Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 010 задач
КомбінаторикаІгри і стратегії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-059

Випадкове блукання з геометричними стрибками

Жабеня Келвін живе у ставку з нескінченною кількістю листків латаття, пронумерованих 0,1,2,30, 1, 2, 3, і так далі. Келвін починає на лататті 00 і стрибає з латаття на латаття в такий спосіб: перебуваючи на лататті ii, він стрибає на латаття (i+k)(i+k) з імовірністю 12k\frac{1}{2^{k}} для k>0k > 0. Яка ймовірність того, що Келвін у якийсь момент своєї подорожі потрапить на латаття 20192019?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-084

Випадкові точки в кубі

Три точки вибрано всередині одиничного куба рівномірно й незалежно навмання. Яка ймовірність того, що існує куб зі стороною 12\frac{1}{2} і ребрами, паралельними ребрам одиничного куба, який містить усі три точки?
10–11 класиПравила суму та добутку
Відбіркові тести на IMOTST-2019-034

Розбиття монет з обмеженнями на масу

Пірат хоче поділити скарб, що складається з 1000 золотих монет, кожна з яких важить принаймні 1 г, а разом — рівно 2 кг, на дві частини, маси яких відрізняються від 1 кг не більше ніж на 1 г. Доведіть, що це можливо.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2019-031

Нескінченні ходи машинок на сітці

На нескінченній квадратній сітці розміщено скінченну кількість машинок, кожна з яких займає одну клітинку та спрямована в одну з чотирьох сторін світу. Машинки ніколи не можуть займати одну клітинку. Відомо, що клітинка безпосередньо перед кожною машинкою порожня, і, крім того, жодні дві машинки не спрямовані одна на одну (жодна машинка, спрямована праворуч, не стоїть ліворуч від машинки, спрямованої ліворуч, в одному рядку тощо). За хід обирають одну машинку і пересувають її на одну клітинку вперед на вільну клітинку. Доведіть, що існує нескінченна послідовність допустимих ходів, у якій кожна машинка ходить нескінченно багато разів.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-039

Гра про зняття намистин із чергуванням кольорів

Нехай nn — натуральне число. Тейсті та Стейсі отримали кругле намисто з 3n3n сапфірових і 3n3n бірюзових намистин, причому жодні три послідовні намистини не мають одного кольору. Вони грають у кооперативну гру, у якій ходять по черзі, знімаючи по три послідовні намистини, з дотриманням таких умов: Тейсті на кожному своєму ході мусить зняти три послідовні намистини, які є бірюзовою, сапфіровою та бірюзовою саме в такому порядку. Стейсі на кожному своєму ході мусить зняти три послідовні намистини, які є сапфіровою, бірюзовою та сапфіровою саме в такому порядку. Вони перемагають, якщо всі намистини буде знято за 2n2n ходів. Доведіть, що якщо вони можуть перемогти, коли першим ходить Тейсті, то вони можуть перемогти і тоді, коли першою ходить Стейсі.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбіркові тести на IMOTST-2019-020

Виграшна стратегія у грі з двома купками

Нехай (a,b)(a, b) — пара натуральних чисел. Геннінг і Пауль грають у гру: спочатку на столі лежать дві купки з aa та bb камінців відповідно. Пара (a,b)(a, b) називається початковою конфігурацією гри. Гравці діють так: - Гравці ходять по черзі, причому починає Геннінг. - Кожного ходу гравець або забирає додатну кількість камінців з однієї з двох купок, або однакову додатну кількість камінців з обох купок. - Гравець, який забирає останній камінець зі столу, виграє гру. Нехай AA — множина всіх натуральних чисел aa, для яких існує натуральне число b<ab<a таке, що Пауль має виграшну стратегію для початкової конфігурації (a,b)(a, b). Впорядкуємо елементи множини AA за зростанням як a1<a2<…a_{1}<a_{2}<\ldots a. Доведіть, що множина AA нескінченна. b. Доведіть, що послідовність (mk)k≥1\left(m_{k}\right)_{k \geq 1}, визначена як mk:=ak+1−akm_{k}:=a_{k+1}-a_{k} для всіх k≥1k \geq 1, не є зрештою періодичною. Зауваження: Послідовність (xk)k≥1\left(x_{k}\right)_{k \geq 1} є зрештою періодичною, якщо існує ціле число k0≥0k_{0} \geq 0 таке, що послідовність (xk+k0)k≥1\left(x_{k+k_{0}}\right)_{k \geq 1} є періодичною.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-002

Вільна від сум підмножина послідовних чисел

Нехай nn — ціле число, більше ніж 22. Потрібно пофарбувати в червоний колір рівно n+1n+1 з чисел 1,2,⋯ ,2n−1,2n1, 2, \cdots, 2n-1, 2n так, щоб не існувало трьох різних чисел x,y,zx, y, z, пофарбованих у червоний колір, які задовольняють рівність x+y=zx+y=z. Доведіть, що існує єдиний спосіб вибрати числа для фарбування в червоний колір, який задовольняє дану умову.
10–11 класиМетод математичної індукції
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-005

Шоколадна гра з парністю першого смаку

Альберто і Барбара сидять поруч перед столом, на якому в ряд зліва направо викладено 15 шоколадок. Деякі з шоколадок молочні, інші — з чорного шоколаду. По черзі, починаючи з Альберто, вони грають у таку гру: своїм ходом кожен з них мусить з'їсти додатну кількість послідовних шоколадок, починаючи завжди з крайньої лівої серед тих, що залишилися, і так, щоб кількість з'їдених шоколадок того самого виду, що й перша, була непарною (наприклад, якщо в певний хід послідовність шоколадок, що залишилися, є LLFLF, де L означає молочну, а FF — чорну, то гравець, чий хід, може з'їсти першу шоколадку зліва, перші 4 зліва або всі 5 шоколадок). Виграє той, хто з'їсть останню шоколадку. Серед 2152^{15} можливих початкових послідовностей смаків шоколадок скільки є таких, для яких Барбара має виграшну стратегію?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-007

Гра з п'ятьма стосами книжок і виграшна стратегія

На малюнку нижче зображено стелаж із двома полицями з п'ятьма стосами книжок, причому три з них по дві книжки, а два — лише по одній книжці. Аліса і Луїс придумали гру, в якій кожен з них по черзі забирає одну або дві книжки з одного зі стосів книжок. Перемагає той, хто забере останню книжку. Аліса починає гру. Хто з них має виграшну стратегію за будь-яких ходів суперника?
8–9 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-058

Багаторазова заміна двох чисел на дошці

На дошці написано nn чисел. Над цими числами виконують таку операцію: два числа aa і bb витирають, а замість них записують число a+b4\frac{a+b}{4}. Операцію повторюють n−1n-1 разів. У результаті на дошці залишається одне число. Доведіть, що якщо всі початкові числа дорівнюють 1, то отримане число не менше за 1/n1 / n.
10–11 класиНапівінваріанти
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-011

Перерозподіл цукерок у колі дітей

Група дітей сидить у колі. На початку кожна дитина має парну кількість цукерок. На кожному кроці кожна дитина повинна віддати половину своїх цукерок дитині праворуч від себе. Якщо після кроку в дитини виявиться непарна кількість цукерок, вихователь дарує їй ще одну цукерку. Доведіть, що через скінченну кількість кроків у всіх дітей буде порівну цукерок.
10–11 класиНапівінваріанти2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-001

Середини фішок і степені двійки

Розглянемо розташування фішок на площині, не обов'язково в різних точках. Дозволено виконувати послідовність ходів такого виду: вибрати пару фішок у точках AA і BB та перемістити обидві до середини відрізка з кінцями в точках AA і BB. Кажемо, що розташування з nn фішок є стягуваним, якщо після скінченної кількості ходів можна зібрати всі nn фішок в одній точці. Доведіть, що кожне розташування з nn фішок є стягуваним тоді й лише тоді, коли nn є степенем двійки.
10–11 класиІнші інваріанти
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-018

Гра в доміно на дошці 2 на 2018

Адальберт і Бабетта грають у доміно на прямокутній сітці висотою 2 клітинки та шириною 2018 клітинок. Адальберт починає, кладучи доміно розміру 1×21 \times 2 горизонтально так, щоб воно покривало рівно дві клітинки сітки. Потім Бабетта так само кладе доміно 1×21 \times 2 вертикально, і так далі. Той, хто першим не зможе зробити хід, не перекривши вже покладене доміно, програв. Доведіть, що Адальберт має виграшну стратегію.
9–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-035

Пари з однаковою сумою та повторення значень

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число. Дано 2n2 n кульок. На кожній з цих кульок написано число. Припускається, що щоразу, коли кульки групують у nn пар, дві з цих пар мають однакову суму. a. Доведіть, що на чотирьох із цих кульок написано однакове число. b. Доведіть, що кількість різних значень, написаних на кульках, є ⩽n−1\leqslant n-1.
9–11 класиЧислові нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-021

Неминучі множини перестановок

Кажуть, що дві перестановки a1,…,a4035a_{1}, \ldots, a_{4035} і b1,…,b4035b_{1}, \ldots, b_{4035} чисел 1,…,40351, \ldots, 4035 перетинаються, якщо існує ціле число k⩽4035k \leqslant 4035 таке, що ak=bka_{k}=b_{k}. Кажуть, що множина EE перестановок є неминучою, якщо кожна перестановка чисел 1,…,40351, \ldots, 4035 перетинає перестановку, що належить EE. a) Доведіть, що існує неминуча множина, яка містить 2018 перестановок. b) Чи існує неминуча множина, яка містить 2017 перестановок?
9–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-024

Подвоєння рядків і віднімання у стовпцях до нулів

Розглянемо таблицю розміру 2018×20182018 \times 2018, у кожній клітинці якої міститься відмінне від нуля натуральне число. Ноемі змінює ці числа на свій розсуд, застосовуючи такі операції: ▹\triangleright вибрати рядок, а потім помножити на 2 всі числа, що містяться в цьому рядку; ▹\triangleright вибрати стовпець, а потім відняти 1 від усіх чисел, що містяться в цьому стовпці. Доведіть, що, застосовуючи ці операції, Ноемі може домогтися того, щоб отримати таблицю, у кожній клітинці якої міститься число 0.
9–11 класиКонструкція за індукцією
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-009

Послідовне розведення соку в пляшці

Джон має літрову пляшку чистого апельсинового соку. Він виливає половину вмісту пляшки в чан, доливає пляшку водою до повної та ретельно перемішує. Потім він повторює цей процес ще 9 разів. Після цього він виливає решту вмісту пляшки в чан. Яку частку рідини в чані становить тепер вода?
10–11 класиІнші інваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-133

Оптимальне переслідування на решітці

Сара стоїть у точці (0,0)(0,0), а Рейчел — у точці (6,8)(6,8) на евклідовій площині. Сара може рухатися лише на 1 одиницю в додатному напрямку xx чи yy, а Рейчел може рухатися лише на 1 одиницю у від'ємному напрямку xx чи yy. Щосекунди Сара й Рейчел бачать одна одну, незалежно й одночасно обирають напрямок руху та переходять у нове положення. Сара ловить Рейчел, якщо Сара й Рейчел коли-небудь опиняться в одній точці. Рейчел перемагає, якщо їй вдасться дістатися до (0,0)(0,0), не будучи спійманою; інакше перемагає Сара. Якщо обидві грають оптимально, максимізуючи власну ймовірність перемоги, то яка ймовірність того, що переможе Рейчел?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-033

Математичне сподівання квадрата модуля суми випадкових коренів

Майкл вибирає випадкову підмножину комплексних чисел {1,ω,ω2,…,ω2017}\{1, \omega, \omega^{2}, \ldots, \omega^{2017}\}, де ω\omega — первісний корінь 2018-го2018^{\text{-го}} степеня з одиниці, причому всі підмножини мають однакову ймовірність бути обраними. Якщо сума елементів його підмножини дорівнює SS, чому дорівнює математичне сподівання ∣S∣2|S|^{2}? (Сума елементів порожньої множини дорівнює 0.)
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-045

Оптимальний вибір за повної інформації

Ви — перший щасливий гравець у дещо зміненому випуску шоу Deal or No Deal! Спочатку є шістнадцять кейсів під номерами 11 – 1616. Суми грошей у кейсах — це степені 22 від 21=22^{1} = 2 до 216=655362^{16} = 65536 у випадковому порядку. Гра триває вісім ходів. У кожному ході ви обираєте кейс і забираєте його собі, не відкриваючи його. Після цього один випадковий кейс із решти відкривають, показують вам, а потім вилучають з гри. Наприкінці гри всі вісім ваших кейсів відкривають, і ви виграєте всі гроші, що лежать у них. Проте ведучі не здогадуються, що у вас рентгенівський зір і ви бачите суму грошей у кожному кейсі! Яке математичне сподівання суми, яку ви виграєте, якщо гратимете оптимально?
10–11 класиЖадібний алгоритм
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-049

Мінімальний кут при додаванні векторів

Кевін починає з векторів (1,0)(1,0) і (0,1)(0,1) і на кожному кроці замінює один із векторів на їхню суму. Знайдіть котангенс найменшого можливого кута між векторами після 8 кроків.
10–11 класиІнші інваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-058

Оптимальна перша здогадка при мінімальній найгіршій виплаті

Арнольд і Кевін грають у гру, в якій Кевін загадує ціле число 1≤m≤10011 \leq m \leq 1001, а Арнольд намагається його відгадати. Кожного ходу Арнольд спочатку платить Кевіну 1 долар, щоб назвати число kk на свій вибір. Якщо m≥km \geq k, гра закінчується, і він доплачує Кевіну ще m−km-k доларів (можливо, нуль). Інакше Арнольд доплачує Кевіну ще 10 доларів і продовжує відгадувати. Яке число має назвати Арнольд першим, щоб мінімізувати свою виплату в найгіршому випадку?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-072

Випадкова гра в «Чотири в ряд»

У грі Connect Four є сім вертикальних стовпців, у кожному з яких є місце для шести фішок. Вони утворюють сітку 7×67 \times 6 клітинок. Двоє гравців — білі та чорні — ходять по черзі. Гравець робить хід, вибираючи стовпець, який ще не заповнений, і вкидає фішку свого кольору в найнижчу вільну клітинку цього стовпця. Гра закінчується, коли чотири фішки одного кольору опиняються поспіль в один ряд — горизонтально, вертикально або по діагоналі. Гравець, який зібрав чотири свої фішки в ряд, перемагає. Припустімо, що обидва гравці грають у цю гру навмання. Кожен гравець у свій хід вибирає випадковий незаповнений стовпець і вкидає фішку свого кольору в цей стовпець. Це триває, доки один із гравців не переможе або доки всі стовпці не будуть заповнені. Нехай PP — ймовірність того, що всі стовпці будуть заповнені, і при цьому жоден із гравців не збере чотири фішки свого кольору в ряд. Оцініть PP. Оцінка E>0E>0 приносить ⌊20min⁡(P/E,E/P)⌋\lfloor 20 \min (P / E, E / P)\rfloor балів.
10–11 класиКласичні ігри
Відбіркові тести на IMOTST-2018-024

Мінімальна кількість обмінів для збалансованих послідовностей

Нехай nn — натуральне число. Послідовність, що складається з 3n3 n літер, назвемо румунською, якщо літери I,MI, M і OO трапляються кожна рівно nn разів. Обмін — це переставлення двох сусідніх літер. Доведіть, що для кожної румунської послідовності XX існує румунська послідовність YY така, що для отримання послідовності YY з послідовності XX потрібно щонайменше 3n22\frac{3 n^{2}}{2} обмінів.
10–11 класиПерестановки2 розв’язки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2018-002

Гра з упорядкованим розміщенням плиток

Аліса і Барбара вигадали таку гру. Вони мають дошку 1×20181 \times 2018, з клітинками, пронумерованими від 11 до 20182018 зліва направо, і 20182018 плиток, пронумерованих також від 11 до 20182018. Партія починається з порожньої дошки, і дві гравчині ходять по черзі; гравчиня, чия черга ходити, може зробити одне з двох: - вибрати плитку, ще не поставлену на дошку, і покласти її на вільну клітинку, за умови, що числа на поставлених плитках, якщо читати їх зліва направо, йдуть у порядку зростання; - вибрати плитку, вже поставлену на дошку, і пересунути її на сусідню клітинку так, щоб плитка наблизилася до клітинки з тим самим номером, що й плитка, за умови, що клітинка прибуття вільна (приклад: якщо плитка з номером 77 знаходиться на клітинці номер 1212, її можна пересунути вліво, але не вправо; якщо ж плитка вже знаходиться в клітинці зі своїм же номером, її більше не можна буде пересунути). (a) Доведіть, що в кожному ході, якщо не всі плитки на дошці, існує дозволений хід. (b) Якщо починає Аліса і виграє та, хто поставить останню плитку, хто має виграшну стратегію?
9–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.