеції ABCDABCD діагональ ACAC дорівнює бічній стороні CDCD. Пряма, що симетрична прямій BDBD відносно ADAD, перетинається з прямою ACAC у точці EE. Доведіть, що пряма ABAB ділить відрізок DEDE навпіл.
9 класПаралельні прямі і теорема Фалеса
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-12-13-069

Бісектриса трикутника і центри двох вписаних кіл

Задано трикутник ABCABC, ADAD — його бісектриса. Нехай EE, FF — центри кіл, вписаних у трикутники ADCADC та ADBADB відповідно. Позначимо літерою ω\omega коло, описане навколо трикутника DEFDEF, літерою QQ — точку перетину BEBE та CFCF, а літерами HH, JJ, KK, MM — відповідно другі точки перетину прямих CECE, CFCF, BEBE, BFBF з колом ω\omega. Нехай ω1\omega_1, ω2\omega_2 — кола, описані навколо трикутників HQJHQJ та KQMKQM. Доведіть, що точка перетину кіл ω1\omega_1 і ω2\omega_2 відмінна від QQ і лежить на прямій ADAD.
9 класРадикальна вісь
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-12-13-098

Точки на медіані і перетин прямих AE, CF, BH

Нехай HH — точка перетину висот APAP і CQCQ гострокутного трикутника ABCABC. На його медіані BMBM відмітили точки EE і FF так, що ∠APE=∠BAC\angle APE=\angle BAC і ∠CQF=∠BCA\angle CQF=\angle BCA, причому точка EE лежить усередині трикутника APBAPB, а точка FF — усередині трикутника CQBCQB. Доведіть, що прямі AEAE, CFCF і BHBH перетинаються в одній точці.
11 класТеорема Чеви
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-11-12-019

Чевіани трикутників ABC і A1B1C1 через вершини

Через точку PP, що міститься всередині трикутника ABCABC, провели чевіани AA1AA_1, BB1BB_1 та CC1CC_1. P1P_1 — деяка точка всередині трикутника A1B1C1A_1B_1C_1. Нехай A2=A1P1∩B1C1A_2 = A_1P_1 \cap B_1C_1, B2=B1P1∩A1C1B_2 = B_1P_1 \cap A_1C_1 і C2=C1P1∩A1B1C_2 = C_1P_1 \cap A_1B_1. Доведіть, що прямі AA2AA_2, BB2BB_2 та CC2CC_2 перетинаються в одній точці.
10 класТеорема Чеви
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-11-12-029

Перетин прямих B0C0 і B1C1 в трикутнику з бісектрисами

У трикутнику ABCABC проведено бісектриси BB0BB_0 та CC0CC_0. Продовження цих бісектрис перетинають коло, описане навколо трикутника ABCABC, у точках B1B_1 та C1C_1 відповідно. Прямі B0C0B_0C_0 та B1C1B_1C_1 перетинаються в точці XX. Нехай також I=BB0∩CC0I = BB_0 \cap CC_0. Покажіть, що X≠IX \neq I, та доведіть, що XI∥BCXI \parallel BC.
11 класПроєктивна геометрія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-11-12-025

Кути BAT і BB'Q та відрізки SQ і RB'

Точку PP вибрано всередині трикутника ABCABC таким чином, що ∠CAP=∠BCP\angle CAP = \angle BCP. Нехай B′=BP∩ACB' = BP \cap AC, C′=CP∩ABC' = CP \cap AB, а QQ — відмінна від AA точка перетину прямої APAP з колом, описаним навколо трикутника ABCABC. Нехай також R=B′Q∩CPR = B'Q \cap CP і S=B′Q∩lS = B'Q \cap l, де ll — пряма, яка проходить через точку PP і паралельна до ACAC. Точка T=B′C′∩QBT = B'C' \cap QB лежить з іншого боку від прямої ABAB, ніж точка CC. Коло, описане навколо трикутника PB′C′PB'C', удруге перетинає пряму APAP в точці, яка лежить усередині трикутника ABCABC. Доведіть, що ∠BAT=∠BB′Q⇔SQ=RB′,\angle BAT = \angle BB'Q \Leftrightarrow SQ = RB', тобто що кути BATBAT і BB′QBB'Q рівні між собою тоді й лише тоді, коли рівними є відрізки SQSQ та RB′RB'.
11 класЦентральні і вписані кути
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-090

П’ять попарно перетинних прямих і довжини відрізків

П’ять прямих попарно перетинаються, як це показано на рисунку 2.4. Чи можна отримати відрізки, довжини яких виражено такими натуральними числами (рис. 2.4)? Чи можна отримати відрізки, довжини яких показано на рисунку 2.4?
9 класТочка перетину медіан
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-109

Точки на одній прямій через середини відрізків у паралелограмі

У паралелограмі ABCDABCD провели діагональ ACAC. Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до його сторін ABAB, BCBC і ACAC відповідно в точках MM, NN і KK. Пряма MKMK перетинає пряму CDCD у точці PP, а пряма NKNK перетинає пряму ADAD у точці QQ. Нехай EE і FF — середини відрізків MPMP і NQNQ. Доведіть, що точки BB, EE і FF лежать на одній прямій.
10 класДотична кола
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-151

Бічні ребра піраміди і точка перетину медіан

Нехай SABCSABC — така трикутна піраміда, що для точки MM перетину медіан її грані ABCABC виконуються нерівності MA>1MA>1, MB>1MB>1 та MC>1MC>1. Доведіть, що SA+SB+SC>3.SA+SB+SC>3.
11 класВекторний метод
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-139

Точки K, D, F, P у прямокутному трикутнику

Дано трикутник ABCABC, у якому ∠C=90∘\angle C = 90^\circ, AC<BCAC < BC. На стороні BCBC відмічено точку KK так, що CK=CACK = CA. Нехай DD — така точка відрізка CKCK, що ∠DAK=∠BAK\angle DAK = \angle BAK. Відрізок DFDF є висотою трикутника ADBADB, а точка PP — основою перпендикуляра, проведеного з точки AA до прямої FKFK. Доведіть, що CP=12(AF+FD+DA)CP = \frac{1}{2}(AF + FD + DA).
9 класЗовнівписане коло
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-010

Пряма через середину сторони паралельна бісектрисі

Через точку LL — середину сторони BCBC трикутника ABCABC, у якого AC<ABAC < AB, — провели пряму ll, що паралельна бісектрисі AVAV кута BACBAC. Пряма ll перетинає прямі ABAB та ACAC в точках XX та YY відповідно. На промені XYXY позначено точку ZZ, для якої справджується рівність XY=YZXY = YZ. Прямі BYBY та CZCZ перетинаються в точці DD. Доведіть, що бісектриса кута BDCBDC паралельна прямій ll.
8 класСиметрія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.