Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

743 задачі
АлгебраФункціональні рівняння та нерівності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1993-005

Функціональне рівняння на невід'ємних дійсних

Знайдіть дійснозначну функцію f(x)f(x) на невід'ємних дійсних числах таку, що f(0)=0f(0) = 0, і f(2x+1)=3f(x)+5f(2x + 1) = 3f(x) + 5 для всіх xx.
Конструктивна побудова функції
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1988-003

Адитивна функція, що дорівнює нулю на класі остач

Нехай NN — множина невід'ємних цілих чисел і N′=N∖{0}N' = N \setminus \{0\}. Знайдіть усі функції f:N′→Nf: N' \to N такі, що f(xy)=f(x)+f(y)f(xy) = f(x) + f(y), f(30)=0f(30) = 0 і f(x)=0f(x) = 0 для всіх x≡7(mod10)x \equiv 7 \pmod{10}.
Функціональне рівняння Коші та сп…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1979-001

Монотонність різниці аргумента і синуса

Доведіть, що якщо a<ba < b належать проміжку [0,π/2][0, \pi/2], то a−sin⁡a<b−sin⁡ba - \sin a < b - \sin b. Чи правильне це для a<ba < b з проміжку [π,3π/2][\pi, 3\pi/2]?
Тригонометричні нерівності
Математичний гурток БеркліBMC-0000-348

Функціональне рівняння з сумою в знаменнику

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, для яких f(x)+f(y)≠0f(x)+f(y) \neq 0 і f(x)−f(x−y)f(x)+f(x+y)+f(x)−f(x+y)f(x)+f(x−y)=0\frac{f(x)-f(x-y)}{f(x)+f(x+y)}+\frac{f(x)-f(x+y)}{f(x)+f(x-y)}=0 для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
Метод допоміжних функцій: g(x) =…
Математичний гурток БеркліBMC-0000-137

Многочлен із функціональним рівнянням

Нехай P(x)P(x) — ненульовий многочлен із дійсними коефіцієнтами такий, що P(x)=P(0)+P(1)x+P(2)x2P(x) = P(0) + P(1) x + P(2) x^{2} виконується для всіх xx. Які корені многочлена P(x)P(x)?
Базові підстановки (однакові аргу…
Математичний гурток БеркліBMC-0000-454

Функціональне рівняння з квадратичним доданком

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, які задовольняють f(x+y)=f(x−y)+4xyf(x+y)=f(x-y)+4 x y для всіх дійсних чисел xx і yy.
Базові підстановки (однакові аргу…
Математичний гурток БеркліBMC-0000-379

Функціональне рівняння для відношення многочлена

Знайдіть усі многочлени ff, що задовольняють рівняння f(9x)f(3x)=243x−729x−81\frac{f(9 x)}{f(3 x)} = \frac{243 x - 729}{x - 81} для нескінченно багатьох значень xx.
Корені многочлена, розклад на мно…
Математичний гурток БеркліBMC-0000-228

Бінарна операція з телескопічною властивістю

Нехай ⊖\ominus — операція на множині дійсних чисел така, що (x⊖y)+(y⊖z)+(z⊖x)=0(x \ominus y)+(y \ominus z)+(z \ominus x)=0 для всіх дійсних xx, yy і zz. Доведіть, що існує функція f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} така, що x⊖y=f(x)−f(y)x \ominus y=f(x)-f(y) для всіх дійсних xx і yy.
Базові підстановки (однакові аргу…
Математичний гурток БеркліBMC-0000-232

Нерухомі точки п'ятикратної ітерації кускової функції

Визначимо функцію ff на дійсних числах формулою f(x)={2x якщо x<1/22x−1 якщо x≥1/2f(x)= \begin{cases}2 x & \text{ якщо } x<1 / 2 \\ 2 x-1 & \text{ якщо } x \geq 1 / 2\end{cases} Знайдіть усі значення xx, для яких виконується f(f(f(f(f(x)))))=xf(f(f(f(f(x)))))=x.
Циклічні підстановки (метод орбіт)
Математичний гурток БеркліBMC-0000-459

Рівносильність функціональних рівнянь типу Коші

Доведіть, що функціональні рівняння f(x+y)=f(x)+f(y)іf(x+y+xy)=f(x)+f(y)+f(xy)(x,y∈R)\begin{aligned} f(x+y) &= f(x) + f(y) \\ \text{і}\quad f(x+y+xy) &= f(x) + f(y) + f(xy) \quad (x, y \in \mathbb{R}) \end{aligned} рівносильні.
Функціональне рівняння Коші та сп…
Математичний гурток БеркліBMC-0000-270

Функціональне рівняння f(f(x)+y+1)=x+f(y)+1

Знайдіть усі функції f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} такі, що f(f(x)+y+1)=x+f(y)+1f(f(x)+y+1)=x+f(y)+1 для будь-яких цілих чисел xx і yy.
Базові підстановки (однакові аргу…
Математичний гурток БеркліBMC-0000-274

Функція двох змінних, поліноміальна за кожною окремо

Визначте з доведенням, чи існує функція f(x,y)f(x, y) від двох натуральних чисел, яка набуває натуральних значень, така, що - Для кожного фіксованого xx, f(x,y)f(x, y) є многочленом від yy; - Для кожного фіксованого yy, f(x,y)f(x, y) є многочленом від xx; - Проте f(x,y)f(x, y) не дорівнює жодному многочлену від xx і yy.
Многочлени багатьох змінних
Математичний гурток БеркліBMC-0000-370

Розфарбування раціональних чисел з інволютивними умовами

З'ясуйте, чи можна кожне раціональне число пофарбувати або в червоний, або в синій колір так, щоб одночасно виконувалися такі три умови: (i) xx і −x-x мають протилежні кольори для всіх раціональних x≠0x \neq 0; (ii) xx і 1−x1-x мають протилежні кольори для всіх раціональних x≠1/2x \neq 1 / 2; (iii) xx і 1/x1 / x мають протилежні кольори для всіх раціональних x≠0,±1x \neq 0, \pm 1.
Конструкція за індукцією
Математичний гурток БеркліBMC-0000-294

Функціональне рівняння з p+2q і p-2q

Знайдіть усі функції f:Q→Rf: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} з раціональних у дійсні числа такі, що для всіх раціональних p,qp, q, f(p+2q)−f(p−2q)=2(f(p+q)−f(p−q)).f(p+2q) - f(p-2q) = 2(f(p+q) - f(p-q)).
Базові підстановки (однакові аргу…
Математичний гурток БеркліBMC-0000-300

Функціональне рівняння з мультиплікативним зсувом

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} такі, що f(xy+z)=f(x)f(y)+f(z)f(x y+z)=f(x) f(y)+f(z) для всіх дійсних чисел xx, yy і zz.
Функціональне рівняння Коші та сп…
Інші змаганняMISC-0000-232

Бінарна операція з адитивною властивістю

Фабрика випустила оригінальний калькулятор, який виконує дві операції: - звичайне додавання ++ - операцію ⊛\circledast Відомо, що для кожного натурального числа aa виконується: (i) a⊛a=aі (ii) a⊛0=2a\text{(i)}\ a \circledast a = a \quad \text{і (ii)}\ a \circledast 0 = 2a а для будь-яких чотирьох натуральних a,b,ca, b, c і dd (iii) (a⊛b)+(c⊛d)=(a+c)⊛(b+d).\text{(iii)}\ (a \circledast b) + (c \circledast d) = (a + c) \circledast (b + d)\text{.} Які результати операцій (2+3)⊛(0+3)(2+3) \circledast (0+3) і 1024⊛481024 \circledast 48?
Функціональне рівняння Коші та сп…
Інші змаганняMISC-0000-018

Кількість дійсних коренів кубічного многочлена

Знайдіть кількість дійсних нулів многочлена x3−x2−x+2x^{3}-x^{2}-x+2.
Корені многочлена, розклад на мно…
Інші змаганняMISC-0000-035

Перетин арктангенса та квадратичної функції

Скільки коренів має рівняння arctg⁡x=x2−1.6\operatorname{arctg} x = x^{2} - 1.6, де функція арктангенса визначена в діапазоні −π2<arctg⁡x<π2-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg} x < \frac{\pi}{2}?
Властивості монотонності або обме…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.