Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

94 задачі
КомбінаторикаЗв’язність
Відбіркові тести на IMOTST-2025-017

Граф дружби з періодичними передачами

У групі людей деякі є друзями (дружба взаємна), і кожна людина pp має список f1(p),f2(p),…,fd(p)(p)f_1(p), f_2(p), \dots, f_{d(p)}(p) своїх друзів, де d(p)d(p) — кількість друзів людини pp. Крім того, будь-які двоє людей з'єднані ланцюжком дружніх зв'язків. Кожна людина також має водяну кульку. Далі грають у таку гру, доки в когось не опиниться більше ніж одна водяна кулька: у раунді rr кожна людина pp кидає водяну кульку, яку вона наразі має, своєму другові fs(p)f_s(p) такому, що d(p)∣r−sd(p) \mid r - s. Доведіть, що якщо гра ніколи не закінчується, то всі мають однакову кількість друзів.
10–11 класиСтепені вершин
Відбіркові тести на IMOTST-2025-016

Період функції за значеннями

Нехай nn — додатне ціле число. Ана і Банана грають у гру. Банана загадує функцію f:Z→Zf: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} і просте число pp. Він повідомляє Ані, що ff є непостійною, p<100p < 100, і f(x+p)=f(x)f(x+p) = f(x) для всіх цілих чисел xx. Мета Ани — визначити значення pp. Вона записує nn цілих чисел x1,…,xnx_1, \dots, x_n. Побачивши цей список, Банана записує f(x1),…,f(xn)f(x_1), \dots, f(x_n) по порядку. Ана виграє, якщо вона може визначити значення pp з цієї інформації. Знайдіть найменше значення nn, для якого Ана має виграшну стратегію.
10–11 класиЗв’язність
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-047

Розсилання інформації в сильно зв’язному орграфі

Дано натуральне число nn. У мережі є nn комп’ютерів, пронумерованих натуральними числами 1,2,…,n1, 2, \dots, n. Комп’ютери з’єднано односторонніми лініями зв’язку так, що інформацію з будь-якого комп’ютера можна надіслати до всіх інших комп’ютерів або безпосередньо, або через інші комп’ютери мережі. Спочатку кожен комп’ютер знає лише свій власний номер. Коли на будь-якому комп’ютері запускають певну процедуру, комп’ютер виводить усі номери комп’ютерів, які він знає, і передає їх усім комп’ютерам, до яких він має прямі лінії. Оператор комп’ютера запускає цю процедуру на будь-яких вибраних комп’ютерах у будь-якій обраній послідовності (можливо, кілька разів на тому самому комп’ютері). Доведіть, що мінімальна загальна кількість запусків процедури, за якої можливо, щоб усі комп’ютери вивели номери всіх комп’ютерів принаймні один раз, не залежить від мережі ліній, а лише від числа nn, і знайдіть цю кількість запусків.
11 класОрієнтовані графи
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-006

Діагоналі доміно в замощенні прямокутника

Прямокутник розбито на доміно 1×21 \times 2 і 2×12 \times 1. У кожному доміно проведено діагональ. Жодні дві діагоналі не мають спільного кінця. Доведіть, що рівно два кути прямокутника є кінцями цих діагоналей.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-018

Тупикові ребра через розбиття з малою кількістю ребер

Нехай GG — граф з nn вершинами. Ребро ee графа GG називається тупиком, якщо вершини графа GG можна розбити на дві множини AA і BB так, що: - є не більше 20232023 ребер графа GG, що мають один кінець в AA, а другий — в BB. - ребро ee має один свій кінець в AA, а другий — в BB. Доведіть, що є не більше 2023(n−1)2023(n-1) тупиків.
10–11 класиМетод математичної індукції
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2021-004

Найбільша кількість кабелів у зв'язному двочастковому графі

В організації працює 30 співробітників: у 20 із них комп'ютери марки A, а в решти 10 — комп'ютери марки B. З міркувань безпеки комп'ютери можна з'єднувати лише між собою і лише кабелями, причому кабель може з'єднувати лише комп'ютер марки A із комп'ютером марки B. Співробітники можуть спілкуватися один з одним, якщо їхні комп'ютери з'єднані кабелем безпосередньо або якщо повідомлення передаються далі через низку з'єднаних комп'ютерів. Спочатку жоден комп'ютер не з'єднаний з жодним іншим. Технік довільно вибирає по одному комп'ютеру кожної марки та прокладає між ними кабель, якщо між цією парою ще немає кабеля. Технік припиняє роботу, щойно кожен співробітник зможе спілкуватися з кожним іншим. Яка найбільша можлива кількість використаних кабелів? (A) 190 (B) 191 (C) 192 (D) 195 (E) 196
10–11 класиЗв’язність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-018

Гра з простим числом і перетвореннями цілих чисел

П'єр і Клара грають у таку гру. Спочатку Клара вибирає ціле число cc. Потім П'єр вибирає просте число p⩾cp \geqslant c і записує на дошці два цілі числа aa і bb. Після цього Клара може виконувати такі операції: вона вибирає одне з двох чисел, записаних на дошці, скажімо nn, витирає його і записує замість нього інше ціле число, скажімо mm, таке, що pp ділить (n2−m+1)(m2−n+1)\left(n^{2}-m+1\right)\left(m^{2}-n+1\right). Клара виграє, якщо за скінченну кількість таких операцій їй вдається зробити так, щоб два цілі числа, записані на дошці, стали однаковими. Інакше вона програє, і виграє П'єр. Доведіть, що П'єр може завадити Кларі виграти.
10–11 класиТеорема Евкліда про нескінченніст…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-022

Множина з різницями Фібоначчі

Для кожного цілого k⩾0k \geqslant 0 позначимо через FkF_{k} k-теk^{\text{-те}} число Фібоначчі, визначене рівностями F0=0F_{0}=0, F1=1F_{1}=1 і Fk=Fk−2+Fk−1F_{k}=F_{k-2}+F_{k-1} при k⩾2k \geqslant 2. Нехай n⩾2n \geqslant 2 — ціле число, і нехай SS — множина цілих чисел, яка має таку властивість: Для кожного цілого kk такого, що 2⩽k⩽n2 \leqslant k \leqslant n, множина SS містить два цілі числа xx і yy такі, що x−y=Fkx-y=F_{k}. Яка найменша можлива кількість елементів такої множини SS?
10–11 класиДерева
Відбіркові тести на IMOTST-2021-010

Острови, мости та умова подільності

Для кожного простого pp десь у мультивсесвіті існує королівство, що складається з pp островів, пронумерованих від 11 до pp, з мостом між будь-якою парою з них. Коли Яна відвідує королівство, через коронавірусні обмеження вона мусить дотримуватися такого правила: безпосередньо після відвідування острова mm вона може перейти лише на острів nn, якщо p∣(m2−n+1)(n2−m+1)p \mid (m^{2}-n+1)(n^{2}-m+1) Доведіть, що існує нескінченно багато королівств таких, що Яна не може в такий спосіб дістатися до кожного острова.
10–11 класиЗв’язність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-006

Індуковані зв'язні підграфи з обмеженням на степінь

Нехай GG — скінченний неорієнтований граф, n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}, d∈N∗d \in \mathbb{N}^{*} такі, що степінь кожної вершини графа GG обмежений числом dd, xx — вершина графа GG. Позначимо через a(n,x)a(n, x) кількість зв'язних індукованих підграфів графа GG, які містять nn вершин, серед яких є вершина xx (індукований підграф UU — це граф, вершини якого є вершинами графа GG, і якщо xx і yy є вершинами графа UU, то xx з'єднана ребром з yy в UU тоді й лише тоді, коли xx з'єднана ребром з yy в GG). 1. Доведіть, що a(n,x)⩽2nda(n, x) \leqslant 2^{n d}. 2. Доведіть, що a(n,x)⩽((d+1)d+1dd)na(n, x) \leqslant\left(\frac{(d+1)^{d+1}}{d^{d}}\right)^{n}
10–11 класиСтепені вершин
Відбіркові тести на IMOTST-2020-030

Графи, ізоморфні подвійному графу спільних сусідів

Для скінченного простого графа GG позначимо через G′G' граф на тій самій множині вершин, що й GG, у якому для довільних двох вершин u≠vu \neq v пара {u,v}\{u, v\} є ребром графа G′G' тоді і лише тоді, коли uu і vv мають спільного сусіда в GG. Доведіть, що якщо скінченний простий граф GG ізоморфний графу (G′)′(G')', то GG ізоморфний і графу G′G'.
10–11 класиНапівінваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-100

Розбиття сітки зі зв'язними столицями

У Середзем'ї дев'ять міст утворюють сітку 33 на 33. Верхнє ліве місто — столиця Гондора, а нижнє праве місто — столиця Мордора. Скількома способами можна розподілити решту міст між двома державами так, щоб до всіх міст кожної країни можна було дістатися з її столиці лініями сітки, не проходячи через місто іншої країни?
10–11 класиЗв’язність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-030

Запити про зв'язність невідомого графа

У країні є 64 міста. Деякі пари міст з'єднані дорогами, але Боб не знає, які саме (дороги не перетинаються, але можуть проходити одна над одною; крім того, дорогами можна рухатися в обох напрямках). Аліса ж досконало знає мережу. Боб може вибрати довільну пару міст і запитати в Аліси, чи з'єднані вони безпосередньо дорогою. Мета Боба — визначити, чи можна дістатися з будь-якого міста до будь-якого іншого (можливо, скориставшись кількома послідовними дорогами). Покажіть, що не існує жодного алгоритму (тобто жодної стратегії залежно від послідовних відповідей Аліси), який дозволив би йому дізнатися це напевно менш ніж за 2016 запитань.
9–11 класиЗв’язність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-073

Кількість прохідних лабіринтів 5×5

Лабіринт n×mn \times m — це сітка n×mn \times m, у якій кожна клітинка є або стіною, або порожньою. Лабіринт називається прохідним, якщо існує послідовність сусідніх порожніх клітинок від верхньої лівої клітинки до нижньої правої клітинки, яка не проходить крізь стіни. (Зокрема, верхня ліва та нижня права клітинки мають бути порожніми.) Нехай NN — кількість прохідних лабіринтів 5×55 \times 5. Оцініть NN. Оцінка E>0E>0 приносить ⌊20min⁡(NE,EN)2⌋\left\lfloor 20 \min \left(\frac{N}{E}, \frac{E}{N}\right)^{2}\right\rfloor балів.
10–11 класиШляхи на графах
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-014

Обнулення дошки суміжними операціями

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — ціле число. Розміщено n2n^{2} цілих чисел 1,2,…,n21,2, \ldots, n^{2} у n2n^{2} клітинках дошки n×nn \times n так: перший рядок містить числа 1,2,…,n1,2, \ldots, n (зліва направо), другий рядок містить числа n+1,n+2,…,2nn+1, n+2, \ldots, 2 n і так далі. На кожному кроці можна вибрати дві клітинки зі спільною стороною та додати до обох чисел у цих двох клітинках одне й те саме ціле число або відняти його від них. Знайдіть усі значення nn, для яких можна отримати конфігурацію, в якій лише нулі, а в цьому випадку знайдіть мінімальну кількість кроків, необхідних для її отримання.
8–10 класиПарність і непарність
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2017-003

Зведення учасників лабіринту в один квадрат

Головна будівля ETH Zürich — це прямокутник, поділений на одиничні квадрати. Кожна сторона квадрата є стіною, причому деякі стіни мають двері. Зовнішні стіни головної будівлі дверей не мають. Декілька учасників SMO заблукали в головній будівлі. Вони можуть переходити з одного квадрата в інший лише через двері. Припускаємо, що між будь-якими двома квадратами головної будівлі існує прохідний шлях. Сіріл хоче зробити так, щоб учасники знову знайшли один одного, привівши всіх на один і той самий квадрат. Для цього він може давати їм по рації такі вказівки: північ, схід, південь або захід. Після кожної вказівки кожен учасник одночасно намагається перейти на один квадрат у цьому напрямку. Якщо у відповідній стіні немає дверей, він залишається на місці. Доведіть, що Сіріл може досягти своєї мети за скінченну кількість вказівок, незалежно від того, на яких квадратах учасники перебувають на початку.
10–11 класиНапівінваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-134

Зв'язні підмножини ребер у прямокутнику

Нехай RR — прямокутник у декартовій площині з вершинами в точках (0,0)(0,0), (2,0)(2,0), (2,1)(2,1) і (0,1)(0,1). RR можна поділити на два одиничні квадрати, як показано; утворена фігура має сім ребер. Скільки підмножин цих семи ребер утворюють зв'язну фігуру?
10–11 класиЗв’язність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-091

Зв’язні дводольні графи на п’яти вершинах

Нехай A,B,C,D,EA, B, C, D, E — п’ять точок на колі; між точками проведено деякі відрізки так, що кожна з (52)=10\binom{5}{2}=10 пар точок сполучена або жодним, або одним відрізком. Визначте кількість наборів відрізків, які можна провести так, щоб: - можна було дістатися з будь-якої з п’яти точок до будь-якої іншої з п’яти точок уздовж проведених відрізків. - можна було поділити п’ять точок на дві непорожні множини SS і TT так, щоб кожен відрізок мав один кінець у множині SS, а другий — у множині TT.
10–11 класиДвочасткові графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-071

Зв’язні графи на колі з десятьма точками

Десять точок рівномірно розміщено на колі. Граф — це множина відрізків (можливо, порожня), проведених між парами точок, так, що будь-які дві точки з’єднано або жодним, або одним відрізком. Два графи вважаються однаковими, якщо один можна отримати з іншого перестановкою точок. Нехай NN позначає кількість графів з властивістю, що для будь-яких двох точок існує шлях від однієї до іншої серед відрізків графа. Оцініть значення NN. Якщо ваша відповідь — натуральне число AA, ваш результат за цю задачу дорівнюватиме більшому з 0 і ⌊20−5∣ln⁡(A/N)∣⌋\lfloor 20-5|\ln (A / N)|\rfloor. Інакше ваш результат дорівнюватиме нулю.
10–11 класиЗв’язність
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-019

Один вид транспорту сполучає всі міста

У країні є nn міст. Будь-які два міста завжди сполучені або автострадою, або залізницею. Доведіть, що один із двох видів транспорту дозволяє дістатися з будь-якого міста до будь-якого іншого.
10–11 класиЗв’язність
Відбіркові тести на IMOTST-2013-033

Граф зі щільними з'єднаннями четвірок

У Дивокраї є принаймні 5 міст. Деякі міста з'єднані безпосередньо дорогами або залізницями. Кожне місто з'єднане принаймні з одним іншим містом, і для будь-яких чотирьох міст існує безпосереднє сполучення принаймні між трьома парами міст серед цих чотирьох. Коли мандрівник входить до мережі громадського транспорту цієї країни, він повинен вкинути одну золоту монету в автомат, який дозволяє йому скористатися безпосереднім сполученням, щоб дістатися до наступного міста. Але якщо мандрівник продовжує рух з деякого міста тим самим видом транспорту, яким він туди прибув, і він заплатив золоту монету, щоб дістатися до цього міста, то переїзд до наступного міста нічого не коштує, а натомість мандрівник отримує назад монету, яку він використав останньою. В інших випадках він повинен платити так само, як на початку подорожі. Доведіть, що можна дістатися з будь-якого міста до будь-якого іншого міста, використавши не більше 2 золотих монет.
10–11 класиШляхи на графах2 розв’язки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-017

Перетини ортогональної замкненої ламаної

Нехай nn — натуральне число. Точки P1,P2,…,P4nP_1, P_2, \dots, P_{4n} розміщено на площині так, що жодні 3 точки серед них не лежать на одній прямій. Крім того, для кожного i=1,2,…,4ni = 1, 2, \dots, 4n, якщо півпряму PiPi−1P_i P_{i-1} з початком у точці PiP_i повернути навколо точки PiP_i на 90∘90^\circ за годинниковою стрілкою, то вона перейде у півпряму PiPi+1P_i P_{i+1} з початком у точці PiP_i. Визначте найбільшу можливу кількість пар (i,j)(i, j), для яких відрізки PiPi+1P_i P_{i+1} і PjPj+1P_j P_{j+1} перетинаються в точці, відмінній від кінців цих відрізків. Тут покладаємо P0=P4n,P4n+1=P1P_0 = P_{4n}, P_{4n+1} = P_1 і вважаємо, що 1≤i<j≤4n1 \le i < j \le 4n.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-006

Зв'язне двокольорове розфарбування дошки 2 на 100

Дано клітинну дошку 2×1002 \times 100. Припустімо, що кожну з 200200 клітинок дошки фарбуємо або в червоний, або в синій колір. Скільки існує способів розфарбувати клітинки, які задовольняють такі умови? Вважатимемо два розфарбування різними, якщо одне з них можна отримати з іншого поворотом або перевертанням. Є принаймні одна клітинка, пофарбована в червоний колір, і принаймні одна клітинка, пофарбована в синій колір. Область, утворена всіма червоними клітинками, є зв'язною, і те саме стосується синіх клітинок. (При цьому вважаємо 22 клітинки зв'язаними, якщо вони мають спільну сторону).
10–11 класиЗв’язність
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2011-006

Розбиття на групи без рукостискань

На вечірці було nn хлопців a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n і nn дівчат b1,b2,…,bnb_1, b_2, \dots, b_n. Жодні два хлопці не потисли один одному руки, і жодні дві дівчини не потисли одна одній руки, а для кожного i∈{1,2,…,n}i \in \{1, 2, \dots, n\} хлопець aia_i не потиснув руку дівчині bib_i. Усіх 2n2n людей хочуть поділити на групи, які задовольняють такі дві умови. 1. У кожній групі кількість хлопців дорівнює кількості дівчат. 2. У кожній групі жодні двоє людей не потисли один одному руки. Нехай mm — кількість пар (ai,bj)(a_i, b_j), у яких aia_i потиснув руку bjb_j. Доведіть, що можна зробити кількість груп не більшою за 22 або за 2mn+1\frac{2m}{n} + 1.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2010-010

Мінімально сильно зв'язний орграф на 2010 вершинах

Припустімо, що є 20102010 аеропортів. Кожен аеропорт має деяку кількість прямих рейсів до деяких інших аеропортів, причому відомо, що виконуються такі умови (1), (2): (1) Для будь-якої пари аеропортів, скажімо AA і BB, можна дістатися з AA до BB, користуючись кількома прямими рейсами з пересадками. (2) Якщо скасувати будь-який один із прямих рейсів, що зараз виконуються, то умова (1) більше не буде виконуватися. Одного дня один із прямих рейсів, що виконуються, скасовують. Скількома способами можна відкрити новий прямий рейс (який може збігатися зі скасованим), щоб забезпечити виконання обох умов (1) і (2) вище? Зауважимо, що навіть коли є прямий рейс з аеропорту XX до аеропорту YY, то не обов'язково є прямий рейс з YY до XX.
10–11 класиОрієнтовані графи

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.