Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

995 задач
ГеометріяГеометричні перетворення
Відбіркові тести на IMOTST-2013-014

Коло через симетричні образи точок на описаному колі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом ω\omega. Доведіть, що існує точка JJ з такою властивістю: якщо XX — внутрішня точка трикутника ABCABC, промені AXAX, BXBX і CXCX перетинають коло ω\omega повторно в точках A1A_{1}, B1B_{1} і C1C_{1}, а точки A2A_{2}, B2B_{2} і C2C_{2} симетричні точкам A1A_{1}, B1B_{1} і C1C_{1} відносно середин відрізків BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA} і AB‾\overline{AB} відповідно, то чотири точки A2A_{2}, B2B_{2}, C2C_{2} і JJ лежать на спільному колі.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2013-013

Рівні кути з перетину кіл

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник, у якого ∠BCA=90∘\angle BCA = 90^\circ, а DD — основа висоти, проведеної з CC. Нехай XX — точка всередині відрізка CDCD. Нехай KK — точка на відрізку AXAX така, що BK=BCBK = BC. Аналогічно, нехай LL — точка на відрізку BXBX така, що AL=ACAL = AC. Описане коло трикутника DKLDKL перетинає відрізок ABAB у другій точці TT (іншій, ніж DD). Доведіть, що ∠ACT=∠BCT\angle ACT = \angle BCT.
10–11 класиТеорема Чеви
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2013-016

Довжина згину в прямокутнику

Анаклето щойно доїв плитку шоколаду й починає гратися з обгорткою, прямокутником зі сторонами 360 мм360~\text{мм} і 300 мм300~\text{мм}. Він вирішує зробити один прямолінійний згин так, щоб після згинання паперу одна вершина прямокутника опинилася точно посередині короткої сторони, кінцем якої вона не є. Скільки міліметрів становить довжина згину?
9–11 класиОзнаки подібності
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-011

Рівносторонній трикутник з рівних відрізків

ABCABC — трикутник, усі кути якого гострі. Нехай відповідно HH — основа висоти цього трикутника, проведеної з CC, а KK — середина сторони ACAC. Припустимо, що BK=CHBK = CH і що кути KBC^\widehat{KBC} і HCB^\widehat{HCB} рівні. Доведіть, що трикутник ABCABC рівносторонній.
8–10 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-085

Операція рівностороннього трикутника на площині

Нехай aa і bb — точки площини, а a⊕ba \oplus b — єдина точка cc така, що abca b c — рівносторонній трикутник, у якому вершини a,b,ca, b, c йдуть за годинниковою стрілкою. Розв'яжіть рівняння (x⊕(0,0))⊕(1,1)=(1,−1)(x \oplus (0,0)) \oplus (1,1) = (1,-1) відносно xx.
10–11 класиПоворот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-061

Стрибки решіткою у прямокутному трикутнику

Нещодавно виявилося, що прямокутний трикутник з вершинами (0,0)(0,0), (0,2012)(0,2012) і (2012,0)(2012,0) — це величезний ставок, у якому живе багато жаб. Жаби мають особливу здатність: якщо вони перебувають у точці цілочисельної решітки (x,y)(x, y), вони можуть стрибнути в будь-яку з трьох точок решітки (x+1,y+1)(x+1, y+1), (x−2,y+1)(x-2, y+1) і (x+1,y−2)(x+1, y-2), за умови, що дана точка решітки лежить всередині трикутника або на його межі. Жаба Джефф стартує з вершини (0,0)(0,0), а жаба Кенні стартує з вершини (0,2012)(0,2012). Доведіть, що множина точок, яких може досягти Джефф, за кількістю дорівнює множині точок, яких може досягти Кенні.
10–11 класиПоворот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-101

Чотирикутник, утворений колами, що перетинаються

Нехай O,O1,O2,O3,O4O, O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4} — точки такі, що O1,O,O3O_{1}, O, O_{3} і O2,O,O4O_{2}, O, O_{4} колінеарні в такому порядку, OO1=1O O_{1}=1, OO2=2O O_{2}=2, OO3=2O O_{3}=\sqrt{2}, OO4=2O O_{4}=2 і ∡O1OO2=45∘\measuredangle O_{1} O O_{2}=45^{\circ}. Нехай ω1,ω2,ω3,ω4\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4} — кола з відповідними центрами O1,O2,O3,O4O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}, які проходять через OO. Нехай AA — перетин кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2}, BB — перетин кіл ω2\omega_{2} і ω3\omega_{3}, CC — перетин кіл ω3\omega_{3} і ω4\omega_{4}, а DD — перетин кіл ω4\omega_{4} і ω1\omega_{1}, причому A,B,C,DA, B, C, D усі відмінні від OO. Чому дорівнює найбільша можлива площа опуклого чотирикутника P1P2P3P4P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} такого, що PiP_{i} лежить на ωi\omega_{i} і що A,B,C,DA, B, C, D усі лежать на його периметрі?
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-011

Найкоротший шлях з відвідуванням сторін кута

Нот вирушив в епічний похід, щоб урятувати землю Хайрул від злого Гамадорфа. Для цього він має зібрати два уламки Лайнфорсу, а потім дістатися до Храму Лайма. Як показано на рисунку, Нот стартує в точці KK і має дістатися до точки TT, причому OK=2O K=2 і OT=4O T=4. Проте спочатку він має дістатися до обох суцільних прямих на рисунку нижче, щоб зібрати уламки Лайнфорсу. Яку найменшу відстань має подолати Нот, щоб це зробити?
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-015

Квадратні тричлени зі взаємними коренями у вершинах

Нехай f(x)=x2+ax+bf(x) = x^{2} + a x + b і g(x)=x2+cx+dg(x) = x^{2} + c x + d — два різні дійсні многочлени такі, що координата xx вершини графіка ff є коренем многочлена gg, координата xx вершини графіка gg є коренем многочлена ff, а ff і gg мають однакове найменше значення. Якщо графіки цих двох многочленів перетинаються в точці (2012,−2012)(2012, -2012), то чому дорівнює a+ca + c?
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-028

Гранична точка на вкладених дисках, що обертаються

Аліса сидить на атракціоні «кружляючі чашечки», що складається з нескінченно багатьох шарів дисків, які обертаються. Найбільший диск має радіус 55. Центр кожного наступного диска прикріплений до точки на колі попереднього диска, а його радіус дорівнює 2/32/3 радіуса попереднього. Кожен диск обертається навколо свого центра (відносно диска, до якого він прикріплений) з кутовою швидкістю π/6\pi/6 радіана за секунду. Спочатку, в момент t=0t=0, центри дисків лежать на одній прямій, що йде назовні. Аліса сидить у граничній точці всіх цих дисків. Яку довжину має траєкторія, яку Аліса описала за 1212 секунд?
10–11 класиКомплексні числа
Відбіркові тести на IMOTST-2012-007

Коло з центром на BC через точку O

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO. Нехай kk — коло з такими властивостями: (1) Центр KK кола kk лежить у внутрішності сторони BCBC. (2) Коло kk дотикається до сторони ABAB в точці B′B' і до сторони ACAC в точці C′C'. (3) OO лежить на меншій з двох дуг B′C′B'C' кола kk. Доведіть, що описане коло трикутника ABCABC і коло kk перетинаються у двох різних точках.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2012-035

Дотичні до кіл і відношення дуг

Два кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинаються в точках AA і BB. Пряма ll дотикається до кола ω1\omega_1 у точці PP і до кола ω2\omega_2 у точці QQ, причому точка AA лежить ближче до прямої ll, ніж точка BB. Нехай XX і YY — точки на великих дугах PA^\widehat{PA} (на колі ω1\omega_1) і AQ^\widehat{AQ} (на колі ω2\omega_2) відповідно, такі, що AX/PX=AY/QY=cAX/PX = AY/QY = c. Відрізки PAPA і QAQA продовжено за точку AA до точок RR і SS відповідно так, що AR=AS=c⋅PQAR = AS = c \cdot PQ. Відомо, що центр описаного кола трикутника ARSARS лежить на прямій XYXY. Доведіть, що ∠XPA=∠AQY\angle XPA = \angle AQY.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-004

Геометричне місце точок із сумою кутів у квадраті

Нехай ABCDABCD — квадрат. Опишіть геометричне місце точок PP площини, відмінних від A,B,C,DA, B, C, D, для яких APB^+CPD^=180∘.\widehat{APB} + \widehat{CPD} = 180^{\circ} \text{.}
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-009

Перетин висоти з описаним колом і рівність трикутників

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник; нехай OO — центр його описаного кола, а P,QP, Q — точки (відмінні від AA), в яких відповідно висота, проведена з вершини AA, і продовження відрізка AOAO перетинають описане коло трикутника ABCABC. a. Доведіть, що кути BA^PB\widehat{A}P і QA^CQ\widehat{A}C рівні; b. Доведіть, що трикутники BCPBCP і CBQCBQ рівні; c. Доведіть, що, якщо MM і NN — середини сторін ABAB і ACAC, то площа чотирикутника ABPCABPC у чотири рази більша за площу чотирикутника AMONAMON.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-011

П'ятикутник із квадратом та умовою вписаності

Нехай ABCDEABCDE — опуклий п'ятикутник, у якому чотирикутник ABCDABCD є квадратом. Якщо ∠AEC+∠BED=180∘\angle AEC + \angle BED = 180^\circ, доведіть, що п'ятикутник ABCDEABCDE вписаний у коло. Тут під опуклим п'ятикутником ми розуміємо п'ятикутник, у якого кожен із внутрішніх кутів менший від 180∘180^\circ.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-003

Шестикутник із квадратів на сторонах трикутника

Зовні трикутника ABCABC побудовано 3 квадрати PQBAPQBA, RSCBRSCB і TUACTUAC, кожен з яких має одну зі сторін трикутника як одну зі своїх сторін. Якщо AB=3AB = 3, BC=4BC = 4 і CA=3CA = 3, знайдіть площу шестикутника PQRSTUPQRSTU. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначаємо через XYXY.
7–9 класиПоворот
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-014

Трикутник з кутом 30° і кут PMQ

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому ∠BAC=30∘\angle BAC = 30^\circ. Виберемо точку XX всередині трикутника ABCABC так, щоб ∠XBC=∠XCB=30∘\angle XBC = \angle XCB = 30^\circ. Також візьмемо точки PP і QQ на прямих BXBX і CXCX відповідно так, щоб виконувалися рівності AP=BPAP = BP і AQ=CQAQ = CQ. Нехай MM — середина відрізка BCBC. Доведіть, що ∠PMQ=90∘\angle PMQ = 90^\circ.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-013

Перпендикулярність через симетрії відносно дотичної

Для трикутника ABCABC дотична до його описаного кола в точці AA і пряма BCBC перетинаються в точці PP. Нехай QQ і RR — точки, симетричні точці PP відносно прямих ABAB і ACAC відповідно. Доведіть, що прямі BCBC і QRQR перетинаються перпендикулярно.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-002

Точки дотику вписаного кола та середини відрізків між центрами зовнівписаних кіл

Дано трикутник ABC; центр його зовнівписаного кола, протилежного до вершини A, — це точка, де перетинаються зовнішні бісектриси кутів ∠B\angle B і ∠C\angle C. Нехай IAI_A, IBI_B і ICI_C — центри зовнівписаних кіл різностороннього трикутника ABC, протилежних до вершин A, B, C відповідно, а X, Y і Z — середини відрізків IBICI_B I_C, ICIAI_C I_A і IAIBI_A I_B відповідно. Вписане коло трикутника ABC дотикається до сторін BC, CA і AB у точках D, E і F відповідно. Доведіть, що прямі DX, EY і FZ перетинаються в одній точці на прямій IO, яка сполучає інцентр I та центр описаного кола O трикутника ABC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Естонська математична олімпіадаESTMO-2011-013

Прямокутник, вписаний єдиним способом

У прямокутнику ABCDABCD маємо ∣AB∣=a|AB| = a і ∣BC∣=b|BC| = b, де a≥ba \ge b. Нехай EE — внутрішня точка сторони ABAB така, що існує єдиний спосіб вибрати точки F,G,HF, G, H на сторонах BC,CD,DABC, CD, DA відповідно так, щоб EFGHEFGH також був прямокутником. Знайдіть відношення площ прямокутників EFGHEFGH і ABCDABCD.
11 класСиметрія
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2011-005

Правильність шестикутника за перетинами діагоналей

Розглянемо діагоналі A1A3A_1A_3, A2A4A_2A_4, A3A5A_3A_5, A4A6A_4A_6, A5A1A_5A_1 і A6A2A_6A_2 опуклого шестикутника A1A2A3A4A5A6A_1A_2A_3A_4A_5A_6. Шестикутник, вершинами якого є точки перетину цих діагоналей, є правильним. Чи можна зробити висновок, що шестикутник A1A2A3A4A5A6A_1A_2A_3A_4A_5A_6 також є правильним?
8–10 класиРівнобедрений та рівносторонній т…2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2011-008

Довжина хорди через перпендикулярні проєкції

Розглянемо гострокутний трикутник ABCABC та його описане коло. Нехай DD — точка на дузі ABAB, яка не містить точку CC, а A1A_1 і B1B_1 — точки на прямих DADA і DBDB відповідно, такі, що CA1⊥DACA_1 \perp DA і CB1⊥DBCB_1 \perp DB. Доведіть, що ∣AB∣≥∣A1B1∣|AB| \ge |A_1B_1|.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-009

Перетин прямих у прямокутнику

Нехай ABCDABCD — прямокутник, у якому AB=6AB = 6 і BC=4BC = 4. Нехай EE — точка на стороні BCBC, для якої BE=3BE = 3, а FF — точка на відрізку AEAE така, що FF лежить посередині між відрізками ABAB і CDCD. Якщо GG — точка перетину прямих DFDF і BCBC, знайдіть довжину відрізка BGBG.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-091

Кут у колі з правильними многокутниками

Нехай G,A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3,B4,B5G, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5} — десять точок на колі таких, що GA1A2A3A4G A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} — правильний п'ятикутник, а GB1B2B3B4B5G B_{1} B_{2} B_{3} B_{4} B_{5} — правильний шестикутник, причому B1B_{1} лежить на меншій дузі GA1G A_{1}. Нехай B5B3B_{5} B_{3} перетинає B1A2B_{1} A_{2} у точці G1G_{1}, а B5A3B_{5} A_{3} перетинає GB3G B_{3} у точці G2G_{2}. Знайдіть градусну міру ∠GG2G1\angle G G_{2} G_{1}.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-092

Зсув центроїда при відбитті відносно прямої

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=9AB = 9, BC=10BC = 10 і CA=17CA = 17. Нехай B′B' — образ точки BB при симетрії відносно прямої CACA. Нехай GG — центроїд трикутника ABCABC, а G′G' — центроїд трикутника AB′CAB'C. Знайдіть довжину відрізка GG′GG'.
10–11 класиТочка перетину медіан

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.