Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 352 задачі
АлгебраПослідовності і суми
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-028

Зменшення швидкості щохвилини

Кендіс виїжджає з роботи додому о 17:00. Починаючи рівно о 17:01 і кожної наступної хвилини, Кендіс зустрічає новий знак обмеження швидкості й знижує швидкість на 1 милю за годину. Швидкість Кендіс у милях за годину завжди є натуральним числом. Загалом Кендіс проїжджає 2/32/3 милі. Вона їде цілу кількість хвилин і прибуває додому, рухаючись повільніше, ніж на початку. О котрій годині вона прибуває додому?
10–11 класиАрифметична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-051

Очікувана відстань на килимі Серпінського

Нехай S0S_{0} — одиничний квадрат у декартовій площині з горизонтальними й вертикальними сторонами. Для будь-якого n>0n>0 фігура SnS_{n} утворюється приєднанням 9 копій Sn−1S_{n-1} у сітці 3×33 \times 3 з подальшим вилученням центральної копії. Наприклад, S3S_{3} показано нижче: Нехай ana_{n} — математичне сподівання ∣x−x′∣+∣y−y′∣|x-x'|+|y-y'|, де (x,y)(x, y) і (x′,y′)(x', y') — дві точки, вибрані випадково всередині SnS_{n}. Існують взаємно прості натуральні числа aa і bb такі, що lim⁡n→∞an3n=ab.\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{3^{n}}=\frac{a}{b} . Обчисліть 100a+b100 a+b.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-059

Нескінченна сума з кубами синусів

Обчисліть найближче ціле число до 100∑n=1∞3nsin⁡3(π3n)100 \sum_{n=1}^{\infty} 3^{n} \sin^{3}\left(\frac{\pi}{3^{n}}\right)
10–11 класиПеретворення тригонометричних вир…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-066

Випадкове блукання з обмеженими поворотами

Мураха стартує з точки (0,0)(0,0) на декартовій площині. Першої хвилини мураха дивиться в напрямку (1,0)(1,0) і проходить одну одиницю. Кожної наступної хвилини мураха вибирає кут θ\theta рівномірно випадково на проміжку [−90∘,90∘]\left[-90^\circ, 90^\circ\right], а потім повертається на кут θ\theta за годинниковою стрілкою (від'ємні значення θ\theta відповідають поворотам проти годинникової стрілки). Потім мураха проходить одну одиницю. Після nn хвилин відстань мурахи від (0,0)(0,0) дорівнює dnd_n. Нехай математичне сподівання dn2d_n^2 дорівнює ana_n. Обчисліть найближче ціле число до 10lim⁡n→∞ann.10 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{n} .
10–11 класиГеометрична прогресія
Відбіркові тести на IMOTST-2022-029

Підмножина цілих чисел з нерівністю суми

Для фіксованого натурального числа mm нехай AA — підмножина множини {0,1,2,…,5m}\{0,1,2, \ldots, 5^{m}\}, яка складається з 4m+14m+1 елементів. Доведіть, що у множині AA завжди знайдуться три числа a,b,ca, b, c, для яких a<b<ca < b < c і c+2a>3bc + 2a > 3b.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2022-003

Найбільша частка торта при послідовному діленні

У математичному змаганні беруть участь n=10000n=10000 учасників. На заключному святі, по черзі, перший бере 1/n1/n торта, другий бере 2/n2/n торта, що залишився, третій бере 3/n3/n торта, що залишається після того, як перший і другий вже взяли собі порції, і так далі аж до останнього, який забирає весь торт, що залишився. Визначте, який учасник бере найбільший шматок торта.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2022-018

Подільність у рекурентній послідовності

Покладемо a1=1a_{1}=1 і, для кожного n≥2n \geq 2, an=n(a1+a2+⋯+an−1).a_{n}=n\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}\right) . Яке найменше значення nn, для якого ana_{n} ділиться на 2022? (A) 47 (B) 289 (C) 337 (D) 2022 (E) 2023
10–11 класиСуми послідовностей
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2022-009

Парність суми цифр і подільність суми степенів

Для кожного натурального числа nn визначимо f(n)f(n) так: f(n)={n100(якщо сума цифр n парна),−n100(якщо сума цифр n непарна).f(n) = \begin{cases} n^{100} & \text{(якщо сума цифр $n$ парна)}, \\ -n^{100} & \text{(якщо сума цифр $n$ непарна)}. \end{cases} Нехай S=f(1)+f(2)+⋯+f(10100−1)S = f(1) + f(2) + \dots + f(10^{100} - 1), знайдіть найбільше невід'ємне ціле число mm таке, що SS ділиться на 5m5^m. (Можна без доведення скористатися тим фактом, що SS відмінне від нуля.)
10–11 класиФормула біном Ньютона
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-002

Непарні степені за модулем степеня двійки

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що числа 11,33,55,…,(2n−1)2n−11^{1}, 3^{3}, 5^{5}, \ldots,\left(2^{n}-1\right)^{2^{n}-1} дають попарно різні остачі при діленні на 2n2^{n}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-015

Умовна ймовірність у грі з кубиками

У певній грі кожен із 4 гравців кидає стандартний 6-гранний кубик. Переможцем є гравець, який викинув найбільше число. Якщо за найбільший кидок нічия, ті, хто потрапив у нічию, кидають знову, і цей процес триває, доки один гравець не переможе. Гуго — один із гравців у цій грі. Яка ймовірність того, що перший кидок Гуго був 5, за умови, що він виграв гру? (A) 61216\frac{61}{216} (B) 3671296\frac{367}{1296} (C) 41144\frac{41}{144} (D) 185648\frac{185}{648} (E) 1136\frac{11}{36}
8–10 класиРозбиття на випадки
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-017

Подільність суми попарних добутків

Для кожного цілого n≥2n \ge 2 нехай SnS_n — сума всіх добутків jkjk, де jj і kk — цілі числа й 1≤j<k≤n1 \le j < k \le n. Чому дорівнює сума 10 найменших значень nn, для яких SnS_n ділиться на 3? (A) 196 (B) 197 (C) 198 (D) 199 (E) 200
8–10 класиАрифметика остач (базові властиво…
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2021-002

Розподіл каменів між коробками з обмеженою місткістю

Джессі та Тьєрд грають у гру. У Джессі є n≥2n \ge 2 каменів. Є дві коробки: в чорній коробці є місце для половини каменів (із заокругленням униз), а в білій коробці є місце для половини каменів (із заокругленням угору). Джессі та Тьєрд ходять по черзі, причому першим ходить Джессі. Своїм ходом Джессі бере новий камінь, пише на ньому додатне дійсне число і кладе його в одну з коробок, яка ще не заповнена. Тьєрд бачить усі числа на каменях у кожній з коробок і може перемістити один камінь на власний вибір до іншої коробки, якщо та інша коробка ще не заповнена, але він також може вирішити нічого не робити. Гра закінчується, коли обидві коробки заповнені. Якщо сумарна вартість каменів у чорній коробці більша за сумарну вартість каменів у білій коробці, то перемагає Джессі; інакше перемагає Тьєрд. Визначте для кожного n≥2n \ge 2, хто може завжди вигравати цю гру (і наведіть виграшну стратегію).
10–11 класиІнші інваріанти
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-001

Суми зсунутої послідовності, кратні трьом

Пітер нудьгував під час локдауну, тож вирішив цілий день писати числа. Він складає послідовність чисел, яка починається з 00, 11 і −1-1, а далі продовжується нескінченно. У наступному рядку він пише ту саму послідовність чисел, але зсунуту на одну позицію праворуч. У третьому рядку він знову пише ту саму послідовність чисел, зсунуту ще на одну позицію праворуч. Він додає всі три числа, що стоять в одному вертикальному стовпчику. (Він пропускає перші два місця, тож починає з −1+1+0-1 + 1 + 0.) Відповідь у кожному стовпчику — це наступне кратне трьом. Тож аркуш Пітера має такий вигляд: 01−1……………01−1…………+01−1………036912…\begin{array}{rrrrrrrrr} & 0 & 1 & -1 & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ & & 0 & 1 & -1 & \dots & \dots & \dots & \dots \\ + & & & 0 & 1 & -1 & \dots & \dots & \dots \\ \hline & & & 0 & 3 & 6 & 9 & 12 & \dots \end{array} Перше число у верхній послідовності дорівнює 00, друге число дорівнює 11, третє число дорівнює −1-1 тощо. Знайдіть 20212021-е число у верхній послідовності.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-005

Перерозподіл монет за круглим столом

Навколо круглого столу сидять n≥3n \ge 3 гравців. Ведучий роздає nn монет гравцям так, що не кожен отримує рівно одну монету. Кожен гравець бачить кількість монет у кожного іншого гравця. Кожні 10 секунд ведучий дзвонить у дзвінок. У цей момент кожен гравець дивиться, скільки монет мають його двоє сусідів. Потім вони всі одночасно роблять таке: Якщо гравець має більше монет, ніж принаймні один із його сусідів, гравець віддає рівно одну монету. Він віддає цю монету сусідові з найменшою кількістю монет. Якщо обидва його сусіди мають однакову кількість монет, він віддає монету сусідові ліворуч. Якщо гравець не має більше монет, ніж принаймні один із його сусідів, гравець нічого не робить і чекає наступного раунду. Гра закінчується, якщо кожен має рівно одну монету. a) Для кожного n≥3n \ge 3 знайдіть початковий розподіл монет так, щоб гра ніколи не закінчилася (і доведіть, що для вашого початкового розподілу гра не закінчується). b) Для кожного n≥4n \ge 4 знайдіть початковий розподіл монет на початку гри так, щоб гра закінчилася (і доведіть, що для вашого початкового розподілу гра закінчується).
10–11 класиКонструкція через періодичність
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-010

Витерте число за середнім арифметичним

На дошці написано числа від 11 до nn. Одне з чисел витерли. Середнє арифметичне чисел, що залишилися, дорівнює 111411\frac{1}{4}. Яке число витерли? A) 66 B) 77 C) 1111 D) 1212 E) 2121
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-011

Розміщення непарних чисел у таблиці

Додатні непарні числа впорядковано так: | | стовпець 1 | стовпець 2 | стовпець 3 | стовпець 4 | стовпець 5 | стовпець 6 |... | |--------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|-----| | рядок 1 | 1 | 3 | 11 | 13 | 29 | 31 |... | | рядок 2 | 5 | 9 | 15 | 27 | 33 |... | | | рядок 3 | 7 | 17 | 25 | 35 |... | | | | рядок 4 | 19 | 23 | 37 |... | | | | | рядок 5 | 21 | 39 |... | | | | | | рядок 6 | 41 |... | | | | | | |... |... | | | | | | | Для кожного непарного числа можна визначити, у якому рядку і в якому стовпці воно розміщене. Наприклад, число 3535 розміщене в рядку 33 і стовпці 44. Яке число розміщене в рядку 2222 і стовпці 2424? A) 20212021 B) 20232023 C) 20252025 D) 20272027 E) 20292029
10–11 класиСуми послідовностей
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-010

Множина без нетривіальних тричленних арифметичних прогресій

Нехай k⩾1k \geqslant 1 — ціле число, і нехай AA — підмножина {1,2,…,3k}\{1,2, \ldots, 3k\} така, що для будь-яких елементів a,b,ca, b, c із AA, якщо a+b=2ca+b=2c, то a=b=ca=b=c. Для кожного цілого числа n⩾1n \geqslant 1 через rk(n)r_{k}(n) позначимо найменше натуральне число таке, що 3k3k ділить n−rk(n)n-r_{k}(n). Крім того, скажемо, що nn мале, якщо n⩽kn \leqslant k, що nn середнє, якщо k+1⩽n⩽2kk+1 \leqslant n \leqslant 2k, і що nn велике, якщо 2k+1⩽n2k+1 \leqslant n. Нарешті, припустимо, що є два натуральні числа xx і dd такі, що rk(x),rk(x+d)r_{k}(x), r_{k}(x+d) і rk(x+2d)r_{k}(x+2d) усі три належать AA, і такі, що rk(x)≠rk(x+d)r_{k}(x) \neq r_{k}(x+d). Чи можна за наведеною вище інформацією обов'язково стверджувати, що a) принаймні одне з двох чисел rk(x)r_{k}(x) і rk(x+d)r_{k}(x+d) середнє або велике? b) принаймні одне з двох чисел rk(x)r_{k}(x) і rk(x+d)r_{k}(x+d) мале або велике? c) принаймні одне з двох чисел rk(x)r_{k}(x) і rk(x+d)r_{k}(x+d) мале або середнє?
8–10 класиАрифметична прогресія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-015

Опуклий многокутник з рівним поділом кутів

Нехай P1P2…P2021P_{1} P_{2} \ldots P_{2021} — опуклий многокутник з 2021 вершиною такий, що для кожної вершини PiP_{i} 2018 діагоналей, що виходять з PiP_{i}, ділять кут P^i\widehat{P}_{i} на 2019 рівних кутів. Доведіть, що P1P2…P2021P_{1} P_{2} \ldots P_{2021} — правильний многокутник, тобто многокутник, у якого всі кути мають однакову величину, а всі сторони мають однакову довжину.
8–10 класиЛінійні рекурентні послідовності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-026

Рекурентне співвідношення зі стискаючою функцією

Нехай f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} — зростаюча функція така, що f(y)−f(x)<y−xf(y)-f(x)<y-x для всіх дійсних xx і yy таких, що y>xy>x. Нехай (un)n⩾0\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0} — послідовність така, що un+2=f(un+1)−f(un)u_{n+2}=f\left(u_{n+1}\right)-f\left(u_{n}\right) для кожного цілого n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що послідовність (un)n⩾0\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0} збігається до 0, тобто що для кожного дійсного ε>0\varepsilon>0 існує ціле NN таке, що ∣un∣⩽ε\left|u_{n}\right| \leqslant \varepsilon для кожного цілого n⩾Nn \geqslant N.
9–11 класиПослідовності (інші властивості)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-020

Рекурентні послідовності зі зміною знака

Послідовності (an)n⩾0\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 0} і (bn)n⩾0\left(b_{n}\right)_{n \geqslant 0} задано формулами {an=0 якщо n=0;an=2a⌊n/2⌋+n якщо n⩾1;і{bn=0 якщо n=0;bn=3b⌊n/3⌋+n якщо n⩾1.\left\{\begin{array}{ll} a_{n}=0 & \text{ якщо } n=0 ; \\ a_{n}=2 a_{\lfloor n / 2 \rfloor}+n & \text{ якщо } n \geqslant 1 ; \end{array}\right. \quad \text{і} \quad \left\{\begin{array}{ll} b_{n}=0 & \text{ якщо } n=0 ; \\ b_{n}=3 b_{\lfloor n / 3\rfloor}+n & \text{ якщо } n \geqslant 1 . \end{array}\right. Доведіть, що послідовність із загальним членом 2an−3bn2^{a_{n}}-3^{b_{n}} змінює знак нескінченно часто.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-022

Множина з різницями Фібоначчі

Для кожного цілого k⩾0k \geqslant 0 позначимо через FkF_{k} k-теk^{\text{-те}} число Фібоначчі, визначене рівностями F0=0F_{0}=0, F1=1F_{1}=1 і Fk=Fk−2+Fk−1F_{k}=F_{k-2}+F_{k-1} при k⩾2k \geqslant 2. Нехай n⩾2n \geqslant 2 — ціле число, і нехай SS — множина цілих чисел, яка має таку властивість: Для кожного цілого kk такого, що 2⩽k⩽n2 \leqslant k \leqslant n, множина SS містить два цілі числа xx і yy такі, що x−y=Fkx-y=F_{k}. Яка найменша можлива кількість елементів такої множини SS?
10–11 класиДерева
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-004

Пропущене число у послідовності послідовних чисел

Амелія записала кілька послідовних натуральних чисел, стерла одне число, а решту перемішала, отримавши наведену нижче послідовність. Яке число вона стерла? 6,12,1,3,11,10,8,15,13,9,7,4,14,5,26,12,1,3,11,10,8,15,13,9,7,4,14,5,2
10–11 класиАрифметична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-009

Сума кратних з кубічним параметром

Нехай mm і nn — натуральні числа, для яких - сума перших mm кратних числа nn дорівнює 120120, і - сума перших m3m^{3} кратних числа n3n^{3} дорівнює 40320004032000. Знайдіть суму перших m2m^{2} кратних числа n2n^{2}.
10–11 класиАрифметична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-067

Два суміжні квадрати і перетин прямої з основою

Квадрати ABCDABCD і DEFGDEFG мають довжини сторін 11 і 13\frac{1}{3} відповідно, де EE лежить на CD‾\overline{CD}, а точки AA, DD, GG лежать на одній прямій у такому порядку. Пряма CFCF перетинає пряму AGAG у точці XX. Довжину AXAX можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа й НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть 100m+n100m+n.
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-137

Несиметрична монета і три орли поспіль

Джуд раз за разом підкидає монету. Якщо він уже підкинув nn орлів, то монета падає орлом з імовірністю 1n+2\frac{1}{n+2} і решкою з імовірністю n+1n+2\frac{n+1}{n+2}. Якщо Джуд підкидає монету необмежено довго, нехай pp — імовірність того, що в деякий момент випадуть 3 орли поспіль. Обчисліть ⌊180p⌋\lfloor 180 p\rfloor.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.