Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 140 задач
ГеометріяВизначні точки та лінії трикутника
Відбіркові тести на IMOTST-2020-009

Відображені точки на колі в трикутнику

У гострокутному трикутнику ABCA B C точка DD — основа висоти, проведеної з AA. Нехай D1D_{1} і D2D_{2} — образи точки DD при симетрії відносно прямих ABA B і ACA C відповідно. Точку перетину прямої BCB C з прямою, що проходить через D1D_{1} паралельно ABA B, позначимо E1E_{1}. Точку перетину прямої BCB C з прямою, що проходить через D2D_{2} паралельно ACA C, позначимо E2E_{2}. Доведіть, що точки D1,D2,E1D_{1}, D_{2}, E_{1} і E2E_{2} лежать на одному колі, центр якого лежить на описаному колі трикутника △ABC\triangle A B C.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2020-034

Конкурентність прямих з ортоцентрів трикутників

Нехай AA, BB, CC, DD — чотири точки, серед яких жодні три не лежать на одній прямій, причому DD не є ортоцентром трикутника ABCABC. Нехай PP, QQ, RR — ортоцентри трикутників △BCD\triangle BCD, △CAD\triangle CAD, △ABD\triangle ABD відповідно. Припустимо, що прямі APAP, BQBQ, CRCR попарно різні та перетинаються в одній точці. Доведіть, що чотири точки AA, BB, CC, DD лежать на одному колі.
10–11 класиТочка перетину висот
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-003

Трикутник зі співвідношенням кутів і висотою

На малюнку нижче ∠CAB=2⋅∠CBA\angle C A B = 2 \cdot \angle C B A, ADA D — висота, а MM — середина сторони ABA B. Якщо AC=2 смA C = 2~\text{см}, знайдіть довжину відрізка DMD M.
10–11 класиОписане коло
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2020-001

Паралельні прямі в конфігурації з колом

Нехай kk — коло з центром OO. Нехай A,B,CA, B, C і DD — чотири різні точки на колі kk у такому порядку, що ABA B — діаметр кола kk. Описане коло трикутника CODC O D перетинає ACA C вдруге в точці PP. Доведіть, що прямі OPO P і BDB D паралельні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2020-002

Бісектриси кутів і паралельні хорди

Нехай ABCABC — трикутник, у якого AB>ACAB > AC. Бісектриси кутів при вершинах BB і CC перетинаються в точці II всередині трикутника ABCABC. Описане коло трикутника BICBIC перетинає ABAB вдруге в точці XX і ACAC вдруге в точці YY. Доведіть, що пряма CXCX паралельна прямій BYBY.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2019-007

Рівносторонній трикутник з особливими чевіанами

У трикутнику △ABC\triangle A B C позначено точку A1A_{1} на стороні BCB C, точку B1B_{1} на стороні ACA C і точку C1C_{1} на стороні ABA B так, що AA1A A_{1} є висотою, BB1B B_{1} — медіаною, а CC1C C_{1} — бісектрисою. Відомо, що △A1B1C1\triangle A_{1} B_{1} C_{1} — рівносторонній. Доведіть, що △ABC\triangle A B C також рівносторонній. (Примітка: медіана з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони. Отже, для медіани BB1B B_{1} знаємо, що B1B_{1} — середина сторони ACA C у трикутнику △ABC\triangle A B C.)
10–11 класиОписане коло
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2019-001

Ітерація центрів описаних кіл та зростання відстаней

Емі намалювала на площині три точки, AA, BB і CC, такі, що AB=BC=CA=6AB = BC = CA = 6. Емі може намалювати нову точку, якщо вона є центром описаного кола трикутника, вершини якого вона вже намалювала. Наприклад, вона може намалювати центр описаного кола OO трикутника ABCABC, а потім — центр описаного кола трикутника ABOABO. a) Доведіть, що Емі може зрештою намалювати точку, відстань від якої до раніше намальованої точки більша за 77. b) Доведіть, що Емі може зрештою намалювати точку, відстань від якої до раніше намальованої точки більша за 20192019. (Нагадаємо, що центр описаного кола трикутника — це центр кола, яке проходить через його три вершини.)
10–11 класиОписане коло
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-012

Описаний чотирикутник з прямими кутами

Чотирикутник ABCDABCD має прямі кути при вершинах AA і DD. Коло радіуса 1010 міститься всередині чотирикутника й дотикається до всіх чотирьох сторін. Довжина сторони BCBC дорівнює 2424. Середину сторони ADAD позначено EE, а середину сторони BCBC позначено FF. Чому дорівнює довжина відрізка EFEF? A) 432\frac{43}{2} B) 13211\frac{13}{2}\sqrt{11} C) 33511\frac{33}{5}\sqrt{11} D) 2222 E) 452\frac{45}{2}
10–11 класиВписане коло
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-033

Середина сторони на прямій, визначеній серединою дуги

Нехай ABCABC — трикутник, усі кути якого гострі, причому AB≠ACAB \neq AC. Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC, а DD — середина дуги BC^\widehat{BC}, що не містить AA. Нехай EE і FF — точки, які належать відповідно відрізкам [AB][AB], [AC][AC], такі, що AE=AFAE = AF. Нехай PP — точка перетину, відмінна від AA, кола Γ\Gamma та описаного кола трикутника AEFAEF. Нехай GG і HH — точки перетину, відмінні від PP, кола Γ\Gamma з прямими (PE)(PE) і (PF)(PF) відповідно. Нарешті, нехай JJ — точка перетину прямих (AB)(AB) і (DG)(DG), а KK — точка перетину прямих (AC)(AC) і (DH)(DH). Доведіть, що середина відрізка [BC][BC] належить прямій (JK)(JK).
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-020

Дотик описаних кіл, побудованих за чевіанами

Нехай ABCABC — трикутник, нехай II — центр вписаного в трикутник ABCABC кола. Нехай A′A', B′B' і C′C' — три точки, розташовані відповідно на прямих (AI)(AI), (BI)(BI) і (CI)(CI). Припустімо, що A′A', B′B' і C′C' відмінні від AA, BB, CC і II, і що вони колінеарні. Нарешті, нехай PAP_A — точка перетину серединних перпендикулярів до відрізків [BB′][BB'] і [CC′][CC']. Так само нехай PBP_B — точка перетину серединних перпендикулярів до відрізків [CC′][CC'] і [AA′][AA'], а PCP_C — точка перетину серединних перпендикулярів до відрізків [AA′][AA'] і [BB′][BB']. Доведіть, що описані кола трикутників ABCABC і PAPBPCP_A P_B P_C дотикаються одне до одного.
10–11 класиГомотерія і подібність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-030

Дотичні до кіл у трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція, в якій пряма (AB)(AB) паралельна прямій (CD)(CD). Припустимо, що всередині трапеції є два кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} такі, що ω1\omega_{1} дотикається до сторін [DA][DA], [AB][AB] і [BC][BC], а ω2\omega_{2} дотикається до сторін [BC][BC], [CD][CD] і [DA][DA]. Нехай (d1)(d_{1}) — друга дотична (після прямої (AD)(AD)) до кола ω2\omega_{2}, що проходить через AA, а (d2)(d_{2}) — друга дотична (після прямої (BC)(BC)) до кола ω1\omega_{1}, що проходить через CC. Доведіть, що прямі (d1)(d_{1}) і (d2)(d_{2}) паралельні.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-001

Пряма Ейлера і коло через дві вершини та інцентр

Нехай ABCABC — гострокутний різносторонній трикутник з інцентром II. Доведіть, що описане коло трикутника BICBIC перетинає пряму Ейлера трикутника ABCABC у двох різних точках. (Нагадаємо, що пряма Ейлера різностороннього трикутника — це пряма, яка проходить через центр його описаного кола, центроїд, ортоцентр і центр кола дев'яти точок.)
10–11 класиПряма Ейлера
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-115

Радіус вписаного кола за відстанями від внутрішньої точки

На сніданок Мілан їсть шматочок тосту у формі рівностороннього трикутника. На тості лежить одна кунжутна насінина на відстані одного дюйма від однієї сторони, двох дюймів від другої сторони та чотирьох дюймів від третьої сторони. Він кладе на тост зверху круглий шматочок сиру, який дотикається до кожної сторони трикутника. Яка площа цього шматочка сиру?
10–11 класиПлоща трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-011

Перпендикулярність через бісектриси та центри

Різносторонній трикутник ABCABC задовольняє умову ∠A=60∘\angle A = 60^{\circ}. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC, HH — ортоцентр, а II — інцентр. Нехай D,TD, T — точки, в яких пряма BCBC перетинає внутрішню та зовнішню бісектриси кута ∠A\angle A відповідно. Нехай XX — точка на описаному колі трикутника △IHO\triangle IHO така, що HX∥AIHX \parallel AI. Доведіть, що OD⊥TXOD \perp TX.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-012

Широкий многокутник містить круг фіксованого радіуса

Опуклий многокутник на площині називається широким, якщо проєкція многокутника на будь-яку пряму в тій самій площині є відрізком завдовжки принаймні 11. Доведіть, що круг радіуса 13\frac{1}{3} можна повністю розмістити всередині будь-якого широкого многокутника.
10–11 класиВписане коло2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-137

Коло, дотичне до описаних кіл трикутників з ортоцентром

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC. Знайдіть радіус кола з ненульовим радіусом, дотичного до описаних кіл трикутників AHBAHB, BHCBHC, CHACHA.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-138

Трикутник із серединою відрізка OH на стороні

У трикутнику ABCABC, де AB<ACAB < AC, нехай HH — ортоцентр, а OO — центр описаного кола. Відомо, що середина відрізка OHOH лежить на стороні BCBC, BC=1BC = 1, а периметр трикутника ABCABC дорівнює 66, знайдіть площу трикутника ABCABC.
10–11 класиКоло Ейлера (коло 9 точок)2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-051

Трикутник із відношенням площ для вписаного кола

У △ABC\triangle ABC вписане коло з центром II дотикається до сторін ABAB і BCBC у точках XX і YY відповідно. Крім того, площа чотирикутника BXIYBXIY становить 25\frac{2}{5} площі трикутника ABCABC. Нехай pp — найменший можливий периметр такого △ABC\triangle ABC, що задовольняє ці умови та має цілі довжини сторін. Знайдіть найменшу можливу площу такого трикутника з периметром pp.
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-058

Шестикутник із рівносторонніх трикутників у трикутнику 3-4-5

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=3AB = 3, BC=4BC = 4 і CA=5CA = 5. Нехай A1,A2A_1, A_2 — точки на стороні BCBC, B1,B2B_1, B_2 — точки на стороні CACA, а C1,C2C_1, C_2 — точки на стороні ABAB. Припустимо, що існує точка PP така, що PA1A2PA_1A_2, PB1B2PB_1B_2 і PC1C2PC_1C_2 — рівні рівносторонні трикутники. Знайдіть площу опуклого шестикутника A1A2B1B2C1C2A_1A_2B_1B_2C_1C_2.
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-074

Циклічний чотирикутник з основ висот і центроїда

У гострокутному △ABC\triangle ABC з центроїдом GG маємо AB=22AB = 22 і AC=19AC = 19. Нехай EE і FF — основи висот з BB і CC на ACAC і ABAB відповідно. Нехай G′G' — образ GG при симетрії відносно прямої BCBC. Якщо EE, FF, GG і G′G' лежать на одному колі, обчисліть довжину сторони BCBC.
10–11 класиТочка перетину медіан
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-077

Кути перетину зовнівписаних кіл з описаним

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15. Нехай IAI_{A}, IBI_{B}, ICI_{C} — центри зовнівписаних кіл цього трикутника, що відповідають вершинам AA, BB, CC, а OO — центр описаного кола трикутника. Нехай γA\gamma_{A}, γB\gamma_{B}, γC\gamma_{C} — відповідні зовнівписані кола, а ω\omega — описане коло. XX — один із перетинів кіл γA\gamma_{A} і ω\omega. Аналогічно, YY — перетин кіл γB\gamma_{B} і ω\omega, а ZZ — перетин кіл γC\gamma_{C} і ω\omega. Обчисліть cos⁡∠OXIA+cos⁡∠OYIB+cos⁡∠OZIC.\cos \angle O X I_{A} + \cos \angle O Y I_{B} + \cos \angle O Z I_{C}.
10–11 класиЗовнівписане коло
Відбіркові тести на IMOTST-2019-029

Рівні хорди та перетин прямих на колі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом Ω\Omega та ортоцентром HH. Точки DD і EE лежать на відрізках ABAB і ACAC відповідно так, що AD=AEAD = AE. Прямі через BB і CC, паралельні прямій DEDE, перетинають Ω\Omega знову в точках PP і QQ відповідно. Позначимо через ω\omega описане коло трикутника △ADE\triangle ADE. а. Покажіть, що прямі PEPE і QDQD перетинаються на колі ω\omega. б. Доведіть, що якщо коло ω\omega проходить через HH, то прямі PDPD і QEQE також перетинаються на колі ω\omega.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2019-001

Трикутник з паралельною DE і умовою FE = AD

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з основою BCBC, а D,ED, E — точки на сторонах AB,BCAB, BC відповідно, такі, що прямі DEDE і ACAC паралельні. Розглянемо також точку FF на прямій DEDE, що лежить з протилежного від DD боку відносно EE і таку, що FEFE дорівнює ADAD. Нехай OO — центр описаного кола трикутника BDEBDE, доведіть, що точки O,F,A,DO, F, A, D лежать на одному колі.
9–11 класиОписане коло
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2019-007

Коло на діаметрі AK і середина сторони BC

Нехай II — інцентр, а Ω\Omega — вписане коло трикутника ABCABC, а MM — середина сторони BCBC. Нехай KK — точка перетину прямої, що проходить через AA і перпендикулярна до прямої BCBC, та прямої, що проходить через MM і перпендикулярна до прямої AIAI. Доведіть, що коло, діаметром якого є відрізок AKAK, дотикається до кола Ω\Omega.
10–11 класиЗовнівписане коло
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2019-011

Інцентр і правильний підтрикутник

Нехай II — інцентр трикутника ABCABC, для якого AB>ACAB > AC, а D,ED, E — точки на сторонах AB,ACAB, AC відповідно, які ділять сторони на дві частини у відношенні 1:81:8. Якщо трикутник DIEDIE є правильним трикутником зі стороною 11, то чому дорівнює довжина ABAB? Тут через XYXY ми також позначаємо довжину відрізка XYXY.
10–11 класиТочка перетину бісектрис

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.