Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

824 задачі
ГеометріяДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2008-013

Дотичні та паралельні прямі у колах, що перетинаються

Два кола k1k_{1} і k2k_{2} перетинаються в точках AA і BB. Нехай rr — пряма через BB, яка перетинає k1k_{1} у точці CC, а k2k_{2} — у точці DD, так, що BB лежить між CC і DD. Нехай ss — пряма, паралельна до прямої ADA D, яка дотикається до кола k1k_{1} у точці EE і має найменшу можливу відстань до прямої ADA D. Пряма AEA E перетинає k2k_{2} у точці FF. Нехай tt — дотична до кола k2k_{2} через FF. Доведіть, що виконується: (a) Пряма tt паралельна до прямої ACA C. (b) Прямі r,sr, s і tt перетинаються в одній точці.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2008-019

Фіксована точка перетину кіл

Нехай ABCABC — трикутник, а DD — точка всередині відрізка BCBC. Нехай XX — інша точка всередині відрізка BCBC, відмінна від DD, а YY — точка перетину прямої AXAX з описаним колом трикутника ABCABC. Нехай PP — друга точка перетину описаних кіл трикутників ABCABC і DXYDXY. Доведіть, що PP не залежить від вибору XX.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-004

Квадрати зі спільною вершиною всередині трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, усі кути якого більші за 45∘45^{\circ} і менші за 90∘90^{\circ}. a. Доведіть, що всередині трикутника ABCABC можна розмістити три квадрати з такими властивостями: - усі три квадрати мають однакову сторону; - усі три квадрати мають спільну вершину KK, внутрішню для трикутника; - будь-які два квадрати не мають спільних точок, крім KK; - кожен із квадратів має дві протилежні вершини на периметрі трикутника ABCABC, а решта цілком лежить усередині трикутника ABCABC. b. Нехай PP — центр квадрата зі стороною ABAB і зовнішнього відносно ABCABC. Нехай rCr_{C} — пряма, симетрична до прямої, що проходить через CC і KK, відносно бісектриси кута AC^BA\widehat{C}B, що виходить із CC. Доведіть, що PP належить прямій rCr_{C}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-012

Коло через вершину і центр описаного кола

Нехай OO — центр описаного кола гострокутного трикутника ABCABC. Коло, що проходить через точки A,OA, O, перетинає прямі ABAB і ACAC у точках P,QP, Q, відмінних від AA, відповідно. Якщо довжини відрізків PQPQ і BCBC рівні, чому дорівнює величина кута, утвореного прямими PQPQ і BCBC і меншого за 90∘90^\circ?
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2008-001

Вписаний шестикутник з рівністю відрізків

Дано вписаний шестикутник ABCDEFABCDEF, нехай прямі BDBD і CFCF перетинаються в точці GG, прямі ACAC і BEBE перетинаються в точці HH, а прямі ADAD і CECE перетинаються в точці II. Припустімо, що пряма BDBD перпендикулярна до прямої CFCF і AI=CIAI = CI. Доведіть, що CH=AH+DECH = AH + DE тоді й лише тоді, коли GH⋅BD=BC⋅DEGH \cdot BD = BC \cdot DE.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2008-003

Відбиття прямих у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, у якого CD<ADCD < AD і CD<BCCD < BC. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці SS. Нехай ee — образ прямої ABAB при відбитті відносно прямої ACAC, а ff — образ прямої ABAB при відбитті відносно прямої BDBD. Пряма CDCD перетинає ee і ff у точках EE і FF відповідно. Доведіть, що трикутник SEFSEF рівнобедрений. Рисунок 1: Конструкція до розв'язання
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2008-002

Вписаний чотирикутник із середин сторін трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний різносторонній трикутник, а MM, NN і PP — середини сторін BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA} і AB‾\overline{AB} відповідно. Нехай серединні перпендикуляри до сторін AB‾\overline{AB} і AC‾\overline{AC} перетинають промінь AMAM у точках DD і EE відповідно, а прямі BDBD і CECE перетинаються в точці FF всередині трикутника ABCABC. Доведіть, що точки AA, NN, FF і PP лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-002

Умова біцентричності педального чотирикутника

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, а PP — точка перетину його діагоналей. Точки RR, SS, TT і UU — основи перпендикулярів, опущених із PP на сторони ABAB, BCBC, CDCD і ADAD відповідно. Доведіть, що чотирикутник RSTURSTU є біцентричним тоді й лише тоді, коли AC⊥BDAC \perp BD. (Зауважимо, що чотирикутник називається описаним, якщо він має вписане коло; чотирикутник називається біцентричним, якщо він одночасно є вписаним і описаним.)
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-017

Чотирикутник з рівними сторонами і прямими кутами

Опуклий чотирикутник ABCDABCD має прямі кути ∠A\angle A і ∠C\angle C, причому AB=BCAB = BC і AD=CDAD = CD. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці MM. Точки PP і QQ лежать на описаному колі трикутника AMBAMB і на відрізку CDCD відповідно, причому точки PP, MM і QQ лежать на одній прямій. Припустимо, що m∠ABC=160∘m \angle ABC = 160^\circ і m∠QMC=40∘m \angle QMC = 40^\circ. Знайдіть MP⋅MQMP \cdot MQ, якщо MC=6MC = 6.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2007-001

Вписаний чотирикутник у трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція, у якої AB∥CDAB \parallel CD та AB>CDAB > CD. Точки KK і LL лежать на сторонах ABAB та CDCD відповідно, причому AKKB=DLLC\dfrac{AK}{KB} = \dfrac{DL}{LC}. Точки PP і QQ лежать на відрізку KLKL так, що ∠APB=∠BCDі∠CQD=∠ABC\angle APB = \angle BCD \quad \text{і} \quad \angle CQD = \angle ABC Доведіть, що точки PP, QQ, BB і CC лежать на одному колі.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2007-009

Точка з рівними різницями кутів

Нехай точка PP лежить усередині трикутника ABCA B C і задовольняє умову ∡BPC−∡BAC=∡CPA−∡CBA=∡APB−∡ACB.\varangle B P C-\varangle B A C=\varangle C P A-\varangle C B A=\varangle A P B-\varangle A C B . Доведіть, що тоді виконується: PA‾⋅BC‾=PB‾⋅AC‾=PC‾⋅AB‾\overline{P A} \cdot \overline{B C}=\overline{P B} \cdot \overline{A C}=\overline{P C} \cdot \overline{A B} Спочатку зауважимо, що ∡BPC=60∘+α,∡CPA=60∘+β,∡APB=60∘+γ\varangle B P C=60^{\circ}+\alpha, \varangle C P A=60^{\circ}+\beta, \varangle A P B=60^{\circ}+\gamma. З міркувань симетрії достатньо показати одну з двох стверджуваних рівностей. (Вказівка: для кута ∡XYZ\varangle X Y Z, де 0∘<∡XYZ<180∘0^{\circ}<\varangle X Y Z<180^{\circ}, у математично додатному напрямі покладемо ∡ZYX:=180∘−∡XYZ\varangle Z Y X:= 180^{\circ}-\varangle X Y Z. За цією домовленістю, наприклад, для чотирьох попарно різних точок W,X,Y,ZW, X, Y, Z на колі завжди ∡XYZ=∡XWZ\varangle X Y Z=\varangle X W Z).
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2007-021

Дотик зовнівписаного кола й ортогональні проєкції

У трикутнику ABCA B C нехай JJ — центр зовнівписаного кола, яке дотикається до сторони BCB C у точці A1A_{1} та до продовжень сторін ACA C і ABA B у точках B1B_{1} і C1C_{1} відповідно. Пряма A1B1A_{1} B_{1} перетинає пряму ABA B під прямим кутом у точці DD. Нехай EE — проєкція точки C1C_{1} на пряму DJD J. Визначте величини кутів ∠BEA1\angle B E A_{1} і ∠AEB1\angle A E B_{1}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2007-003

Рівнобедрений трикутник з основ висот

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а точки DD, EE і FF — основи висот, проведених з вершин AA, BB і CC відповідно. Нехай SS — точка перетину прямої EFEF з перпендикуляром до сторони ACAC, проведеним через точку DD. Доведіть, що трикутник DESDES рівнобедрений.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2007-005

Хорди кола з рівними відстанями

На колі kk лежать п'ять різних точок A,M,B,CA, M, B, C і DD у такому порядку та виконується MA=MBM A = M B. Прямі ACA C і MDM D перетинаються в точці PP, а прямі BDB D і MCM C перетинаються в точці QQ. Пряма PQP Q перетинає kk у точках XX і YY. Доведіть, що MX=MYM X = M Y.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-031

Радіус вписаного кола через бісектриси кутів

Нехай ABCABC — трикутник із вписаним колом ω\omega, причому ω\omega дотикається до сторін BC‾\overline{BC} і CA‾\overline{CA} у точках DD і EE відповідно. Бісектриси кутів ∠A\angle A і ∠B\angle B перетинають пряму DEDE у точках FF і GG відповідно, причому BF=1BF=1 і FG=GA=6FG=GA=6. Обчисліть радіус кола ω\omega.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2006-002

Трикутник з рівними кутами та проєкцією на медіану

У трикутнику ABCA B C нехай DD — середина сторони BCB C, а EE — проєкція точки CC на пряму ADA D. Припустімо, що виконується ∠ACE=∠ABC\angle A C E=\angle A B C. Доведіть, що трикутник ABCA B C рівнобедрений або прямокутний.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2006-012

Спільна точка висот у конфігурації двох кіл

Кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} перетинаються в точках PP і QQ. Нехай AA — точка на колі Γ1\Gamma_{1}, відмінна від PP і QQ. Прямі APA P і AQA Q перетинають Γ2\Gamma_{2} ще раз у точках BB і CC відповідно. Доведіть, що висота з AA у трикутнику ABCA B C проходить через точку, незалежну від вибору AA.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2006-017

Паралельна пряма з перетинів кіл у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник, а DD — точка всередині нього. Нехай EE — відмінна від DD точка на прямій ADAD. Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — описані кола трикутників BDEBDE та CDECDE відповідно. Кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} перетинають сторону BCBC у внутрішніх точках FF та GG відповідно. Точка перетину DGDG з ABAB — XX, а точка перетину DFDF з ACAC — YY. Доведіть, що відрізок XYXY паралельний стороні BCBC.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові тести на IMOTST-2006-019

Перпендикулярність із центра описаного кола у побудованому трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник. Трикутники PABPAB і QACQAC побудовано зовні трикутника ABCABC так, що AP=ABAP = AB і AQ=ACAQ = AC та ∠BAP=∠CAQ\angle BAP = \angle CAQ. Відрізки BQBQ і CPCP перетинаються в точці RR. Нехай OO — центр описаного кола трикутника BCRBCR. Доведіть, що AO⊥PQAO \perp PQ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2006-001

Хорда через точки перетину і середина дуги

П’ять різних точок AA, MM, BB, CC і DD лежать на колі OO у такому порядку, причому MA=MBMA = MB. Нехай прямі ACAC і MDMD перетинаються в точці PP, а прямі BDBD і MCMC — у точці QQ. Нехай пряма PQPQ перетинає коло OO у точках XX та YY. Доведіть, що MX=MYMX = MY.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-097

Дотичні кола у півколі

Нехай ABAB — діаметр півкола Γ\Gamma. Два кола, ω1\omega_1 і ω2\omega_2, що дотикаються одне до одного зовні та дотикаються до півкола Γ\Gamma зсередини, дотикаються до прямої ABAB у точках PP і QQ відповідно, а до півколової дуги ABAB — у точках CC і DD відповідно, причому AP<AQAP < AQ. Припустімо, що точка FF лежить на півколі Γ\Gamma так, що ∠FQB=∠CQA\angle FQB = \angle CQA і ∠ABF=80∘\angle ABF = 80^\circ. Знайдіть ∠PDQ\angle PDQ у градусах.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2005-017

Симетричний образ точки кола відносно діаметра

Нехай дано коло KK і пряму gg, які не мають спільних точок. Нехай далі AB‾\overline{AB} — діаметр кола KK, перпендикулярний до прямої gg, причому BB лежить ближче до gg, ніж AA. Нехай далі задано довільну точку CC, відмінну від AA і BB, на колі KK. Пряма ACAC перетинає gg в точці DD; пряма DEDE дотикається до кола KK в точці EE, причому BB і EE лежать з одного боку від прямої ACAC. Нарешті BEBE перетинає пряму gg у точці FF, а AFAF перетинає коло KK, окрім AA, у точці GG. Доведіть, що точка, симетрична GG відносно осі ABAB, лежить на прямій CFCF.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2005-012

Сума кутів у побудові з правильним многокутником

Нехай A1A2…AnA_{1} A_{2} \ldots A_{n} — правильний nn-кутник. Точки B1,…,Bn−1B_{1}, \ldots, B_{n-1} визначено так: - Для i=1i=1 або i=n−1i=n-1 точка BiB_{i} — середина сторони AiAi+1A_{i} A_{i+1}; - Для i≠1,i≠n−1i \neq 1, i \neq n-1 нехай SS — точка перетину відрізків A1Ai+1A_{1} A_{i+1} і AnAiA_{n} A_{i}. Точка BiB_{i} — це тоді точка перетину бісектриси кута ∡AiSAi+1\Varangle A_{i} S A_{i+1} зі стороною AiAi+1A_{i} A_{i+1}. Доведіть, що виконується ∡A1B1An+∡A1B2An+…+∡A1Bn−1An=180∘\Varangle A_{1} B_{1} A_{n}+\Varangle A_{1} B_{2} A_{n}+\ldots+\Varangle A_{1} B_{n-1} A_{n}=180^{\circ}
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2005-013

Вписаний чотирикутник із проєкцій на сторони

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH, а MM і NN — дві точки на прямій BCBC, такі, що MN→=BC→\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}. Нехай PP і QQ — проєкції точок MM і NN відповідно на прямі ACAC і ABAB. Доведіть, що APHQAPHQ — вписаний чотирикутник.
10–11 класиПаралельний перенос
Італійська математична олімпіадаITAMO-2005-001

Рівні відрізки у прямокутному трикутнику

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник із прямим кутом у AA, причому AB>ACAB > AC; нехай AHAH — висота, проведена до гіпотенузи. На прямій BCBC візьмемо точку DD таку, що HH — середина відрізка BDBD; нехай далі EE — основа перпендикуляра, проведеного з CC до прямої ADAD. Доведіть, що EH=AHEH = AH.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.