Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 140 задач
ГеометріяВизначні точки та лінії трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-060

Чотирикутник з фіксованими кутами і сторонами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якому ∠ABD=105∘\angle ABD = 105^{\circ}, ∠ADB=15∘\angle ADB = 15^{\circ}, AC=7AC = 7 і BC=CD=5BC = CD = 5. Обчисліть суму всіх можливих значень довжини діагоналі BDBD.
10–11 класиОписане коло
Відбіркові тести на IMOTST-2023-003

Діаметрально протилежна точка як центр описаного кола

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, у якому ∣AB∣<∣AC∣<∣BC∣|AB| < |AC| < |BC|, а Γ\Gamma — його описане коло з центром OO. Нехай ω1\omega_1 — коло з центром BB і радіусом ∣AC∣|AC|, а ω2\omega_2 — коло з центром CC і радіусом ∣AB∣|AB|. Кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинаються в точці EE такій, що AA і EE лежать по різні боки від прямої BCBC. Кола Γ\Gamma і ω1\omega_1 перетинаються в точці FF, а кола Γ\Gamma і ω2\omega_2 перетинаються в точці GG, такій, що FF і GG лежать з того самого боку від прямої BCBC, що й EE. Доведіть, що точка KK, діаметрально протилежна точці AA на колі Γ\Gamma, є центром описаного кола трикутника △EFG\triangle EFG. Точка KK, діаметрально протилежна точці AA, — це єдина точка на колі така, що AKAK — діаметр.
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-020

Трикутник із центроїдом та кутовою умовою

Нехай ABCABC — трикутник із центроїдом GG. Точки RR і SS вибрано на променях GBGB та GCGC відповідно так, що ∠ABS=∠ACR=180∘−∠BGC.\angle ABS = \angle ACR = 180^\circ - \angle BGC. Доведіть, що ∠RAS+∠BAC=∠BGC\angle RAS + \angle BAC = \angle BGC.
10–11 класиТочка перетину медіан
Відбіркові тести на IMOTST-2023-014

Відстані від зовнівписаного центра і центра описаного кола

У трикутнику △ABC\triangle ABC, де ∠ABC<∠BCA\angle ABC < \angle BCA, позначимо через KK центр зовнівписаного кола, яке дотикається до сторони ACAC. Прямі AKAK і BCBC перетинаються в точці DD. Нехай EE — центр описаного кола трикутника △BKC\triangle BKC. Доведіть, що 1∣KA∣=1∣KD∣+1∣KE∣\frac{1}{|KA|} = \frac{1}{|KD|} + \frac{1}{|KE|}
10–11 класиЗовнівписане коло
Відбіркові тести на IMOTST-2023-033

Умова описаного кола для рівнобедреного трикутника

Нехай ABCABC і AMNAMN — два подібні трикутники з однаковою орієнтацією, які не накладаються один на одного, такі, що AB=ACAB = AC і AM=ANAM = AN. Нехай OO — центр описаного кола трикутника MABMAB. Доведіть, що точки OO, CC, NN і AA лежать на одному колі тоді й лише тоді, коли трикутник ABCABC є рівностороннім.
10–11 класиПоворот
Відбіркові тести на IMOTST-2023-027

Середина PQ на прямій Ейлера

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник, а PP і QQ — дві різні точки в його внутрішній області. Припустимо, що бісектриси кутів ∠PAQ\angle PAQ, ∠PBQ\angle PBQ і ∠PCQ\angle PCQ є висотами трикутника ABCABC. Доведіть, що середина відрізка PQ‾\overline{PQ} лежить на прямій Ейлера трикутника ABCABC.
10–11 класиПряма Ейлера3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2023-031

Перетин відрізків і рівні периметри у рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 11. Точки A1A_1 і A2A_2 вибрані на стороні BCBC, точки B1B_1 і B2B_2 вибрані на стороні CACA, а точки C1C_1 і C2C_2 вибрані на стороні ABAB так, що BA1<BA2BA_1 < BA_2, CB1<CB2CB_1 < CB_2 і AC1<AC2AC_1 < AC_2. Припустимо, що три відрізки B1C2B_1C_2, C1A2C_1A_2 і A1B2A_1B_2 перетинаються в одній точці, а периметри трикутників AB2C1AB_2C_1, BC2A1BC_2A_1 і CA2B1CA_2B_1 рівні між собою. Знайдіть усі можливі значення цього спільного периметра.
10–11 класиВписане коло
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-014

Перпендикулярність у конфігурації з медіаною та проєкціями

У гострокутному трикутнику ABCABC нехай DD, EE і FF — середини сторін BCBC, CACA і ABAB відповідно. Нехай XX і YY — основи перпендикулярів, проведених із DD до сторін ABAB і ACAC відповідно. Пряма, що проходить через FF і паралельна прямій XYXY, перетинає пряму DYDY в точці PP, відмінній від EE. Доведіть, що пряма ADAD і пряма EPEP перпендикулярні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-002

Бісектриса кута в паралелограмі з центроїдом

Нехай ABCDABCD — паралелограм, а GG — точка перетину медіан трикутника ABDABD. Нехай PP і QQ — точки прямої (BD)(BD) такі, що прямі (GP)(GP) і (PC)(PC) перпендикулярні, а прямі (GQ)(GQ) і (QC)(QC) перпендикулярні. Доведіть, що пряма (AG)(AG) є бісектрисою кута PAQ^\widehat{PAQ}.
9–11 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-040

Перетин прямих на описаному колі через бісектрису

Нехай ABCABC — трикутник, а Ω\Omega — його описане коло. Нехай DD — основа висоти, проведеної з вершини AA. Бісектриса, проведена з вершини AA, перетинає відрізок [BC][BC] у точці PP і вдруге перетинає коло Ω\Omega у точці SS. Нехай A′A' — точка, діаметрально протилежна вершині AA на колі Ω\Omega. Доведіть, що прямі (SD)(SD) і (A′P)(A'P) перетинаються на колі Ω\Omega.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-088

Хорда, дотична до вписаного кола в трикутнику

Нехай трикутник ABCA B C — гострокутний з описаним колом Γ\Gamma. Нехай XX і YY — середини менших дуг AB^\widehat{A B} і AC^\widehat{A C} кола Γ\Gamma відповідно. Якщо пряма XYX Y дотикається до вписаного кола трикутника ABCA B C і радіус кола Γ\Gamma дорівнює RR, знайдіть із доведенням довжину відрізка XYX Y через RR.
10–11 класиТеорема про тризуб
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-092

Центроїд і перетин паралельних прямих

Нехай ABCABC — трикутник з центроїдом GG, а EE і FF — точки на стороні BCBC такі, що BE=EF=FCBE = EF = FC. Точки XX і YY лежать на прямих ABAB і ACAC відповідно так, що XX, YY і GG не лежать на одній прямій. Якщо пряма через EE, паралельна до прямої XGXG, і пряма через FF, паралельна до прямої YGYG, перетинаються в точці P≠GP \neq G, доведіть, що пряма GPGP проходить через середину відрізка XYXY.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-079

Описане коло трикутника з вкладених многокутників

На площині рівносторонній трикутник ABCA B C, квадрат BCDEB C D E і правильний дванадцятикутник DEFGHIJKLMNOD E F G H I J K L M N O мають довжину сторони 11 і не накладаються один на одного. Знайдіть площу круга, описаного навколо трикутника △AFN\triangle A F N.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-094

Рівні хорди на сторонах трикутника

На площині задано трикутник XYZX Y Z та коло ω\omega радіуса 22, таке, що ω\omega перетинає відрізок XY‾\overline{X Y} у точках A,BA, B, відрізок YZ‾\overline{Y Z} у точках C,DC, D та відрізок ZX‾\overline{Z X} у точках E,FE, F. Припустімо, що XB>XAX B > X A, YD>YCY D > Y C і ZF>ZEZ F > Z E. Крім того, XA=1X A = 1, YC=2Y C = 2, ZE=3Z E = 3 і AB=CD=EFA B = C D = E F. Обчисліть довжину відрізка ABA B.
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-130

Чотирикутник з центрів описаних кіл у квадраті

Точка PP міститься всередині квадрата ABCDA B C D зі стороною 1010. Нехай O1,O2,O3,O4O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4} — центри описаних кіл трикутників PABP A B, PBCP B C, PCDP C D і PDAP D A відповідно. Відомо, що PA+PB+PC+PD=232P A + P B + P C + P D = 23 \sqrt{2}, а площа чотирикутника O1O2O3O4O_{1} O_{2} O_{3} O_{4} дорівнює 5050; друге за величиною серед довжин O1O2,O2O3,O3O4,O4O1O_{1} O_{2}, O_{2} O_{3}, O_{3} O_{4}, O_{4} O_{1} можна записати як ab\sqrt{\frac{a}{b}}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-131

Еліпс і парабола з ортоцентром

Нехай E\mathcal{E} — еліпс з фокусами AA і BB. Припустімо, що існує парабола P\mathcal{P} така, що - P\mathcal{P} проходить через AA і BB, - фокус FF параболи P\mathcal{P} лежить на еліпсі E\mathcal{E}, - ортоцентр HH трикутника △FAB\triangle F A B лежить на директрисі параболи P\mathcal{P}. Якщо довжини великої та малої осей еліпса E\mathcal{E} дорівнюють 5050 і 1414 відповідно, обчисліть AH2+BH2A H^{2}+B H^{2}.
10–11 класиРадикальна вісь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-036

Максимум синуса B за умови із зовнівписаним колом

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з AA-зовнівписаним колом Γ\Gamma. Нехай пряма через AA, перпендикулярна до BCBC, перетинає BCBC в точці DD і перетинає Γ\Gamma в точках EE та FF. Припустимо, що AD=DE=EFAD = DE = EF. Якщо максимальне значення sin⁡B\sin B можна записати у вигляді a+bc\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{c} для натуральних чисел a,ba, b і cc, обчисліть найменше можливе значення a+b+ca+b+c.
10–11 класиЗовнівписане коло
Відбіркові тести на IMOTST-2022-004

Центри описаних кіл у трикутнику з висотами

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якого ∣AB∣>∣CA∣>∣BC∣|AB| > |CA| > |BC|. Нехай DD, EE і FF — основи висот, проведених з AA, BB і CC відповідно. Пряма через FF, паралельна до прямої DEDE, перетинає BCBC у точці MM. Бісектриса кута ∠MFE\angle MFE перетинає DEDE у точці NN. Доведіть, що FF є центром описаного кола трикутника △DMN\triangle DMN тоді й лише тоді, коли BB є центром описаного кола трикутника △FMN\triangle FMN.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2022-012

Коло, дотичне до трьох одиничних кіл

Три кола одиничного радіуса попарно дотикаються одне до одного, а четверте коло дотикається до всіх трьох і не містить їх усередині. Чому дорівнює радіус четвертого кола? (A) 3+124\frac{\sqrt{3}+1}{24} (B) 18\frac{1}{8} (C) 312\frac{\sqrt{3}}{12} (D) 233−1\frac{2 \sqrt{3}}{3}-1 (E) 3−14\frac{\sqrt{3}-1}{4}
10–11 класиКола, що дотикаються
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2022-010

Трикутник з ортоцентром і умовою на описане коло

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник зі сторонами AB=11AB = 11, AC=10AC = 10, ортоцентр позначено через HH, а середину сторони BCBC — через MM. Точка PP всередині трикутника ABCABC лежить на описаному колі трикутника BHCBHC і задовольняє ∠ABP=∠CPM\angle ABP = \angle CPM, PM=3PM = 3. Знайдіть довжину BCBC.
10–11 класиТочка перетину висот
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2022-005

Рівносторонній трикутник у прямокутнику

ABCDABCD — прямокутник зі сторонами AB=CD=1AB = CD = 1 і BC=DA=2BC = DA = 2. Нехай MM — середина сторони ADAD. Точка PP лежить з протилежного від AA боку прямої MBMB так, що трикутник MBPMBP — рівносторонній. Знайдіть величину ∠PCB\angle PCB.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2022-003

Дотичні до вписаного кола і рівність відрізків

Трикутник ABCABC з прямим кутом при BB має інцентр II. Точки DD, EE і FF — це точки, в яких вписане коло трикутника дотикається до сторін BCBC, ACAC і ABAB відповідно. Прямі CICI і EFEF перетинаються в точці PP. Прямі DPDP і ABAB перетинаються в точці QQ. Доведіть, що AQ=BFAQ = BF.
10–11 класиВписане коло
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-001

Діаметр кола та відношення відрізків

Нехай kk — коло з центром MM, а ABA B — діаметр кола kk. Крім того, нехай CC — точка на колі kk така, що AC=AMA C = A M. Нехай DD — точка на прямій ACA C така, що CD=ABC D = A B і CC лежить між AA і DD. Нехай EE — друга точка перетину описаного кола трикутника BCDB C D з прямою ABA B, а FF — точка перетину прямих EDE D і BCB C. Пряма AFA F перетинає відрізок BDB D у точці XX. Знайдіть відношення BX/XDB X / X D.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-006

Перпендикулярність інцентрів на стороні трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, а PP — внутрішня точка сторони BCBC. Нехай I1I_{1} та I2I_{2} — інцентри трикутників APBAPB і APCAPC відповідно. Нехай XX — найближча до AA точка на прямій APAP така, що відрізок XI1XI_{1} перпендикулярний до відрізка XI2XI_{2}. Доведіть, що відстань AXAX не залежить від вибору PP.
10–11 класиВписане коло
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-030

Площа описаного кола рівнобедреного трикутника

Рівнобедрений трикутник ABCABC має AB=AC=36AB = AC = 3\sqrt{6}, а коло радіуса 525\sqrt{2} дотикається до прямої ABAB у точці BB і до прямої ACAC у точці CC. Чому дорівнює площа круга, обмеженого колом, яке проходить через вершини AA, BB і CC? (A) 24π24\pi (B) 25π25\pi (C) 26π26\pi (D) 27π27\pi (E) 28π28\pi
8–10 класиОписане коло

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.