Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 352 задачі
АлгебраПослідовності і суми
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-073

Математичне сподівання у процесі з випадковим обнуленням

Лічильник спочатку показує 00. Потім щосекунди лічильник або збільшується на 11, або скидається до 00 з однаковою ймовірністю. Математичне сподівання значення лічильника через десять секунд можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа і НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть 100m+n100m+n.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-086

Рекурсивна функція на цілочисельній решітці

Функція f:Z2→Zf: \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z} задовольняє умови - f(x,0)=f(0,y)=0f(x, 0) = f(0, y) = 0, а - f(x,y)=f(x−1,y)+f(x,y−1)+x+yf(x, y) = f(x-1, y) + f(x, y-1) + x + y для всіх невід'ємних цілих чисел xx і yy. Знайдіть f(6,12)f(6,12).
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-087

Ряд із добутком цифр з цілою сумою

Для натуральних чисел nn нехай f(n)f(n) — добуток цифр числа nn. Знайдіть найбільше натуральне число mm таке, що ∑n=1∞f(n)m⌊log⁡10n⌋\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f(n)}{m^{\left\lfloor\log_{10} n\right\rfloor}} є цілим числом.
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-056

Випадкове блукання зі спадними кроками

Джефф гуляє числовою прямою протягом 40 хвилин, починаючи з точки 0. На nn-й хвилині він підкидає чесну монету. Якщо випадає герб, він проходить 1n\frac{1}{n} у додатному напрямі, а якщо випадає решка — проходить 1n\frac{1}{n} у від'ємному напрямі. Нехай pp — імовірність того, що він ніколи не покине проміжок [−2,2][-2,2]. Оцініть N=⌊104p⌋N=\left\lfloor 10^{4} p\right\rfloor. Оцінка EE отримає max⁡(0,⌊20−20(∣E−N∣160)1/3⌋)\max \left(0,\left\lfloor 20-20\left(\frac{|E-N|}{160}\right)^{1 / 3}\right\rfloor\right) балів.
10–11 класиРозбиття на випадки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-013

Послідовність з нерівністю на п’ять членів

2021 ціле число a1,a2,…,a2021a_1, a_2, \dots, a_{2021} задовольняє an+5+an>an+2+an+3a_{n+5} + a_n > a_{n+2} + a_{n+3} для всіх цілих n=1,…,2016n = 1, \dots, 2016. Знайдіть найменше значення різниці між найбільшим і найменшим серед чисел a1,a2,…,a2021a_1, a_2, \dots, a_{2021}.
10–11 класиСуми послідовностей
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-002

Ітероване усереднення дає цілі числа

На дошці написано три різні натуральні числа. Коли на дошці написано дійсні числа aa, bb, cc, розглянемо процедуру, яка одночасно замінює ці три числа на b+c2\frac{b+c}{2}, c+a2\frac{c+a}{2}, a+b2\frac{a+b}{2}. Після того як цю процедуру виконали 20212021 разів, усі три числа на дошці є натуральними числами. Знайдіть найменше можливе значення суми початкових трьох натуральних чисел на дошці.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-009

Дільники різниці сум для четвірок

Для всіх четвірок (x,y,z,w)(x, y, z, w) з цілих чисел 1≤x,y,z,w≤10001 \le x, y, z, w \le 1000 просумуємо найбільше значення з чисел xy+zwxy + zw, xz+ywxz + yw, xw+yzxw + yz і позначимо цю суму через MM. Аналогічно, для всіх четвірок (x,y,z,w)(x, y, z, w) з цілих чисел 1≤x,y,z,w≤10001 \le x, y, z, w \le 1000 просумуємо найменше значення з чисел xy+zwxy + zw, xz+ywxz + yw, xw+yzxw + yz і позначимо цю суму через mm. Знайдіть кількість додатних дільників числа M−mM - m.
10–11 класиСуми послідовностей
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-010

Подільність суми зростаючої послідовності

Доведіть, що для кожного натурального числа n≥3n \geq 3 існують натуральні числа a1<a2<…<ana_{1}<a_{2}<\ldots<a_{n} такі, що ak∣(a1+a2+…+an)a_{k} \mid\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right) для кожного k=1,2,…,nk=1,2, \ldots, n виконується.
10–11 класиМетод математичної індукції3 розв’язки
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2020-001

Вершини на колі з добутком сусідніх чисел

Для цілого n≥3n \ge 3 розглянемо коло з nn вершинами. Кожній вершині поставимо у відповідність натуральне число, причому ці числа не обов’язково мають бути різними. Таке призначення чисел називається стабільним, якщо добуток будь-яких трьох сусідніх чисел дорівнює nn. Для скількох значень nn, 3≤n≤20203 \le n \le 2020, існує стабільне призначення?
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-002

Послідовність із раціональним рекурентним співвідношенням

Для заданого значення tt розглядаємо числові послідовності a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots такі, що an+1=an+tan+1a_{n+1} = \frac{a_n + t}{a_n + 1} для всіх n≥1n \ge 1. a. Нехай t=2t = 2. Знайдіть усі початкові значення a1>0a_1 > 0 такі, що 43≤an≤32\frac{4}{3} \le a_n \le \frac{3}{2} виконується для всіх n≥2n \ge 2. b. Нехай t=−3t = -3. Дослідіть, чи a2020=a1a_{2020} = a_1 для всіх початкових значень a1a_1, відмінних від −1-1 і 11.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-008

Сума простих чисел з парними номерами

Нехай p1,p2,p3,…p_1, p_2, p_3, \dots — усі прості числа в порядку зростання. Доведіть, що p2+p4+⋯+p2n>3n2−2n+1p_2 + p_4 + \dots + p_{2n} > 3n^2 - 2n + 1 для кожного натурального числа nn.
11 класОзнаки подільності на 2, 3, …
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2020-004

Сума дробів із квадратами у знаменнику

Знайдіть значення виразу 1(12019)2+1+1(22018)2+1+1(32017)2+1+⋯+1(20182)2+1+1(20191)2+1\frac{1}{\left(\frac{1}{2019}\right)^2 + 1} + \frac{1}{\left(\frac{2}{2018}\right)^2 + 1} + \frac{1}{\left(\frac{3}{2017}\right)^2 + 1} + \dots + \frac{1}{\left(\frac{2018}{2}\right)^2 + 1} + \frac{1}{\left(\frac{2019}{1}\right)^2 + 1}
8–10 класиСуми послідовностей
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-008

Рекурентна послідовність і квадрати непарних чисел

Нехай (xn)n∈N\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} — дійсна послідовність така, що x0=0x_{0}=0 і x1=1x_{1}=1, а для всіх n⩾0n \geqslant 0 виконується xn+2=3xn+1−2xnx_{n+2}=3 x_{n+1}-2 x_{n}. Покладемо також yn=xn2+2n+2y_{n}=x_{n}^{2}+2^{n+2} для кожного невід'ємного цілого nn. Доведіть, що для кожного цілого n>0n>0 число yny_{n} є квадратом непарного цілого числа.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-086

Сума рекурентно означеної послідовності

Нехай nn — натуральне число. Означимо послідовність рівностями a0=1a_{0}=1, a2i+1=aia_{2i+1}=a_{i} і a2i+2=ai+ai+1a_{2i+2}=a_{i}+a_{i+1} для кожного i≥0i \geq 0. Знайдіть із доведенням значення a0+a1+a2+⋯+a2n−1a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2^{n}-1}.
10–11 класиСуми послідовностей2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-108

Стопка циліндрів із відношенням площ поверхонь

Гарвард нещодавно збудував новий будинок для своїх студентів, що складається з nn поверхів, де kk-й поверх зверху можна змоделювати як циліндр заввишки 1 метр із радіусом kk метрів. Відомо, що площа всіх бічних поверхонь (тобто поверхонь зовнішніх вертикальних стін) будівлі становить 35 відсотків повної площі поверхні будівлі (включно з дном). Обчисліть nn.
10–11 класиПлоща кола і його частин
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-119

Подвійна сума за простими дільниками

Для натуральних чисел nn і kk нехай ℧(n,k)\mho(n, k) — кількість різних простих дільників числа nn, які не менші за kk. Наприклад, ℧(90,3)=2\mho(90,3)=2, оскільки єдиними простими дільниками числа 9090, які не менші за 33, є 33 і 55. Знайдіть ціле число, найближче до ∑n=1∞∑k=1∞℧(n,k)3n+k−7\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\mho(n, k)}{3^{n+k-7}}
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-098

Вкладені модулі 2019 з x, y та відношення x/y

Додатні дійсні числа xx і yy задовольняють ∣∣⋯∣∣∣x∣−y∣−x∣⋯−y∣−x∣=∣∣⋯∣∣∣y∣−x∣−y∣⋯−x∣−y∣||\cdots|||x|-y|-x| \cdots-y|-x|=||\cdots|||y|-x|-y| \cdots-x|-y| де з кожного боку є 2019 знаків модуля ∣⋅∣|\cdot|. Знайдіть з доведенням усі можливі значення xy\frac{x}{y}.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-123

Інтерполяційний многочлен у новій точці

Нехай P(x)P(x) — єдиний многочлен степеня не вище 20202020, такий, що P(k2)=kP\left(k^{2}\right)=k для k=0,1,2,…,2020k=0,1,2, \ldots, 2020. Обчисліть P(20212)P\left(2021^{2}\right).
10–11 класиІнтерполяційні многочлени2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-114

Процес заміни середнім у геометричній прогресії

Очікуючи на наступне заняття на Кілліан-Корті, Алеша та Белінда обидві записують на аркуші паперу ту саму послідовність SS, де SS — строго зростаюча геометрична прогресія з 2020 членів із цілим знаменником rr. Щосекунди Алеша стирає два найменші члени на своєму аркуші й замінює їх їхнім середнім геометричним, а Белінда стирає два найбільші члени на своєму аркуші й замінює їх їхнім середнім геометричним. Вони продовжують цей процес, доки в Алеші не залишиться єдине значення AA, а в Белінди — єдине значення BB. Нехай r0r_{0} — найменше значення rr, таке, що AB\frac{A}{B} є цілим числом. Якщо dd — кількість додатних дільників числа r0r_{0}, чому дорівнює найближче ціле число до log⁡2d\log _{2} d?
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-144

Очікувана абсолютна різниця гербів і решок

Макс раз за разом підкидає симетричну монету в ураган. При кожному кидку є 4%4\% шанс, що монету знесе вітром. Він записує кількість гербів HH і кількість решок TT до втрати монети. (Якщо монету знесло під час кидка, результат цього кидка не записується.) Чому дорівнює математичне сподівання величини ∣H−T∣|H-T|?
10–11 класиСуми послідовностей3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-085

Послідовність, задана рекурентним співвідношенням з цілою частиною

Послідовність натуральних чисел a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots задовольняє an+1=n⌊ann⌋+1a_{n+1}=n\left\lfloor\frac{a_{n}}{n}\right\rfloor+1 для всіх натуральних чисел nn. Якщо a30=30a_{30}=30, скільки можливих значень може набувати a1a_{1}? (Для дійсного числа xx через ⌊x⌋\lfloor x\rfloor позначається найбільше ціле число, яке не перевищує xx.)
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-024

Біноміальні коефіцієнти з повторюваними значеннями

Число 30033003 — єдине відоме число, яке трапляється в трикутнику Паскаля вісім разів, у позиціях: (30031),(30033002),(a2),(aa−2),(15b),(1515−b),(146),(148)\binom{3003}{1},\binom{3003}{3002},\binom{a}{2},\binom{a}{a-2},\binom{15}{b},\binom{15}{15-b},\binom{14}{6},\binom{14}{8} Обчисліть a+b(15−b)a+b(15-b).
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-031

Очікувана кількість кидків дротиків до малого кола

Венді грає в дартс із круглою мішенню радіуса 2020. Щоразу, коли вона кидає дротик, він влучає у випадкову рівномірно розподілену точку мішені. На початку гри на мішені вже випадково розміщено 20202020 дротиків. Кожного ходу вона бере дротик, найдальший від центра, і кидає його в мішень знову. Чому дорівнює очікувана кількість кидків, які вона має зробити, перш ніж усі дротики опиняться в межах 1010 одиниць від центра?
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-033

Сума обернених чисел із цілою умовою на функцію Ейлера

Нехай φ(n)\varphi(n) позначає кількість натуральних чисел, не більших за nn, які взаємно прості з nn. Нехай SS — множина натуральних чисел nn таких, що 2nφ(n)\frac{2 n}{\varphi(n)} є цілим числом. Обчисліть суму ∑n∈S1n\sum_{n \in S} \frac{1}{n}
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-042

Багатократна сума чисел Фібоначчі

Числа Фібоначчі визначено як F0=0F_{0}=0, F1=1F_{1}=1 і Fn=Fn−1+Fn−2F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} для n≥2n \geq 2. Існують єдині натуральні числа n1n_{1}, n2n_{2}, n3n_{3}, n4n_{4}, n5n_{5}, n6n_{6} такі, що ∑i1=0100∑i2=0100∑i3=0100∑i4=0100∑i5=0100Fi1+i2+i3+i4+i5=Fn1−5Fn2+10Fn3−10Fn4+5Fn5−Fn6\sum_{i_{1}=0}^{100} \sum_{i_{2}=0}^{100} \sum_{i_{3}=0}^{100} \sum_{i_{4}=0}^{100} \sum_{i_{5}=0}^{100} F_{i_{1}+i_{2}+i_{3}+i_{4}+i_{5}}=F_{n_{1}}-5 F_{n_{2}}+10 F_{n_{3}}-10 F_{n_{4}}+5 F_{n_{5}}-F_{n_{6}} Знайдіть n1+n2+n3+n4+n5+n6n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}+n_{5}+n_{6}.
10–11 класиЧисла Фібоначі

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.