Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 523 задачі
АлгебраЧисла
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-038

Функціональне рівняння з вісімково-десятковою функцією

Для натурального числа mm нехай S(m)S(m) позначає натуральне число, десятковий запис якого дорівнює вісімковому запису числа mm. Наприклад, S(64)=100S(64) = 100, S(100)=144S(100) = 144, S(2023)=3747S(2023) = 3747. Два натуральні числа x,yx, y задовольняють співвідношення S(x)+S(1)S(x+1)=S(y)+S(2023)S(y+2023)<810.\frac{S(x) + S(1)}{S(x + 1)} = \frac{S(y) + S(2023)}{S(y + 2023)} < \frac{8}{10}. Яке найменше можливе значення yy, якщо x<100x < 100?
10–11 класиСистеми числення
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-039

Двійкові цифри у зваженій сумі Фібоначчі

Нехай Z+\mathbb{Z}^+ — множина натуральних чисел, а (Fn)n∈Z+(F_n)_{n \in \mathbb{Z}^+} — послідовність Фібоначчі, задана рівностями F1=F2=1F_1 = F_2 = 1 і Fn+1=Fn+Fn−1F_{n+1} = F_n + F_{n-1} при n≥2n \ge 2. Розглянемо число N=22022F2023−22021F2022+22020F2021+⋯−2F2+F1.N = 2^{2022}F_{2023} - 2^{2021}F_{2022} + 2^{2020}F_{2021} + \dots - 2F_2 + F_1. Доведіть, що двійковий запис числа NN містить більше одиниць, ніж нулів.
10–11 класиСистеми числення2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-046

Сума цифр числа 2 у степеневій вежі з 2023

Доведіть, що сума десяткових цифр числа 22220232^{2^{2^{2023}}} більша за 20232023.
10–11 класиМіркування за модулем
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2023-004

Сума цілих частин кратних p, q, r дорівнює n

Нехай pp, qq і rr — це додатні дійсні числа такі, що рівність [pn]+[qn]+[rn]=n[pn] + [qn] + [rn] = n справджується для нескінченної кількості натуральних nn. а) Доведіть, що числа pp, qq і rr є раціональними. б) Знайдіть кількість натуральних чисел cc, для яких існують натуральні числа aa та bb такі, що рівність [na]+[nb]+[nc]=n\left[\frac{n}{a}\right] + \left[\frac{n}{b}\right] + \left[\frac{n}{c}\right] = n справджується для нескінченної кількості натуральних nn.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Європейський математичний кубокEMC-2023-005

Усі множини дійсних чисел з коренем різниці квадратів

Знайдіть усі множини дійсних чисел SS такі, що: - 11 є найменшим елементом множини SS, - для всіх x,y∈Sx, y \in S таких, що x>yx > y, справджується умова x2−y2∈S\sqrt{x^2 - y^2} \in S.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-001

Мінімізація суми абсолютних відхилень

Професор Оук годує своїх 100 покемонів. Кожен покемон має миску, місткість якої — додатне дійсне число кілограмів. Ці місткості відомі професору Оуку. Сумарна місткість усіх мисок становить 100 кілограмів. Професор Оук розподіляє 100 кілограмів їжі так, що кожен покемон отримує невід'ємну цілу кількість кілограмів їжі (яка може бути більшою за місткість його миски). Рівень незадоволення покемона, який отримав NN кілограмів їжі і чия миска має місткість CC кілограмів, дорівнює ∣N−C∣|N-C|. Знайдіть найменше дійсне число DD таке, що незалежно від місткостей мисок професор Оук може розподілити їжу так, щоб сума рівнів незадоволення всіх 100 покемонів була не більшою за DD.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-004

Перестановки з обмеженою сумою коренів

Нехай NN — додатне ціле число. Доведіть, що існують три перестановки a1,a2,…,aNa_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}; b1,b2,…,bNb_{1}, b_{2}, \ldots, b_{N}; та c1,c2,…,cNc_{1}, c_{2}, \ldots, c_{N} чисел 1,2,…,N1,2, \ldots, N такі, що ∣ak+bk+ck−2N∣<2023\left|\sqrt{a_{k}}+\sqrt{b_{k}}+\sqrt{c_{k}}-2 \sqrt{N}\right|<2023 для кожного k=1,2,…,Nk=1,2, \ldots, N.
10–11 класиКонструкція за індукцією3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-012

Частоти цифр у кратних 1829

Для кожного 1⩽i⩽91 \leqslant i \leqslant 9 та T∈NT \in \mathbb{N} визначимо di(T)d_{i}(T) як загальну кількість разів, коли цифра ii з'являється у записі всіх кратних 18291829 між 11 та TT включно в системі числення з основою 1010. Покажіть, що існує нескінченно багато T∈NT \in \mathbb{N} таких, що серед d1(T),d2(T),…,d9(T)d_{1}(T), d_{2}(T), \ldots, d_{9}(T) є рівно два різні значення.
10–11 класиСистеми числення
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2022-005

Недосяжні суми значень многочлена степеня вище першого

Задано многочлен f(x)f(x) із дійсними коефіцієнтами степеня, вищого за 11. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел, які не можна подати у вигляді виразу f(n+1)+f(n+2)+…+f(n+k)f(n+1)+f(n+2)+\ldots+f(n+k) з натуральними числами nn та kk.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-026

Пошук фальшивої монети з ненадійним тестером

Під час одного тесту службовий собака нюхає купку монет і гавкає, якщо в ній є фальшива монета. Якщо собака хворий, то те, гавкає він чи ні, не залежить від наявності фальшивої монети: це відбувається випадково. Припустімо, що k≤2sk \le 2^s і що ми маємо 2k2^k монет, рівно одна з яких фальшива. Припустімо, що ми маємо надлишкову кількість службових собак, одна з яких хвора, але ми не знаємо, яка саме. Запропонуйте стратегію пошуку фальшивої монети, використовуючи не більше k+s+2k+s+2 тестів.
10–11 класиСистеми числення
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2021-006

Мільйон розв'язків рівняння з сумою цілих частин

Чи існує таке ціле невід'ємне число aa, для якого рівняння [m1]+[m2]+[m3]+…+[mm]=n2+a\left[\frac{m}{1}\right]+\left[\frac{m}{2}\right]+\left[\frac{m}{3}\right]+\ldots+\left[\frac{m}{m}\right]=n^2+a має більше ніж мільйон різних розв'язків (m, n)(m,\,n), де mm і nn — натуральні числа. Примітка. Вираз [x][x] позначає цілу частину числа xx, зокрема, [2]=1\left[\sqrt{2}\right]=1, [π]=[227]=3[\pi]=\left[\frac{22}{7}\right]=3, [42]=42[42]=42, [0]=0[0]=0.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-006

Підмножини множини цілих чисел із сумами mᵏ

Дано ціле число m⩾2m \geqslant 2. У скінченній множині AA, що складається із цілих, не обов’язково додатних чисел, знайшлися такі підмножини B1,B2,B3,…,BmB_1, B_2, B_3, \ldots, B_m, що для кожного k=1,m‾k = \overline{1, m} сума елементів множини BkB_k дорівнює mkm^k. Доведіть, що множина AA містить принаймні 12m\frac{1}{2}m елементів.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-001

Сума елементів таблиці з цілими частинами

Для кожного цілого n⩾1n \geqslant 1 розглянемо таблицю n×nn \times n з елементом ⌊ijn+1⌋\left\lfloor\frac{ij}{n+1}\right\rfloor на перетині рядка ii і стовпця jj, для всіх i=1,…,ni=1, \ldots, n і j=1,…,nj=1, \ldots, n. Визначте всі цілі n⩾1n \geqslant 1, для яких сума всіх n2n^{2} елементів таблиці дорівнює 14n2(n−1)\frac{1}{4} n^{2}(n-1).
10–11 класиЦіла та дробова частини числа2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-005

Сума цілих частин за перестановкою

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть найменше значення ⌊a11⌋+⌊a22⌋+⋯+⌊ann⌋\left\lfloor\frac{a_{1}}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{a_{2}}{2}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{a_{n}}{n}\right\rfloor за всіма перестановками (a1,a2,…,an)(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) чисел (1,2,…,n)(1,2, \ldots, n).
10–11 класиЦіла та дробова частини числа3 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-004

Трикутник у цілочисельній решітці і різниця сторін

Знайдіть найменше натуральне число kk з властивістю: для будь-яких трьох точок із цілими координатами на площині Lmax⁡−Lmin⁡>1k⋅Lmax⁡,L_{\max} - L_{\min} > \frac{1}{\sqrt{k} \cdot L_{\max}}, де Lmax⁡L_{\max} і Lmin⁡L_{\min} — відповідно найбільша та найменша відстані між ними.
10–11 класиЧислові нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-036

Рівняння із сумою цілих частин квадратів

Доведіть, що існує нескінченно багато попарно взаємно простих натуральних чисел aa, bb і cc таких, що ⌊a22020⌋+⌊b22020⌋=⌊c22020⌋.\left\lfloor \frac{a^2}{2020} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{b^2}{2020} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{c^2}{2020} \right\rfloor.
10–11 класиПіфагорові трійки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-004

Початкові цифри степенів двійки

Чи існує натуральне число nn таке, що перша та друга цифри числа 2n2^n (у десятковому записі) — це 3 і 9 відповідно?
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-018

Кореневі множини, що містять різниці степенів двійки

Множину SS цілих чисел називаємо кореневою, якщо для будь-якого натурального числа nn та будь-яких a0,a1,…,an∈Sa_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} \in S усі цілі корені многочлена a0+a1x+⋯+anxna_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n} також належать SS. Знайдіть усі кореневі множини цілих чисел, які містять усі числа виду 2a−2b2^{a}-2^{b} для натуральних чисел aa і bb.
10–11 класиТеорема Ейлера2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-020

Множина різниць, що уникає послідовності Бітті

Нехай H={⌊i2⌋:i∈Z>0}={1,2,4,5,7,…}H=\{\lfloor i \sqrt{2}\rfloor: i \in \mathbb{Z}_{>0}\}=\{1,2,4,5,7, \ldots\}, і нехай nn — натуральне число. Доведіть, що існує стала CC така, що якщо A⊂{1,2,…,n}A \subset\{1,2, \ldots, n\} задовольняє ∣A∣⩾Cn|A| \geqslant C \sqrt{n}, то існують a,b∈Aa, b \in A такі, що a−b∈Ha-b \in H. (Тут Z>0\mathbb{Z}_{>0} — множина натуральних чисел, а ⌊z⌋\lfloor z\rfloor позначає найбільше ціле число, яке не перевищує zz.)
10–11 класиЦіла та дробова частини числа4 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2019-001

Множини з цілими середніми

Множину різних натуральних чисел називають змістовною, якщо для будь-якої скінченної непорожньої підмножини відповідні середнє арифметичне та середнє геометричне є цілими числами. a) Чи існує змістовна множина, яка складається з 2019 чисел? b) Чи існує нескінченна змістовна множина? Зауваження: Середнє геометричне невід'ємних чисел a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} означається як a1a2⋯ann\sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-031

Нерівність для суми цифр квадратів

Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел nn, які не діляться на 1010 і таких, що s(n2)<s(n)−5s(n^2) < s(n) - 5, де s(n)s(n) — сума цифр числа nn.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-005

Функціональне рівняння на сумах квадратів

Знайдіть усі функції ff, які відображають невід'ємні дійсні числа в невід'ємні дійсні числа та задовольняють тотожність f(x12+⋯+xn2)=f(x1)2+⋯+f(xn)2f(x_1^2 + \cdots + x_n^2) = f(x_1)^2 + \cdots + f(x_n)^2 для будь-якого вибору чисел x1,…,xnx_1, \dots, x_n.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2018-006

Наближення чисел множини кратними інших чисел

а) Доведіть, що для кожного дійсного tt такого, що 0<t<120 < t < \dfrac{1}{2}, існує натуральне число nn з такою властивістю: для довільної множини SS, що складається з nn натуральних чисел, знайдуться два різних елементи xx і yy із цієї множини та невід'ємне число mm (тобто m⩾0m \geqslant 0) такі, що ∣x−my∣⩽ty|x - my| \leqslant ty. б) Чи правда, що для кожного дійсного tt такого, що 0<t<120 < t < \dfrac{1}{2}, існує нескінченна множина SS натуральних чисел така, що ∣x−my∣>ty|x - my| > ty для кожної пари різних елементів xx і yy із цієї множини та довільного додатного числа mm (тобто m>0m > 0)?
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-004

Рівність добутку цілих частин і біноміального коефіцієнта

а) Доведіть, що для довільного натурального числа mm існує таке натуральне n⩾mn \geqslant m, що \left[\frac{n}{1}\right] \cdot \left[\frac{n}{2}\right] \cdot \ldots \cdot \left[\frac{n}{m}\right] = C_n^m. \tag{*} б) Позначимо через p(m)p(m) найменше натуральне число n⩾mn \geqslant m, для якого виконується рівність (). Доведіть, що p(2018)=p(2019)p(2018) = p(2019).
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-001

Розбиття з найбільшими сумою, добутком і сумою цифр

Множину {1,2,…,10}\{1, 2, \ldots, 10\} розбито на три частини. Для кожної частини обчислено суму її елементів, добуток її елементів і суму цифр усіх її елементів. Чи можливо, що перша частина має найбільшу суму елементів, друга частина має найбільший добуток елементів, а третя частина має найбільшу суму цифр?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.