Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 140 задач
ГеометріяВизначні точки та лінії трикутника
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-003

Опуклий п'ятикутник з прямими кутами

Нехай ABCDEA B C D E — опуклий п'ятикутник такий, що ABE^=ACE^=ADE^=90∘\widehat{A B E}=\widehat{A C E}=\widehat{A D E}=90^{\circ} і BC=CDB C=C D. Нарешті, нехай KK — точка на промені [AB)[A B) така, що AK=ADA K=A D, а LL — точка на промені [ED)[E D) така, що EL=BEE L=B E. Доведіть, що точки B,D,KB, D, K і LL належать одному колу з центром CC.
8–10 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-021

Конкурентність у колах рівнобедреного трикутника

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з вершиною AA, а DD — точка відрізка [BC][BC] така, що BD≠CDBD \neq CD. Нехай PP і QQ — ортогональні проєкції DD на прямі (AB)(AB) і (AC)(AC). Нарешті, нехай EE — точка перетину, відмінна від AA, описаних кіл трикутників ABCABC і APQAPQ. Доведіть, що якщо прямі (EP)(EP), (AC)(AC) і серединний перпендикуляр до відрізка [PQ][PQ] перетинаються в одній точці, то трикутник ABCABC має прямий кут при вершині AA.
10–11 класиСиметрія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-002

Перпендикуляр із симетричної точки у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник. Позначимо через HAH_{A} основу висоти трикутника ABCABC, проведеної з AA, а через A′A' — середину відрізка [BC][BC]. Далі позначимо через QAQ_{A} точку, симетричну HAH_{A} відносно A′A'. Аналогічно визначимо точки QBQ_{B} і QCQ_{C}. Нарешті, позначимо через RR точку перетину, відмінну від QAQ_{A}, описаних кіл трикутників QAQBCQ_{A} Q_{B} C і QABQCQ_{A} B Q_{C}. Доведіть, що прямі (QAR)\left(Q_{A} R\right) і (BC)(BC) перпендикулярні.
9–11 класиТочка перетину висот2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-007

Коло, дотичне до сторін прямокутного трикутника

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник, у якому ∠A=90∘\angle A = 90^{\circ}. Коло ω\omega з центром на гіпотенузі BCBC дотикається до катета ABAB у точці DD та до катета ACAC у точці EE. Нехай FF і GG — точки перетину кола ω\omega і гіпотенузи BCBC, причому FF лежить між BB і GG. Якщо прямі DGDG і EFEF перетинаються в точці XX, доведіть, що AX=ADAX = AD.
10–11 класиЦентральні і вписані кути5 розв’язків
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-121

Перетин описаних кіл у трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція, у якої AB∥CDAB \parallel CD, AB=5AB=5, BC=9BC=9, CD=10CD=10 і DA=7DA=7. Прямі BCBC і DADA перетинаються в точці EE. Нехай MM — середина відрізка CDCD, а NN — точка перетину описаних кіл △BMC\triangle BMC і △DMA\triangle DMA, відмінна від MM. Якщо EN2=abEN^{2}=\frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb, обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-123

Трикутник з рівними відстанями від центра описаного кола

У трикутнику ABCA B C нехай MM — середина сторони BCB C, HH — ортоцентр, а OO — центр описаного кола. Нехай NN — точка, симетрична MM відносно HH. Припустімо, що OA=ON=11O A = O N = 11 і OH=7O H = 7. Обчисліть BC2B C^{2}.
10–11 класиТочка перетину висот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-030

Хорда вписаного кола і паралельність до сторони

Нехай різносторонній трикутник ABCA B C має центр описаного кола OO і інцентр II. Його вписане коло ω\omega дотикається до сторін BC,CAB C, C A і ABA B у точках D,ED, E і FF відповідно. Нехай PP — основа висоти з DD на пряму EFE F, а пряма DPD P перетинає ω\omega вдруге в точці Q≠DQ \neq D. Пряма OIO I перетинає висоту з AA на сторону BCB C у точці TT. За умови, що OI∥BCO I \parallel B C, доведіть, що PQ=PTP Q = P T.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-041

Рівність AY = XY на дотичній до вписаного кола

У трикутнику ABCA B C довжини сторін AB=19A B=19, BC=20B C=20 і CA=21C A=21. Точки XX і YY вибрано на сторонах ABA B і ACA C відповідно так, що AY=XYA Y = X Y і XYX Y дотикається до вписаного кола △ABC\triangle A B C. Якщо довжину відрізка AXA X можна записати як ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа, обчисліть 100a+b100 a + b.
10–11 класиЗовнівписане коло
Відбіркові тести на IMOTST-2021-004

Бісектриса прямокутного трикутника з інцентром

Нехай ABCA B C — трикутник, у якому ∠BAC=90∘\angle B A C=90^{\circ}, з центром описаного кола OO та інцентром II. Бісектриса кута ∠BAC\angle B A C перетинає описане коло трикутника ABCA B C у точках AA і PP. Нехай QQ — проєкція точки PP на пряму ABA B, а RR — проєкція точки II на пряму PQP Q. Доведіть, що пряма ROR O ділить відрізок CIC I навпіл.
10–11 класиТеорема про тризуб
Відбіркові тести на IMOTST-2021-013

Центроїди прямокутного трикутника і пряма PQ

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник, у якому ∠C=90∘\angle C = 90^\circ, а DD — основа висоти, проведеної з CC. Нехай EE — точка перетину медіан трикутника ACDACD, а FF — точка перетину медіан трикутника BCDBCD. Точка PP задовольняє ∠CEP=90∘\angle CEP = 90^\circ і ∣CP∣=∣AP∣|CP| = |AP|, а точка QQ задовольняє ∠CFQ=90∘\angle CFQ = 90^\circ і ∣CQ∣=∣BQ∣|CQ| = |BQ|. Доведіть, що пряма PQPQ проходить через точку перетину медіан трикутника ABCABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2021-014

Відбиття центра описаного кола на сторону

Нехай ABCABC — гострокутний нерівнобедрений трикутник з ортоцентром HH. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC, а KK — центр описаного кола трикутника AHOAHO. Доведіть, що образ точки KK при симетрії відносно прямої OHOH лежить на прямій BCBC.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2021-017

Відбиття центра описаного кола відносно прямої Ейлера

Нехай ABCABC — гострокутний нерівнобедрений трикутник з ортоцентром HH. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC, а KK — центр описаного кола трикутника AHOAHO. Доведіть, що відбиття точки KK відносно прямої OHOH лежить на прямій BCBC.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2021-021

Паралельна пряма, дотична до вписаного кола

Дано трикутник ABCA B C з властивістю, що ∣AB∣+∣AC∣=3∣BC∣|A B|+|A C|=3|B C|. Нехай TT — точка на відрізку ACA C така, що ∣AC∣=4∣AT∣|A C|=4|A T|. Нехай KK і LL — внутрішні точки відрізків ABA B і ACA C відповідно такі, що, по-перше, KL∥BCK L \| B C і, по-друге, KLK L дотикається до вписаного кола трикутника △ABC\triangle A B C. Нехай SS — точка перетину відрізків BTB T і KLK L. Знайдіть відношення ∣SL∣∣KL∣\frac{|S L|}{|K L|}.
10–11 класиВписане коло
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-005

Ортоцентри трикутників, що збігаються

У трикутнику ABCABC нехай PP і QQ — точки на стороні BCBC, причому ортоцентр трикутника ACPACP і ортоцентр трикутника ABQABQ збігаються. Відомо, що AB=10AB = 10, AC=11AC = 11, BP=5BP = 5, CQ=6CQ = 6. Знайдіть довжину BCBC.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2020-002

Коло відображень основи висоти у трикутнику

У гострокутному трикутнику ABCABC основу висоти з AA позначено DD. Нехай D1D_1 і D2D_2 — образи точки DD при симетрії відносно прямих ABAB і ACAC відповідно. Перетин прямої BCBC і прямої через D1D_1, паралельної до ABAB, позначено E1E_1. Перетин прямої BCBC і прямої через D2D_2, паралельної до ACAC, позначено E2E_2. Доведіть, що D1,D2,E1D_1, D_2, E_1 і E2E_2 лежать на колі, центр якого лежить на описаному колі △ABC\triangle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-040

Колінеарність у трикутнику з бісектрисою кута

Нехай ABCABC — трикутник з гострими кутами. Нехай DD — основа бісектриси кута BAC^\widehat{BAC}. Перпендикуляр до прямої (AD)(AD), що проходить через точку BB, вдруге перетинає описане коло трикутника ADBADB в точці EE. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. Доведіть, що точки AA, OO і EE лежать на одній прямій.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-003

Ортоцентр тетраедра та відстані

Нехай P1P2P3P4P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} — тетраедр у R3\mathbb{R}^{3}, а OO — точка, рівновіддалена від усіх його вершин. Припустімо, що існує точка HH така, що для кожного ii пряма PiHP_{i} H перпендикулярна до площини через три інші вершини. Пряма P1HP_{1} H перетинає площину через P2,P3,P4P_{2}, P_{3}, P_{4} у точці AA та містить точку B≠P1B \neq P_{1} таку, що OP1=OBO P_{1}=O B. Доведіть, що HB=3HAH B=3 H A.
10–11 класиТочка перетину висот2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-128

Дотик вписаних кіл у прямокутнику

Нехай ABCDABCD — прямокутник, а EE — точка на відрізку ADAD. Відомо, що чотирикутник BCDEBCDE має вписане коло ω1\omega_{1}, яке дотикається до відрізка BEBE в точці TT. Якщо вписане коло ω2\omega_{2} трикутника ABEABE також дотикається до відрізка BEBE в точці TT, то знайдіть відношення радіуса кола ω1\omega_{1} до радіуса кола ω2\omega_{2}.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-130

Площа описаного кола продовженого трикутника

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=5AB = 5, BC=6BC = 6, CA=7CA = 7. Нехай DD — точка на промені ABAB за точкою BB така, що BD=7BD = 7, EE — точка на промені BCBC за точкою CC така, що CE=5CE = 5, а FF — точка на промені CACA за точкою AA така, що AF=6AF = 6. Обчисліть площу круга, обмеженого описаним колом трикутника DEFDEF.
10–11 класиВписане коло2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-101

Висоти трикутника EHF перетинаються на прямій BC

Висоти BEB E і CFC F гострокутного трикутника ABCA B C перетинаються в точці HH. Припустімо, що висоти трикутника EHFE H F перетинаються на прямій BCB C. Якщо AB=3A B = 3 і AC=4A C = 4, то BC2=abB C^{2} = \frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100 a + b.
10–11 класиТочка перетину висот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-038

Трикутник із вписаним колом, дотичним до серединного перпендикуляра

Нехай ABCABC — трикутник, вписане коло якого дотикається до серединного перпендикуляра до сторони BCBC. Якщо BC=AE=20BC = AE = 20, де EE — точка дотику AA-зовнівписаного кола до сторони BCBC, обчисліть площу △ABC\triangle ABC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-052

Рівносторонній трикутник з проєкцій інцентра

У △ABC\triangle ABC коло ω\omega — описане, II — інцентр, а IAI_{A} — центр зовнівписаного кола навпроти вершини AA. Нехай MM — середина дуги BAC^\widehat{BAC} на колі ω\omega, а X,YX, Y — проєкції II на пряму MIAMI_{A} та IAI_{A} на пряму MIMI відповідно. Якщо △XYIA\triangle XYI_{A} — рівносторонній трикутник зі стороною 11, обчисліть площу △ABC\triangle ABC.
10–11 класиТеорема про тризуб2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-057

Вписаний чотирикутник із серединами сторін трикутника

У △ABC\triangle ABC точки DD і EE — середини сторін BCBC і CACA відповідно. Відрізки ADAD і BEBE перетинаються в точці GG. Відомо, що чотирикутник GECDGEC D вписаний, AB=41AB = 41, а AC=31AC = 31. Обчисліть довжину сторони BCBC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-059

Трикутник з інцентром і перетином описаного кола

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, вписаний в одиничне коло з центром OO. Нехай II — інцентр △ABC\triangle ABC, а DD — перетин сторони BCBC і бісектриси ∠BAC\angle BAC. Припустімо, що описане коло △ADO\triangle ADO перетинає BCBC знову в точці EE такій, що EE лежить на прямій IOIO. Якщо cos⁡A=1213\cos A=\frac{12}{13}, знайдіть площу △ABC\triangle ABC.
10–11 класиТеорема про тризуб
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-062

Площа трикутника за ортоцентричним колом

У гострокутному трикутнику ABCA B C нехай HH — ортоцентр, а DD — основа висоти з AA. Описане коло трикутника BHCB H C перетинає сторону ACA C в точці E≠CE \neq C, а сторону ABA B — в точці F≠BF \neq B. Якщо BD=3B D = 3, CD=7C D = 7 і AHHD=57\frac{A H}{H D} = \frac{5}{7}, то площу трикутника AEFA E F можна подати у вигляді ab\frac{a}{b}, де a,ba, b — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100 a + b.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.