Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 203 задачі
КомбінаторикаБазові формули комбінаторики
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-004

Підрахунок кіл і обгонів на круговій трасі

У місті Кордісбургу відбулася велосипедна гонка на круговому треку, в якій взяли участь троє велосипедистів — Гімарайнш, Роза і Жуан. За першу годину гонки Гімарайнш проїхав рівно 230 повних кіл, Жуан проїхав рівно 111 повних кіл, а скільки кіл проїхала Роза — невідомо, відомо лише, що це ціле число і що Роза проїхала більше кіл, ніж Жуан, і менше, ніж Гімарайнш. Крім того, кожен із них їхав зі сталою швидкістю, і всі стартували разом з однієї точки. Враховуючи також обгони, здійснені в початковий момент, скільки всього обгонів було здійснено за цю першу годину гонки?
10–11 класиІнші інваріанти
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-009

Перетворення кота на собаку трьома машинами

Професор Гільєрме створив три дивні машини. Машина AA перетворює кота на собаку з імовірністю 13\frac{1}{3}. Машина BB перетворює кота на собаку з імовірністю 25\frac{2}{5}. Машина CC перетворює кота на собаку з імовірністю 14\frac{1}{4}. А якщо тварина — собака, жодна з машин не виконує жодного перетворення. Професор Гільєрме помістив кота в машину AA, потім помістив тварину, отриману з машини AA, в машину BB і, нарешті, помістив тварину, отриману з машини BB, в машину CC. Яка ймовірність того, що з машини CC вийшов собака?
10–11 класиПравила суму та добутку
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-023

Найбільше зигзагоподібне число

Натуральне число називається зигзагоподібним, якщо воно задовольняє такі три умови: - Його цифри ненульові й різні. - Воно не має трьох послідовних цифр у порядку зростання. - Воно не має трьох послідовних цифр у порядку спадання. Наприклад, 1438514385 і 29172917 — зигзагоподібні, а 25642564 і 7154471544 — ні. a) Знайдіть найбільше зигзагоподібне число. b) Скільки існує чотирицифрових зигзагоподібних чисел?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2012-004

Перестановки з умовою на суму індексів

Нехай nn — натуральне число, кратне 4. Розглянемо перестановки (a1,a2,…,an)(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) чисел (1,2,…,n)(1,2, \ldots, n) з такою властивістю: для кожного jj виконується: якщо взяти i=aji=a_{j}, то ai+j=n+1a_{i}+j=n+1. Доведіть, що існує рівно (12n)!(14n)!\frac{\left(\frac{1}{2} n\right)!}{\left(\frac{1}{4} n\right)!} таких перестановок.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-067

Трикутники з відрізків-степенів двійки

Дано по два відрізки довжини 2n2^{n} для кожного цілого 0≤n≤100 \leq n \leq 10. Скільки різних невироджених трикутників можна утворити з трьох із цих відрізків? Два трикутники вважаються різними, якщо вони не рівні.
10–11 класиНерівність трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-047

Трійки дільників з умовою на добуток

Знайдіть кількість впорядкованих трійок дільників (d1,d2,d3)\left(d_{1}, d_{2}, d_{3}\right) числа 360360 таких, що d1d2d3d_{1} d_{2} d_{3} також є дільником числа 360360.
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-004

Розкладання шкарпеток із забороною сусідства кольорів

Луна має нескінченний запас червоних, синіх, помаранчевих і зелених шкарпеток. Вона хоче викласти 20122012 шкарпеток у ряд так, щоб жодна червона шкарпетка не була сусідньою із синьою, а жодна помаранчева — із зеленою. Скількома способами вона може це зробити?
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-104

Шляхи на решітці в обхід точок з непарними координатами

Жаба перебуває в точці (0,0)(0,0). Щосекунди вона може стрибнути на одиницю або вгору, або вправо. Вона може потрапляти лише в точки (x,y)(x, y), де xx і yy не є одночасно непарними. Скількома способами вона може дістатися до точки (8,14)(8,14)?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-049

Найбільший добуток логарифмів перестановки

Нехай π\pi — перестановка чисел від 22 до 20122012. Знайдіть найбільше можливе значення log⁡2π(2)⋅log⁡3π(3)⋯log⁡2012π(2012)\log_{2} \pi(2) \cdot \log_{3} \pi(3) \cdots \log_{2012} \pi(2012).
10–11 класиПеретворення показникових і логар…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-039

Ймовірність збігу значень на кубиках

Якщо кинути чотири правильні шестигранні гральні кубики, яка ймовірність того, що принаймні три з них покажуть однакове значення?
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-050

Імовірність подвійного застосування перестановки

Нехай π\pi — навмання вибрана перестановка чисел від 11 до 20122012. Знайдіть імовірність того, що π(π(2012))=2012\pi(\pi(2012)) = 2012.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-040

Три тури, що не б'ють одна одну, на дошці 6×6

Скільки існує способів розставити три нерозрізнювані тури на дошці 6×66 \times 6 так, щоб жодні дві тури не били одна одну? (Дві тури б'ють одна одну тоді й лише тоді, коли вони стоять в одному рядку або в одному стовпці.)
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-105

Ґратчасті шляхи з поворотами без повторних точок

Запаморочена Дейзі стоїть у точці (0,0)(0,0) на площині xyxy й намагається дістатися до точки (6,6)(6,6). Спочатку вона дивиться праворуч і робить крок на 1 одиницю вперед. Кожної наступної секунди вона або робить крок на 1 одиницю вперед, або повертає на 90 градусів проти годинникової стрілки, а потім робить крок на 1 одиницю вперед. Вона ніколи не може заходити в точку поза квадратом, заданим нерівностями ∣x∣≤6,∣y∣≤6|x| \leq 6, |y| \leq 6, а також ніколи не може заходити в ту саму точку двічі. Скільки різних шляхів може обрати Дейзі?
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-106

Сума транспозиційних відстаней для перестановок семи елементів

Для перестановки σ\sigma чисел 1,2,…,71,2, \ldots, 7 транспозицією називається обмін двох елементів місцями. (Наприклад, до перестановки 3,7,1,4,5,6,23,7,1,4,5,6,2 можна застосувати транспозицію й отримати 3,7,6,4,5,1,23,7,6,4,5,1,2, помінявши місцями 11 і 66.) Нехай f(σ)f(\sigma) — найменша кількість транспозицій, необхідна, щоб перетворити σ\sigma на перестановку 1,2,3,4,5,6,71,2,3,4,5,6,7. Знайдіть суму f(σ)f(\sigma) за всіма перестановками σ\sigma чисел 1,2,…,71,2, \ldots, 7.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-052

Очікувані перетини у випадковому многокутнику

Нехай A1A2…A100A_{1} A_{2} \ldots A_{100} — вершини правильного 100-кутника. Нехай π\pi — навмання вибрана перестановка чисел від 1 до 100. Проведено відрізки Aπ(1)Aπ(2),Aπ(2)Aπ(3),…,Aπ(99)Aπ(100),Aπ(100)Aπ(1)A_{\pi(1)} A_{\pi(2)}, A_{\pi(2)} A_{\pi(3)}, \ldots, A_{\pi(99)} A_{\pi(100)}, A_{\pi(100)} A_{\pi(1)}. Знайдіть математичне сподівання кількості пар відрізків, які перетинаються у внутрішній точці 100-кутника.
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-079

Перемоги в грі камінь-ножиці за оптимальної стратегії

Гру «камінь–ножиці» грають так само, як «камінь–ножиці–папір», за винятком того, що жодному з гравців не дозволено грати папір. Ви граєте проти невдало запрограмованого комп’ютера, який грає камінь з 50%50\% ймовірністю та ножиці з 50%50\% ймовірністю. Якщо ви граєте оптимально проти комп’ютера, знайдіть імовірність того, що після 8 ігор ви виграєте принаймні 4.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-042

Зважена сума з умовою подільності

Знайдіть кількість впорядкованих наборів із 20122012 цілих чисел (x1,x2,…,x2012)(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2012}), кожне з яких лежить між 00 і 20112011 включно, таких, що сума x1+2x2+3x3+⋯+2012x2012x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + \cdots + 2012x_{2012} ділиться на 20122012.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-080

Ймовірність у грі камінь-ножиці-папір-ящірка-Спок

У грі «камінь-ножиці-папір-ящірка-Спок» камінь перемагає ножиці та ящірку, папір перемагає камінь і Спока, ножиці перемагають папір і ящірку, ящірка перемагає папір і Спока, а Спок перемагає камінь і ножиці, як показано на діаграмі нижче. Як і раніше, якщо двоє гравців обирають однаковий хід, то це нічия. Якщо троє людей одночасно грають у «камінь-ножиці-папір-ящірку-Спока», обираючи навмання один із п’яти ходів, яка ймовірність того, що один гравець переможе двох інших?
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-082

Очікувана кількість раундів у грі камінь-ножиці-папір

У грі «камінь–ножиці–папір» з nn учасниками для визначення чемпіона використовують такі правила: a. У раунді кожен ще не вибулий учасник навмання обирає один із ходів — камінь, папір або ножиці. b. Якщо принаймні один учасник зіграв камінь, принаймні один учасник зіграв папір і принаймні один учасник зіграв ножиці, то раунд оголошують нічиєю і нікого не вилучають. Якщо всі зробили однаковий хід, то раунд також оголошують нічиєю. c. Якщо представлено рівно два ходи, то всі, хто зробив хід, що програє, вибувають з гри в усіх подальших раундах (наприклад, у грі з 8 людьми, якщо 5 людей зіграли камінь, а 3 людей зіграли ножиці, то 3, що зіграли ножиці, вибувають). d. Раунди тривають, доки не залишиться лише один не вибулий учасник. Його оголошують чемпіоном, і гра завершується. Якщо гра починається з 4 учасників, чому дорівнює математичне сподівання кількості раундів, потрібних для визначення чемпіона?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-012

Виграшні руки проти фіксованого набору

Нот готовий зіграти проти Гаммадорфа в карткову гру. У цій грі є колода з двадцяти карт, пронумерованих від 11 до 2020. Кожен гравець починає з рукою з п'яти карт, взятих із цієї колоди. У кожному раунді Гаммадорф грає карту зі своєї руки, а потім Нот грає карту зі своєї руки. Той, хто зіграв карту з більшим значенням, отримує очко. Наприкінці п'яти раундів перемагає гравець із найбільшою кількістю очок. Якщо Гаммадорф починає з рукою 1,5,10,15,201,5,10,15,20, скільки рук з п'яти карт серед п'ятнадцяти карт, що залишилися, може витягнути Нот, щоб завжди перемагати (за умови оптимальної гри)?
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-016

Випадковий чотирикутник з усіма додатними нахилами

Нехай AA, BB, CC і DD — точки, вибрані незалежно й рівномірно всередині одиничного квадрата. Яка ймовірність того, що всі шість прямих AB‾\overline{AB}, AC‾\overline{AC}, AD‾\overline{AD}, BC‾\overline{BC}, BD‾\overline{BD} і CD‾\overline{CD} мають додатний нахил?
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-025

Випадкове блукання на торичній шаховій дошці

ФемтоПравіс гуляє шаховою дошкою 8×88 \times 8, яка загортається по краях (тобто клітинки лівого краю дошки суміжні з клітинками правого краю, і так само для верхнього та нижнього країв). Кожну фемтосекунду ФемтоПравіс переміщується в одному з чотирьох діагональних напрямів рівноймовірно навмання. Через 2012 фемтосекунд яка ймовірність того, що ФемтоПравіс перебуває на своїй початковій клітинці?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-027

Комутативні нетривіальні перестановки множини

Нехай SS — множина {1,2,…,2012}\{1,2, \ldots, 2012\}. Перфектутацією назвемо бієктивну функцію hh з SS в себе таку, що існує a∈Sa \in S з h(a)≠ah(a) \neq a, і що для будь-якої пари цілих чисел a∈Sa \in S і b∈Sb \in S таких, що h(a)≠a,h(b)≠bh(a) \neq a, h(b) \neq b, існує натуральне число kk таке, що hk(a)=bh^{k}(a)=b. Нехай nn — кількість впорядкованих пар перфектутацій (f,g)(f, g) таких, що f(g(i))=g(f(i))f(g(i))=g(f(i)) для всіх i∈Si \in S, але f≠gf \neq g. Знайдіть остачу від ділення nn на 2011.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-031

Префікс перестановки як початковий відрізок

Нехай S7S_{7} позначає всі перестановки чисел 1,2,…,71,2, \ldots, 7. Для будь-якої π∈S7\pi \in S_{7} нехай f(π)f(\pi) — найменше натуральне число ii таке, що π(1),π(2),…,π(i)\pi(1), \pi(2), \ldots, \pi(i) є перестановкою чисел 1,2,…,i1,2, \ldots, i. Обчисліть ∑π∈S7f(π)\sum_{\pi \in S_{7}} f(\pi).
10–11 класиПерестановки
Відбіркові тести на IMOTST-2012-022

Середні пар у множині дійсних чисел

Нехай n≥6n \geq 6 — натуральне число. Розглянемо множину SS з nn різних дійсних чисел. Доведіть, що існує принаймні n−1n-1 різних двоелементних підмножин множини SS таких, що середнє арифметичне обох елементів у кожній із цих підмножин принаймні дорівнює середньому арифметичному всіх елементів множини SS.
10–11 класиМетод математичної індукції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.