Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 140 задач
ГеометріяВизначні точки та лінії трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-129

Периметр ортоцентричного трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Нехай DD, EE і FF — основи висот з AA, BB і CC на сторони BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA} і AB‾\overline{AB} відповідно, а QQ — основа висоти з AA на пряму EFEF. Відомо, що AQ=20AQ = 20, BC=15BC = 15 і AD=24AD = 24. Обчисліть периметр трикутника DEFDEF.
10–11 класиЗовнівписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-100

Рівнобічна трапеція з умовою на кути

Нехай PP — точка всередині рівнобічної трапеції ABCDA B C D, в якій AB∥CDA B \parallel C D, така, що ∠PAD=∠PDA=90∘−∠BPC\angle P A D = \angle P D A = 90^{\circ} - \angle B P C Якщо PA=14P A = 14, AB=18A B = 18 і CD=28C D = 28, обчисліть площу трапеції ABCDA B C D.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-020

Хорда описаного кола в рівнобедреному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний рівнобедрений трикутник з ортоцентром HH. Нехай MM і NN — середини сторін AB‾\overline{AB} і AC‾\overline{AC} відповідно. Описане коло трикутника MHNMHN перетинає пряму BCBC у двох точках XX і YY. Відомо, що XY=AB=AC=2XY = AB = AC = 2, обчисліть BC2BC^2.
10–11 класиТочка перетину висот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-063

Правильний шестикутник у рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник. Правильний шестикутник PXQYRZP X Q Y R Z зі стороною 22 розміщено так, що PP, QQ і RR лежать на відрізках BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA} і AB‾\overline{AB} відповідно. Якщо точки AA, XX і YY лежать на одній прямій, обчисліть довжину сторони BCBC.
10–11 класиОписане коло
Відбіркові тести на IMOTST-2024-001

Дотична у вершині перпендикулярна до прямої через ортоцентр

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник з ортоцентром HH і описаним колом Γ\Gamma. Нехай DD — точка, симетрична AA відносно BB, а EE — точка, симетрична AA відносно CC. Нехай MM — середина відрізка DEDE. Доведіть, що дотична до кола Γ\Gamma у точці AA перпендикулярна до HMHM.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбіркові тести на IMOTST-2024-003

Дотична в A перпендикулярна до HM

Нехай дано трикутник △ABC\triangle A B C з ортоцентром HH і описаним колом Γ\Gamma. Нехай далі DD — образ AA при симетрії відносно BB, а EE — образ AA при симетрії відносно CC. Середину відрізка DED E позначимо через MM. Доведіть, що дотична до кола Γ\Gamma у точці AA перпендикулярна до прямої HMH M.
10–11 класиТочка перетину висот4 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2024-005

Коло з діаметром BP через інцентр трикутника

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник. Нехай PP — точка на відрізку BCBC, така, що коло з діаметром BPBP проходить через інцентр △ABC\triangle ABC. Доведіть, що ∣BP∣∣PC∣=cs−c,\frac{|BP|}{|PC|} = \frac{c}{s-c}, де cc — довжина відрізка ABAB, а ss — півпериметр △ABC\triangle ABC.
10–11 класиВписане коло
Італійська математична олімпіадаITAMO-2024-015

Площа смуги біля периметра чотирикутника

Опуклий чотирикутник ABCDABCD такий, що AB=14AB = 14, BC=24BC = 24, CD=26CD = 26 і DA=16DA = 16. Його площа дорівнює 360360. Знайдіть площу області площини всередині чотирикутника, утвореної точками, віддаленими не більше ніж на 33 від його периметра. (A) 100100 (B) 120120 (C) 120+9π120 + 9\pi (D) 156156 (E) 200200
10–11 класиВписане коло
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2024-011

Дотичні до вписаного кола та відображені відрізки

Нехай ω\omega — вписане коло різностороннього трикутника ABCABC. Нехай ω\omega дотикається до сторін ABAB і ACAC у точках XX і YY. Нехай X′X' і Y′Y' — точки на відрізках ABAB і ACAC відповідно такі, що AX′=XBAX' = XB і AY′=YCAY' = YC. Нехай пряма CX′CX' перетинає ω\omega у точках P,QP, Q так, що PP ближча до CC, ніж QQ. Також нехай RR — точка перетину прямих CX′CX' і BY′BY'. Доведіть, що CP=RX′CP = RX'.
10–11 класиГомотерія і подібність
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2023-003

Нерівність із висотами й колом дев’яти точок

Гострокутний трикутник — це трикутник, у якого всі кути менші за 90∘90^{\circ} (90∘90^{\circ} — прямий кут). Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з висотами ADAD, BEBE і CFCF, що перетинаються в точці HH. Коло, яке проходить через точки DD, EE і FF, перетинає ADAD, BEBE і CFCF повторно в точках XX, YY і ZZ відповідно. Доведіть таку нерівність: AHDX+BHEY+CHFZ≥3\frac{AH}{DX} + \frac{BH}{EY} + \frac{CH}{FZ} \geq 3
10–11 класиКоло Ейлера (коло 9 точок)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-047

Концентричні описані кола з середин дуг

Нехай ABCABC — трикутник, а Γ\Gamma — його описане коло. Нехай A1A_{1} — середина дуги BC^\widehat{BC}, що не містить AA; B1B_{1} — середина дуги CA⌢\overparen{CA}, що не містить BB; C1C_{1} — середина дуги AB⌢\overparen{AB}, що не містить CC. Нарешті, нехай A2A_{2} — точка, для якої AB1A2C1AB_{1}A_{2}C_{1} є паралелограмом; B2B_{2} — точка, для якої BC1B2A1BC_{1}B_{2}A_{1} є паралелограмом; C2C_{2} — точка, для якої CA1C2B1CA_{1}C_{2}B_{1} є паралелограмом. Доведіть, що описані кола трикутників ABCABC і A2B2C2A_{2}B_{2}C_{2} концентричні.
8–10 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-052

Перетин бісектрис у рівнобедреному трикутнику

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з вершиною AA, усі кути якого гострі, а DD — точка на відрізку [BC][BC]. Нехай ℓ\ell — пряма, паралельна прямій (BC)(BC), що проходить через AA, далі XX — точка на прямій ℓ\ell, для якої пряма (XD)(XD) перпендикулярна до прямої (BC)(BC), а Γ\Gamma — коло з центром XX, що проходить через DD. Коло Γ\Gamma перетинає відрізок [AB][AB] у точці EE, і через YY позначимо точку на прямій ℓ\ell таку, що пряма (AB)(AB) перпендикулярна до прямої (EY)(EY); аналогічно, коло Γ\Gamma перетинає відрізок [AC][AC] у точці FF, а через ZZ позначимо точку на прямій ℓ\ell таку, що пряма (AC)(AC) перпендикулярна до прямої (FZ)(FZ). Доведіть, що бісектриси кутів EYA^\widehat{EYA} і FZA^\widehat{FZA} перетинаються в точці прямої (XD)(XD).
8–10 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-075

Вписаний чотирикутник, побудований за інцентром

Нехай ABCABC — трикутник, а II — центр його вписаного кола. Серединний перпендикуляр до відрізка [BC][BC] перетинає пряму (AI)(AI) в точці SS та пряму (BI)(BI) в точці TT. Доведіть, що CC, II, SS і TT лежать на одному колі.
8–10 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-067

Перпендикулярність з інцентром і симетрією бісектрис

Нехай ABCABC — трикутник, а II — центр вписаного кола. Позначимо через DD і EE основи бісектрис, проведених з BB і CC. Нехай XX — перетин симетричних образів прямих (AB)(AB) і (AC)(AC) відносно (CE)(CE) і (BD)(BD). Доведіть, що прямі (XI)(XI) і (BC)(BC) перпендикулярні.
8–10 класиВписане коло
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-002

Паралельні прямі в трикутнику з вписаним колом

Нехай ABCABC — нерівнобедрений трикутник, а II — центр його вписаного кола. Нехай DD — точка на відрізку [BC][BC] (відмінна від BB і CC). Описане коло трикутника DIBDIB перетинає пряму (AB)(AB) вдруге в точці E≠BE \neq B, а описане коло трикутника DICDIC перетинає пряму (AC)(AC) вдруге в точці F≠CF \neq C. Описане коло трикутника DEFDEF перетинає прямі (AB)(AB) і (AC)(AC) вдруге в точках MM і NN відповідно. Прямі (IB)(IB) і (DE)(DE) перетинаються в точці PP, а прямі (IC)(IC) і (DF)(DF) перетинаються в точці QQ. Доведіть, що прямі (EN)(EN), (FM)(FM) і (PQ)(PQ) паралельні.
8–10 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-027

Перпендикулярність у вписаному п'ятикутнику

Нехай A,B,C,DA, B, C, D і EE — п'ять точок у цьому порядку на колі, таких, що AE=DEA E = D E. Нехай PP — точка перетину прямих (AC)(A C) і (BD)(B D). Нехай QQ — точка променя [BA)[B A) така, що AQ=DPA Q = D P. Нехай RR — точка променя [CD)[C D) така, що DR=APD R = A P. Доведіть, що прямі (PE)(P E) і (QR)(Q R) перпендикулярні.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-001

Точки на одному колі із симетрій трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, D,ED, E — основи висот, проведених з AA і BB відповідно. Пряма (DE)(DE) перетинає описане коло трикутника ABCABC у двох точках PP і QQ. Нехай A′A', B′B' — точки, симетричні до AA і BB відносно прямих (BC)(BC) і (AC)(AC) відповідно. Доведіть, що A′A', B′B', PP, QQ лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-070

Коло через середину дуги, дотичне до сторін трикутника

Нехай ABCABC — трикутник з кутом BAC^=60∘\widehat{BAC}=60^{\circ}, а Γ\Gamma — його описане коло. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC, а SS — середина дуги BC^\widehat{BC}, яка не містить AA. Нехай PP — точка кола Γ\Gamma така, що SPH^=90∘\widehat{SPH}=90^{\circ}. Доведіть, що існує коло, яке проходить через P,SP, S і дотикається до прямих (AB)(AB) та (AC)(AC).
10–11 класиТеорема про тризуб
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-011

Чотирикутник із прямими кутами та серединою діагоналі

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якому ∠ABD=∠BCD=90∘\angle ABD = \angle BCD = 90^{\circ}, а MM — середина відрізка BDBD. Припустімо, що CM=2CM = 2 і AM=3AM = 3. Обчисліть довжину сторони ADAD.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-130

Чотирикутник з рівними сторонами і кутами

Опуклий чотирикутник ABCDABCD задовольняє ∠CAB=∠ADB=30∘\angle CAB = \angle ADB = 30^{\circ}, ∠ABD=77∘\angle ABD = 77^{\circ}, BC=CDBC = CD і ∠BCD=n∘\angle BCD = n^{\circ} для деякого натурального числа nn. Обчисліть nn.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-097

Перпендикулярність бісектриси AD і прямої XY

Нехай ABCABC — трикутник. Точка DD лежить на відрізку BCBC так, що ∠BAD=∠DAC\angle BAD = \angle DAC. Точка XX лежить по інший бік від прямої BCBC, ніж AA, і задовольняє XB=XDXB = XD та ∠BXD=∠ACB\angle BXD = \angle ACB. Аналогічно, точка YY лежить по інший бік від прямої BCBC, ніж AA, і задовольняє YC=YDYC = YD та ∠CYD=∠ABC\angle CYD = \angle ABC. Доведіть, що прямі XYXY і ADAD перпендикулярні.
10–11 класиЗовнівписане коло3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-102

Хорди вписаного кола і сума сторін трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторони BCBC в точці DD і перетинає серединний перпендикуляр до відрізка BCBC у двох різних точках XX і YY. Прямі AXAX і AYAY перетинають пряму BCBC у точках PP і QQ відповідно. Доведіть, що якщо DP⋅DQ=(AC−AB)2DP \cdot DQ = (AC - AB)^2, то AB+AC=3BCAB + AC = 3 BC.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-133

Положення центроїда на сторонах трикутника

Точка YY лежить на відрізку XZX Z так, що XY=5X Y=5 і YZ=3Y Z=3. Точка GG лежить на прямій XZX Z так, що існує трикутник ABCA B C з центроїдом GG такий, що XX лежить на прямій BCB C, YY лежить на прямій ACA C, а ZZ лежить на прямій ABA B. Обчисліть найбільше можливе значення довжини відрізка XGX G.
10–11 класиТочка перетину медіан
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-134

Радіус вписаного кола за відстанями від інцентра

Трикутник ABCABC має інцентр II. Нехай DD — основа перпендикуляра з AA на сторону BCBC. Нехай XX — точка така, що відрізок AXAX є діаметром описаного кола трикутника ABCABC. Відомо, що ID=2ID = 2, IA=3IA = 3 та IX=4IX = 4. Обчисліть радіус вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиТеорема про тризуб
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-039

Коло, дотичне до відрізків у рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 1515. Нехай AbA_b і BaB_a — точки на стороні ABAB, AcA_c і CaC_a — точки на стороні ACAC, а BcB_c і CbC_b — точки на стороні BCBC такі, що △AAbAc\triangle AA_bA_c, △BBcBa\triangle BB_cB_a і △CCaCb\triangle CC_aC_b — рівносторонні трикутники зі сторонами 33, 44 і 55 відповідно. Обчисліть радіус кола, дотичного до відрізків AbAc‾\overline{A_bA_c}, BaBc‾\overline{B_aB_c} і CaCb‾\overline{C_aC_b}.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.