Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

131 задача
АлгебраВластивості коефіцієнтів многочленів
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-013

Перестановка коефіцієнтів многочлена та нерівність для всіх x

Многочлен Q(x)=q100x100+q99x99+…+q1x+q0Q(x)=q_{100}x^{100}+q_{99}x^{99}+\ldots+q_1x+q_0 степеня 100100 отримано з многочлена P(x)=p100x100+p99x99+…+p1x+p0P(x)=p_{100}x^{100}+p_{99}x^{99}+\ldots+p_1x+p_0 перестановкою коефіцієнтів, при цьому pi≠qip_i \ne q_i, i=0,100‾i=\overline{0,100}. Чи може статися так, що для кожного дійсного xx справджується умова P(x)⩾Q(x)P(x) \geqslant Q(x)?
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-005

Многочлен з цілими відношеннями добутків значень

Многочлен p(x)p(x) з дійсними коефіцієнтами, що відмінний від сталої, має таку властивість: для будь-яких натуральних чисел nn і kk число p(n+1) p(n+2)…p(n+k)p(1) p(2)…p(k)\dfrac{p(n+1)\,p(n+2)\ldots p(n+k)}{p(1)\,p(2)\ldots p(k)} є цілим. Доведіть, що цей многочлен ділиться на xx.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-001

Многочлен із цілими коефіцієнтами дільник чисел 2ⁿ−1

Нехай P(n)P(n) — многочлен із цілими коефіцієнтами такий, що для довільного натурального nn число 2n−1P(n)\dfrac{2^n-1}{P(n)} — ціле. Доведіть, що P(n)≡1P(n) \equiv 1 або P(n)≡−1P(n) \equiv -1.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-004

Функціональне рівняння з сумою xⁿ f(x) + yⁿ f(y)

Нехай nn – деяке натуральне число. Знайти всі функції f:R+→Rf : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R} (тобто функції, визначені на множині усіх додатних дійсних чисел з дійсними значеннями), для яких виконується рівність f(xn+1+yn+1)=xnf(x)+ynf(y)f\left(x^{n+1} + y^{n+1}\right) = x^{n}f\left(x\right) + y^{n}f\left(y\right) для будь-яких додатних дійсних чисел x,yx, y.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-006

Многочлени з коефіцієнтами 0 і 1 вільні від квадратів

Многочлен PP із цілими коефіцієнтами назвемо вільним від квадратів, якщо його не можна записати у вигляді P=Q2RP = Q^2 R, де QQ та RR є многочленами із цілими коефіцієнтами і QQ є неконстантним. Для натурального числа nn нехай UnU_n — це множина всіх многочленів вигляду 1+a1x+a2x2+…+anxn,1 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n, де a1,a2,…,an∈{0,1}a_1, a_2, \ldots, a_n \in \{0, 1\}. Доведіть, що існує ціле число NN таке, що для всіх цілих n⩾Nn \geqslant N більше ніж 99 %99\,\% многочленів у множині UnU_n є вільними від квадратів.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2023-002

Нескінченні послідовності з многочленом і добутком членів

Для кожного натурального k⩾2k \geqslant 2 знайдіть усі нескінченні послідовності натуральних чисел a1,a2,…a_1, a_2, \ldots, для яких існує многочлен вигляду P(x)=xk+ck−1xk−1+…+c1x+c0,P(x) = x^k + c_{k-1}x^{k-1} + \ldots + c_1x + c_0, де c0,c1,…,ck−1c_0, c_1, \ldots, c_{k-1} — цілі невід’ємні числа, такий що P(an)=an+1an+2…an+kP(a_n) = a_{n+1}a_{n+2}\ldots a_{n+k} для n⩾1n \geqslant 1.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-005

Рівність композицій многочленів з подільними степенями

Нехай P(x)P(x), Q(x)Q(x), R(x)R(x) і S(x)S(x) — це непостійні многочлени з дійсними коефіцієнтами такі, що P(Q(x))=R(S(x))P(Q(x)) = R(S(x)). Припустимо, що степінь многочлена P(x)P(x) ділиться на степінь многочлена R(x)R(x). Доведіть, що існує многочлен T(x)T(x) з дійсними коефіцієнтами такий, що P(x)=R(T(x))P(x) = R(T(x)).
10–11 класиДілення многочленів з остачею
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2022-001

Три многочлени з нульовими сумою і композиціями

Ненульові многочлени P(x)P(x), Q(x)Q(x) та R(x)R(x) задовольняють такі тотожності: P(x)+Q(x)+R(x)=P(Q(x))+Q(R(x))+R(P(x))=0.P(x)+Q(x)+R(x)=P(Q(x))+Q(R(x))+R(P(x))=0. Доведіть, що степені всіх трьох многочленів парні.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2021-006

Початковий многочлен для отримання (A, B)-хороших многочленів

Неконстантний многочлен S(x)S(x) із дійсними коефіцієнтами записано на дошці. Дозволено вибрати многочлен P(x)P(x), уже записаний на дошці, та дописати довільний многочлен вигляду P(C+x)P(C + x) або C+P(x)C + P(x), де CC — дійсне число. Більше того, можна вибрати довільні два (можливо, однакові) многочлени P(x)P(x) та Q(x)Q(x), уже записані на дошці, та дописати многочлени P(Q(x))P(Q(x)) та P(x)+Q(x)P(x) + Q(x). Многочлени з дошки не прибирають. Дано дві множини дійсних чисел A={a1,a2,…,an}A = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} та B={b1,b2,…,bn}B = \{b_1, b_2, \ldots, b_n\}. Многочлен f(x)f(x) із дійсними коефіцієнтами назвемо (A,B)(A, B)-хорошим, якщо f(A)=Bf(A) = B, де f(A)={f(ai):i=1,n‾}.f(A) = \{f(a_i) : i = \overline{1, n}\}. Знайдіть усі можливі многочлени S(x)S(x), що могли бути записані на дошці спочатку, якщо для довільних скінченних множин дійсних чисел AA та BB, для яких ∣A∣=∣B∣|A| = |B|, можна отримати (A,B)(A, B)-хороший многочлен за скінченну кількість дозволених операцій.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-007

Многочлен двох змінних із симетрією подвоєння

Знайдіть усі многочлени P(x,y)P(x, y) з дійсними коефіцієнтами, які для всіх дійсних чисел xx і yy задовольняють P(x+y,x−y)=2P(x,y).P(x + y, x - y) = 2P(x, y).
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-008

Породжувальні многочлени та зображення сумами

Многочлен f(x)f(x) з дійсними коефіцієнтами називається породжувальним, якщо для кожного многочлена φ(x)\varphi(x) з дійсними коефіцієнтами існує натуральне число kk і многочлени g1(x),…,gk(x)g_1(x), \dots, g_k(x) такі, що φ(x)=f(g1(x))+⋯+f(gk(x)).\varphi(x) = f(g_1(x)) + \dots + f(g_k(x)). Знайдіть усі породжувальні многочлени.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Балтійський шляхBW-1994-005

Цілі значення многочлена з цілими коефіцієнтами

Нехай p(x)p(x) — многочлен із цілими коефіцієнтами такий, що обидва рівняння p(x)=1p(x)=1 і p(x)=3p(x)=3 мають цілі розв'язки. Чи може рівняння p(x)=2p(x)=2 мати два різні цілі розв'язки?
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Балтійський шляхBW-1992-010

Парний многочлен четвертого степеня з двома мінімумами

Знайдіть усі многочлени четвертого степеня p(x)p(x) такі, що виконуються такі чотири умови: (i) p(x)=p(−x)p(x) = p(-x) для всіх xx. (ii) p(x)≥0p(x) \geq 0 для всіх xx. (iii) p(0)=1p(0) = 1. (iv) p(x)p(x) має рівно дві точки локального мінімуму x1x_1 і x2x_2 такі, що ∣x1−x2∣=2|x_1 - x_2| = 2.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1992-002

Монічний дільник зсунутого добуткового многочлена

Нехай n>1n>1 — ціле число, а a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} — nn різних цілих чисел. Доведіть, що многочлен f(x)=(x−a1)(x−a2)⋅…⋅(x−an)−1f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdot \ldots \cdot\left(x-a_{n}\right)-1 не ділиться на жодний многочлен із цілими коефіцієнтами, степінь якого більший за нуль, але менший за nn, у якого коефіцієнт при найвищому степені xx дорівнює 1.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Балтійський шляхBW-1991-004

Оцінка многочлена з цілими коефіцієнтами

Нехай pp — многочлен з цілими коефіцієнтами такий, що p(−n)<p(n)<np(-n) < p(n) < n для деякого цілого числа nn. Доведіть, що p(−n)<−np(-n) < -n.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2025-003

Рефлексивний розклад добутку многочленів

Многочлен cdxd+cd−1xd−1+⋯+c1x+c0c_{d}x^{d} + c_{d - 1}x^{d - 1} + \dots + c_{1}x + c_{0} степеня dd називається рефлексивним, якщо існує ціле число n≥dn \geq d таке, що ci=cn−ic_{i} = c_{n - i} для кожного 0≤i≤n0 \leq i \leq n, де ci=0c_{i} = 0 при i>di > d. Нехай ℓ≥2\ell \geq 2 — ціле число, а p(x)p(x) — многочлен із цілими коефіцієнтами. Доведіть, що існують рефлексивні многочлени q(x),r(x)q(x), r(x) із цілими коефіцієнтами такі, що (1+x+x2+⋯+xℓ−1)p(x)=q(x)+xℓr(x).(1 + x + x^{2} + \dots + x^{\ell -1})p(x) = q(x) + x^{\ell}r(x).
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-061

Монічні многочлени з єдиними універсальними дільниками

Нехай P1(x),P2(x),…,Pk(x)P_{1}(x), P_{2}(x), \ldots, P_{k}(x) — монічні многочлени степеня 1313 з цілими коефіцієнтами. Припустімо, що існують попарно різні натуральні числа n1,n2,…,nkn_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k} такі, що для всіх натуральних чисел ii і jj, не більших за kk, твердження «nin_{i} ділить Pj(m)P_{j}(m) для кожного цілого mm» виконується тоді й лише тоді, коли i=ji = j. Обчисліть найбільше можливе значення kk.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Американський запрошувальний математичний іспит (AIME)AIME-2022-001

Спільні точки многочленів другого степеня з протилежними коефіцієнтами

Многочлени другого степеня P(x)P(x) і Q(x)Q(x) мають старші коефіцієнти 22 і −2-2 відповідно. Графіки обох многочленів проходять через дві точки (16,54)(16, 54) і (20,53)(20, 53). Знайдіть P(0)+Q(0)P(0) + Q(0).
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-110

Многочлен з P(-10)=145, P(9)=164 і найменше |P(0)|

Серед усіх многочленів P(x)P(x) з цілими коефіцієнтами, для яких P(−10)=145P(-10)=145 і P(9)=164P(9)=164, обчисліть найменше можливе значення ∣P(0)∣|P(0)|.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Відбіркові тести на IMOTST-2021-023

Многочлени з умовою про зсунуті корені

Знайдіть усі многочлени PP з дійсними коефіцієнтами без кратних коренів, такі, що для будь-якого комплексного числа zz рівність zP(z)=1z P(z)=1 виконується тоді й лише тоді, коли P(z−1)P(z+1)=0P(z-1) P(z+1)=0.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-014

Многочлени з рівними дійсними коренями

Нехай PP, QQ — многочлени з дійсними коефіцієнтами такі, що P∘Q=P2019P \circ Q = P^{2019}. Припустимо, що всі корені многочлена PP дійсні. Доведіть, що всі вони рівні.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-035

Многочлени з коренями на одиничному колі

Знайдіть усі несталі многочлени P(z)P(z) з комплексними коефіцієнтами, для яких усі комплексні корені многочленів P(z)P(z) і P(z)−1P(z) - 1 мають модуль 11.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-015

Степінь п'ятірки, що ділить зважену суму коефіцієнтів

Дано многочлен (x2+5x−19)50=a0+a1x+a2x2+⋯+a100x100,\left(x^{2}+5 x-19\right)^{50}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{100} x^{100}, розглянемо величину M=a0−a1+4a2−9a3+16a4−81a5+64a6−729a7+⋯+298a98−398a99+2100a100M=a_{0}-a_{1}+4 a_{2}-9 a_{3}+16 a_{4}-81 a_{5}+64 a_{6}-729 a_{7}+\cdots+2^{98} a_{98}-3^{98} a_{99}+2^{100} a_{100} в якій коефіцієнт при a2ka_{2 k} дорівнює 22k2^{2 k}, а коефіцієнт при a2k+1a_{2 k+1} дорівнює −32k-3^{2 k}. Який найбільший степінь числа 5 ділить MM? (A) 505^{0} (B) 515^{1} (C) 555^{5} (D) 5505^{50} (E) 51005^{100}
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-016

Многочлени, що задовольняють квадратичне функціональне рівняння

Скільки існує многочленів p(x)p(x) з дійсними коефіцієнтами, степінь яких від 1 до 2020 включно, для яких існує дійсне число α\alpha таке, що рівність p(x)2=p(x2)+αp(x)p(x)^2 = p\left(x^2\right) + \alpha p(x) виконується для кожного дійсного числа xx?
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-032

Рівність многочленів із циклічної композиції

Нехай P1,P2,…,P2019P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{2019} — несталі многочлени з дійсними коефіцієнтами такі, що P1(P2(x))=P2(P3(x))=…=P2019(P1(x))P_{1}\left(P_{2}(x)\right)=P_{2}\left(P_{3}(x)\right)=\ldots=P_{2019}\left(P_{1}(x)\right) для всіх дійсних xx. Доведіть, що P1=P2=…=P2019P_{1}=P_{2}=\ldots=P_{2019}.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.