Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

824 задачі
ГеометріяДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2005-001

Трапеція, утворена серединами сторін прямокутника

Нехай ABCDABCD — прямокутник, у якому ∣AD∣≤∣AB∣|AD| \leq |AB|. Нехай MM — середина відрізка ADAD, а NN — середина відрізка BCBC. Точка EE — проєкція точки BB на пряму CMCM. a. Доведіть, що чотирикутник ANEMANEM — рівнобічна трапеція. b. Доведіть, що площа чотирикутника ABNEABNE вдвічі менша за площу прямокутника ABCDABCD.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2005-004

Проєкції внутрішньої точки при куті 60 градусів

Нехай ABCABC — трикутник із ∡BAC=60∘\Varangle BAC = 60^\circ. Знайдіть усі точки PP всередині цього трикутника з такою властивістю: Якщо DD — проєкція PP на пряму BCBC, EE — проєкція PP на пряму CACA і FF — проєкція PP на пряму ABAB, то ∡EDF=30∘\Varangle EDF = 30^\circ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2004-008

Прямі, що перетинаються, у рівнобедреному трикутнику

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з ∣AC∣=∣BC∣|AC| = |BC| та центром вписаного кола II. Нехай PP — точка на описаному колі трикутника AIBAIB, що лежить усередині трикутника ABCABC. Прямі через PP, паралельні до CACA і CBCB, перетинають ABAB в точках DD і EE. Пряма через PP, паралельна до ABAB, перетинає CACA і CBCB в точках FF і GG. Доведіть, що дві прямі DFDF і EGEG перетинаються на описаному колі трикутника ABCABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2004-009

Паралель через перетини кіл

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, а DD — точка всередині нього. Побудуємо коло ω1\omega_1, що проходить через BB і DD, та коло ω2\omega_2, що проходить через CC і DD, так, щоб друга точка перетину кіл ω1\omega_1 і ω2\omega_2, відмінна від DD, лежала на прямій ADAD. Позначимо через EE і FF точки, в яких ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинають сторону BCBC відповідно, а через XX і YY — перетини прямих DFDF, ABAB та DEDE, ACAC відповідно. Доведіть, що XY∥BCXY \parallel BC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2004-020

Циклічні точки на висотах і сума площ

Нехай дано гострокутний трикутник △ABC\triangle A B C з висотами AU‾\overline{A U}, BV‾\overline{B V}, CW‾\overline{C W} і точкою перетину висот HH. XX лежить на AU‾\overline{A U}, YY на BV‾\overline{B V} і ZZ на CW‾\overline{C W}. XX, YY і ZZ всі відмінні від HH. Доведіть: a. Якщо XX, YY, ZZ і HH лежать на одному колі, то виконується [ABC]=[ABZ]+[AYC]+[XBC][A B C]=[A B Z]+[A Y C]+[X B C] де [PQR][P Q R] позначає площу трикутника △PQR\triangle P Q R. b. Справедливе також обернене твердження до (a).
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2004-006

Бісектриси кутів вписаного чотирикутника

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, такий, що ∣AB∣+∣CD∣=∣BC∣|AB| + |CD| = |BC|. Доведіть, що точка перетину бісектрис кутів ∠DAB\angle DAB і ∠CDA\angle CDA лежить на стороні BCBC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2003-004

Коло через вершини A і B та співвідношення відрізків

Нехай задано трикутник △ABC\triangle ABC. Коло, що проходить через точки AA і BB, перетинає відрізки ACAC і BCBC у точках DD і EE відповідно. Промені BABA і EDED перетинаються в точці FF, а прямі BDBD і CFCF — у точці MM. Доведіть, що MF=MCMF = MC тоді й лише тоді, коли MB⋅MD=MC2MB \cdot MD = MC^2.
10–11 класиОзнаки подібності2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2002-002

Рівносторонній трикутник і хорда кола

Нехай Γ\Gamma — коло радіуса rr. Нехай AA і BB — різні точки на колі Γ\Gamma такі, що AB<3rAB < \sqrt{3} r. Нехай коло з центром BB і радіусом ABAB перетинає Γ\Gamma ще раз у точці CC. Нехай PP — точка всередині кола Γ\Gamma така, що трикутник ABPABP — рівносторонній. Нарешті, нехай CPCP перетинає Γ\Gamma ще раз у точці QQ. Доведіть, що PQ=rPQ = r.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2002-002

Кути з внутрішньої точки в паралелограмі

Нехай ABCDABCD — паралелограм, а OO — точка всередині нього така, що ∡AOB+∡DOC=π\Varangle AOB + \Varangle DOC = \pi. Доведіть, що виконується ∡CBO=∡CDO\Varangle CBO = \Varangle CDO
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2001-042

Рівносторонній трикутник і рівні кути

На стороні BCB C рівностороннього трикутника ABCA B C взято точку DD, а промінь ADA D продовжено за точку DD до точки EE так, що кути EACE A C і EBCE B C рівні. Якщо BE=5B E = 5 і CE=12C E = 12, знайдіть довжину AEA E.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Відбіркові тести на IMOTST-2001-022

Коло через вершини і центр описаного кола та перпендикулярність

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO. SS — коло, що проходить через AA, BB і OO. Прямі ACAC і BCBC вдруге перетинають коло SS в точках PP і QQ. Доведіть, що CO⊥PQCO \perp PQ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2000-004

Чотирикутник з подвійними кутами та рівними сторонами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, для якого ∠CBD=2∠ADB,∠ABD=2∠CDBіAB=CB.\begin{aligned} \angle CBD &= 2 \angle ADB, \\ \angle ABD &= 2 \angle CDB \\ \text{і}\quad AB &= CB. \end{aligned} Доведіть, що AD=CDAD = CD.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-0000-118

Перетин описаних кіл на медіані

Нехай ABCABC — трикутник, а MM — середина відрізка [BC][BC]. Позначимо через IbI_{b} і IcI_{c} центри вписаних кіл трикутників AMBAMB і AMCAMC. Доведіть, що друга точка перетину описаних кіл трикутників ABIbABI_{b} і ACIcACI_{c} лежить на прямій (AM)(AM).
9–11 класиТочка перетину бісектрис
Французька математична олімпіадаFRMO-0000-033

Основи перпендикулярів у чотирикутнику на одному колі

Діагоналі опуклого чотирикутника ABCDABCD перпендикулярні та перетинаються в точці OO. Перпендикуляр до прямої (AB)(AB), проведений через OO, перетинає пряму (AB)(AB) у точці MM і пряму (CD)(CD) у точці M′M'. Перпендикуляр до прямої (BC)(BC), проведений через OO, перетинає пряму (BC)(BC) у точці NN і пряму (DA)(DA) у точці N′N'. Перпендикуляр до прямої (CD)(CD), проведений через OO, перетинає пряму (CD)(CD) у точці PP і пряму (AB)(AB) у точці P′P'. Перпендикуляр до прямої (DA)(DA), проведений через OO, перетинає пряму (DA)(DA) у точці QQ і пряму (BC)(BC) у точці Q′Q'. Доведіть, що точки M,N,P,Q,M′,N′,P′,Q′M, N, P, Q, M', N', P', Q' лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Французька математична олімпіадаFRMO-0000-107

Паралель через перетини у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник. Коло, що проходить через AA і BB, перетинає [AC][AC] і [BD][BD] у точках EE і FF. Прямі (AF)(AF) і (BE)(BE) перетинають [BC][BC] і [AD][AD] у точках PP і QQ відповідно. Доведіть, що пряма (PQ)(PQ) паралельна прямій (CD)(CD).
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-081

Колінеарність у колах, що перетинаються

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола з центрами O1O_{1} і O2O_{2}, припустимо, що вони перетинаються в точках AA і BB. Коло, що проходить через точки O1O_{1}, O2O_{2} і BB, перетинає коло ω1\omega_{1} в точці CC. Доведіть, що точки CC, AA і O2O_{2} лежать на одній прямій.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-084

Перпендикуляр до AO і чотири точки на одному колі

Нехай ABCABC — трикутник, у якому OO — центр описаного кола. Позначимо через ℓ\ell пряму, перпендикулярну до прямої (AO)(AO). Пряма (ℓ)(\ell) перетинає сторони (AB)(AB) і (AC)(AC) у точках DD і EE. Доведіть, що точки BB, CC, EE і DD лежать на одному колі.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-085

Ортоцентр трикутника і описані кола APD та ODB

Нехай ABCABC — трикутник і HH — його ортоцентр. Описане коло трикутника ABHABH з центром OO вдруге перетинає пряму (BC)(BC) у точці DD, пряма (DH)(DH) перетинає пряму (AC)(AC) у точці PP. Доведіть, що центр описаного кола трикутника APDAPD лежить на описаному колі трикутника ODBODB.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-109

Спільне коло точок двох кіл, що перетинаються

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, які перетинаються в PP і QQ. Припустимо, що спільна дотична до ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2}, найближча до PP, дотикається до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} в AA і BB відповідно. Дотичні в PP до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} вдруге перетинають ω2\omega_{2} і ω1\omega_{1} в DD і CC відповідно. Позначимо HH і KK на відрізках [AC][A C] і [BD][B D] так, щоб AH=APA H = A P і BK=BPB K = B P. Доведіть, що точки A,B,K,QA, B, K, Q і HH лежать на одному колі.
9–11 класиДотична кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-066

Рівнобедрений трикутник із рівністю суми відрізків

Нехай ABCABC — трикутник, у якому ABC^=ACB^=40∘\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 40^{\circ}. Бісектриса, проведена з вершини BB, перетинає пряму (AC)(AC) у точці DD. Доведіть, що BD+DA=BCBD + DA = BC.
8–10 класиТеорема про тризуб2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-113

Коло через точку бісектриси і середину сторони

Нехай ABCABC — трикутник, DD — середина дуги BCBC описаного кола трикутника ABCABC, яка не містить AA, ZZ — єдина точка на зовнішній бісектрисі кута BAC^\widehat{BAC} така, що ZA=ZCZA = ZC. Доведіть, що коло ADZADZ проходить через середину сторони [AB][AB].
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-091

Колінеарність у трикутнику з центром описаного кола

Нехай ABCABC — трикутник. Позначимо через DD і EE середини сторін ABAB і ACAC відповідно. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. Позначимо через KK точку перетину прямих (OE)(OE) і (BC)(BC). Позначимо через LL другу точку перетину прямої (OD)(OD) з описаним колом трикутника OKBOKB. Позначимо через FF ортогональну проєкцію точки AA на пряму (KL)(KL). Доведіть, що точки DD, EE і FF лежать на одній прямій.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-096

Дотична до вписаного кола в рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник. Нехай XX — точка прямої (BC)(BC), відмінна від BB і CC. Нехай YY і ZZ — точки на прямих (AB)(AB) і (AC)(AC) такі, що обидві прямі (BZ)(BZ) і (CY)(CY) паралельні прямій (AX)(AX). Пряма (XY)(XY) перетинає пряму (AC)(AC) у точці MM, а пряма (XZ)(XZ) перетинає пряму (AB)(AB) у точці NN. Доведіть, що пряма (MN)(MN) дотикається до вписаного кола трикутника ABCABC.
8–10 класиЗовнівписане коло
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-097

Дотичні та паралелі в описаному колі трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, Γ\Gamma — його описане коло, а ω\omega — коло з тим самим центром, що й Γ\Gamma, дотичне до прямої (BC)(BC). Дотичні до кола ω\omega, що проходять через AA, перетинають (BC)(BC) в точці XX з боку BB та в точці YY з боку CC. Дотична до кола Γ\Gamma в точці BB і пряма, паралельна до прямої (AC)(AC), що проходить через XX, перетинаються в точці SS, а дотична до кола Γ\Gamma в точці CC і пряма, паралельна до прямої (AB)(AB), що проходить через YY, перетинаються в точці TT. Доведіть, що пряма (ST)(ST) дотикається до кола Γ\Gamma.
8–10 класиДотична кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-042

Трикутник з рівними медіанними кутами

Нехай ABCABC — трикутник, LL, MM і NN — середини сторін [BC][BC], [CA][CA] і [AB][AB] відповідно. Припустимо, що ANC^=ALB^\widehat{ANC} = \widehat{ALB}. Доведіть, що CAL^=ABM^\widehat{CAL} = \widehat{ABM}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.