Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

995 задач
ГеометріяГеометричні перетворення
Відбіркові тести на IMOTST-2009-004

Рівність кутів DAX і DAH у трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Точка DD лежить на стороні BCBC. Нехай OBO_B і OCO_C — центри описаних кіл трикутників ABDABD і ACDACD відповідно. Припустимо, що точки BB, CC, OBO_B, OCO_C лежать на колі з центром у точці XX. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC. Доведіть, що ∠DAX=∠DAH\angle DAX = \angle DAH.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2009-012

Трикутник із зовнішніми подібними трикутниками

Нехай ABPABP, BCQBCQ, CARCAR — три трикутники, що не перетинаються, побудовані зовні гострокутного трикутника ABCABC. Нехай MM — середина відрізка APAP. Відомо, що ∠PAB=∠CQB=45∘\angle PAB = \angle CQB = 45^\circ, ∠ABP=∠QBC=75∘\angle ABP = \angle QBC = 75^\circ, ∠RAC=105∘\angle RAC = 105^\circ і RQ2=6CM2RQ^2 = 6CM^2. Обчисліть AC2/AR2AC^2/AR^2.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2009-008

Площа чотирикутника з відображених дуг

Квадрат ABCDABCD зі стороною 11 вписано в коло γ\gamma. Побудуємо образи дуг AB⌢\overparen{AB}, BC⌢\overparen{BC}, CD⌢\overparen{CD}, DA⌢\overparen{DA} кола γ\gamma, симетричні відносно сторін ABAB, BCBC, CDCD, DADA відповідно. Позначимо через L,M,N,OL, M, N, O середини отриманих дуг; чому дорівнює площа чотирикутника LMNOLMNO? (A) 24\frac{\sqrt{2}}{4} (B) 2−1\sqrt{2}-1 (C) 1−221-\frac{\sqrt{2}}{2} (D) 14\frac{1}{4} (E) 3−223-2 \sqrt{2}.
9–11 класиПлоща чотирикутника
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2009-011

Найкоротший шлях до стіни та діаманта в прямокутнику

Крихітний, але надзвичайно цінний, Додекаедричний Діамант перебуває за 2 метри від південної стіни та за 3 метри від західної стіни прямокутної кімнати, північна й південна стіни якої мають довжину 4 метри, а східна й західна — 3 метри. Злодій спускається зі стелі всередину кімнати й торкається підлоги за один метр від південної стіни та за один метр від західної стіни. Проте він розуміє, що має негайно знешкодити систему сигналізації, перерізавши хоча б в одній точці дріт, що проходить на сталій висоті над підлогою вздовж чотирьох стін по периметру кімнати. Яка довжина в метрах найкоротшого маршруту, який він має пройти, щоб спочатку дістатися до будь-якої точки однієї зі стін, а потім до Додекаедричного Діаманта? (A) 3+23+\sqrt{2} (B) 2+52+\sqrt{5} (C) 17\sqrt{17} (D) 13\sqrt{13} (E) 222 \sqrt{2}.
9–11 класиСиметрія
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2009-003

Колінеарні точки на дотичних колах

Коло O1O_1 радіуса 22 і коло O2O_2 радіуса 44 зовнішньо дотикаються в точці PP. Точки AA і BB, відмінні від точки PP, вибрано на колах O1O_1 і O2O_2 відповідно так, що точки AA, PP і BB лежать на одній прямій. Знайдіть довжину відрізка PBPB, якщо довжина відрізка ABAB дорівнює 44.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2009-005

Мінімальний кут при заданих стороні та медіані

Нехай MM — середина сторони BCBC трикутника ABCABC. Припустімо, що AB=4AB = 4 і AM=1AM = 1, де через XYXY позначено довжину відрізка XYXY. Визначте найменше можливе значення, якого може набувати кут ∠BAC\angle BAC.
10–11 класиСиметрія
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2009-003

Дотичне коло та паралельні прямі

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, у якому ∠B<∠C\angle B < \angle C. Нехай OO — коло, що дотикається до прямої ACAC у точці CC і проходить через точку BB. Прямі ABAB і COCO перетинають коло OO у точках D(≠B)D (\neq B) і P(≠C)P (\neq C) відповідно. Нехай EE — перетин прямої ACAC і прямої, що проходить через PP паралельно AOAO. Пряма EBEB і коло OO перетинаються в точці L(≠B)L (\neq B). Нехай FF — перетин серединного перпендикуляра до відрізка BDBD і прямої ACAC, а KK — перетин прямих LFLF і CDCD. Доведіть, що прямі EKEK і CLCL паралельні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2009-011

Спільна точка прямих, визначених описаними колами

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, а OO — центр його описаного кола. Прямі ABAB і ACAC перетинають коло, описане навколо трикутника OBCOBC, вдруге в точках B1≠BB_1 \neq B і C1≠CC_1 \neq C відповідно, прямі BABA і BCBC перетинають коло, описане навколо трикутника OACOAC, вдруге в точках A2≠AA_2 \neq A і C2≠CC_2 \neq C відповідно, а прямі CACA і CBCB перетинають коло, описане навколо трикутника OABOAB, в точках A3≠AA_3 \neq A і B3≠BB_3 \neq B відповідно. Доведіть, що прямі A2A3A_2A_3, B1B3B_1B_3 і C1C2C_1C_2 мають спільну точку.
8–9 класиЦентральні і вписані кути2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2009-002

Найменші третя і четверта відстані в правильному шестикутнику

Нехай PP — правильний шестикутник. Для точки AA нехай d1≤d2≤…≤d6d_{1} \leq d_{2} \leq \ldots \leq d_{6} — відстані від AA до шести вершин шестикутника PP, упорядковані за зростанням. Знайдіть геометричне місце всіх точок AA всередині або на межі шестикутника PP, для яких a) d3d_{3} набуває найменшого можливого значення. b) d4d_{4} набуває найменшого можливого значення.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-070

Точка поза квадратом на рівних відстанях від діагоналей

Нехай ABCDABCD — одиничний квадрат (тобто вершини AA, BB, CC, DD йдуть у такому порядку навколо квадрата). Нехай XX — точка поза квадратом така, що відстань від XX до прямої ACAC дорівнює відстані від XX до прямої BDBD, а також AX=22AX = \frac{\sqrt{2}}{2}. Знайдіть значення CX2CX^{2}.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-076

Коло, дотичне до вписаного кола рівностороннього трикутника

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник. Нехай Ω\Omega — коло, вписане в трикутник ABCABC, а ω\omega — коло, що дотикається зовні до кола Ω\Omega, а також до сторін ABAB і ACAC. Знайдіть відношення радіуса кола Ω\Omega до радіуса кола ω\omega.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-121

Найкоротший шлях через сторони трикутника і коло

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 22, а Γ\Gamma — коло радіуса 12\frac{1}{2} з центром у центрі рівностороннього трикутника. Визначте довжину найкоротшого шляху, який починається десь на колі Γ\Gamma, відвідує всі три сторони трикутника ABCABC і закінчується десь на колі Γ\Gamma (не обов'язково в початковій точці). Відповідь запишіть у вигляді p−q\sqrt{p}-q, де pp і qq — раціональні числа, записані нескоротними дробами.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-054

Комірка Вороного у зрізаному октаедрі

Нехай PP — многогранник, усі грані якого — правильні многокутники, а всі ребра мають довжину 11. У кожній вершині многогранника PP сходяться два правильні шестикутники й один квадрат. Виберемо вершину VV цього многогранника. Знайдіть об'єм множини всіх точок многогранника PP, які містяться ближче до VV, ніж до будь-якої іншої його вершини.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2008-006

Діагоналі трапеції та рівність кутів

Дано (довільну) трапецію ABCDABCD, діагоналі якої перетинаються в точці PP. Точка QQ лежить між паралельними прямими ABAB і DCDC так, що ∡AQB=∡CQD\varangle AQB = \varangle CQD і пряма BCBC проходить між PP і QQ. Доведіть, що ∡DQP=∡BAQ\varangle DQP = \varangle BAQ.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2008-007

Циклічний чотирикутник у рівнобічній трапеції

Нехай ABCDABCD — рівнобічна трапеція з AB∥CDAB \parallel CD і BC‾=AD‾\overline{BC} = \overline{AD}. Пряма, паралельна ADAD, що проходить через BB, перетинає перпендикуляр до ADAD, що проходить через DD, в точці XX. Крім того, пряма, що проходить через AA паралельно BDBD, перетинає перпендикуляр до BDBD, що проходить через DD, в точці YY. Доведіть, що точки C,X,DC, X, D і YY лежать на спільному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-001

Коло через вершини дванадцятикутника та перетин діагоналей

Нехай ABCDEFGHILMNA B C D E F G H I L M N — правильний дванадцятикутник. Нехай PP — точка перетину діагоналей AFA F і DHD H. Нехай SS — коло, що проходить через AA і HH, конгруентне описаному навколо дванадцятикутника колу і відмінне від нього. Доведіть, що: (a) PP належить колу SS; (b) центр кола SS належить діагоналі HNH N; (c) довжина відрізка PEP E дорівнює стороні дванадцятикутника.
10–11 класиПаралельний перенос
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-004

Квадрати зі спільною вершиною всередині трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, усі кути якого більші за 45∘45^{\circ} і менші за 90∘90^{\circ}. a. Доведіть, що всередині трикутника ABCABC можна розмістити три квадрати з такими властивостями: - усі три квадрати мають однакову сторону; - усі три квадрати мають спільну вершину KK, внутрішню для трикутника; - будь-які два квадрати не мають спільних точок, крім KK; - кожен із квадратів має дві протилежні вершини на периметрі трикутника ABCABC, а решта цілком лежить усередині трикутника ABCABC. b. Нехай PP — центр квадрата зі стороною ABAB і зовнішнього відносно ABCABC. Нехай rCr_{C} — пряма, симетрична до прямої, що проходить через CC і KK, відносно бісектриси кута AC^BA\widehat{C}B, що виходить із CC. Доведіть, що PP належить прямій rCr_{C}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2008-002

Колінеарність у конструкції з вписаним чотирикутником

Нехай чотирикутник ABCDABCD вписано в коло OO, причому кути ∠B\angle B і ∠C\angle C тупі. Нехай EE — точка перетину прямих ABAB і CDCD. Нехай PP і RR — основи перпендикулярів, проведених з точки EE до прямих BCBC і ADAD відповідно. Нехай QQ — точка перетину прямих EPEP і ADAD, а SS — точка перетину прямих ERER і BCBC. Нехай KK — середина відрізка QSQS. Доведіть, що три точки E,K,OE, K, O лежать на одній прямій.
10–11 класиГомотерія і подібність
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2008-003

Відбиття прямих у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, у якого CD<ADCD < AD і CD<BCCD < BC. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці SS. Нехай ee — образ прямої ABAB при відбитті відносно прямої ACAC, а ff — образ прямої ABAB при відбитті відносно прямої BDBD. Пряма CDCD перетинає ee і ff у точках EE і FF відповідно. Доведіть, що трикутник SEFSEF рівнобедрений. Рисунок 1: Конструкція до розв'язання
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-078

П’ять кульок у конічній лійці і радіус середньої

П’ять кульок різного розміру помістили в конічну лійку. Кожна кулька дотикається до сусідньої (сусідніх) кульки. Також кожна кулька по всьому колу дотикається до стінки лійки. Найменша кулька має радіус 88, а найбільша кулька має радіус 1818. Знайдіть радіус середньої кульки.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-071

Площа чотирикутника з перетину кривих

Опуклий чотирикутник визначається точками перетину кривих x4+y4=100x^{4}+y^{4}=100 та xy=4x y=4; знайдіть його площу.
10–11 класиПеретворення симетричних виразів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-012

Перетин поділених навпіл хорд у колі

У колі, вписаному в квадрат, проведено дві хорди, як показано на рисунку. Радіус кола дорівнює 22, а PP ділить TUTU навпіл. Де перетинаються хорди? У відповідь вкажіть відстань точки перетину від центра кола.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-081

Кут ACE у чотирикутнику з рівними відрізками

ABCDABCD — опуклий чотирикутник, причому AB<ADAB < AD. Діагональ AC‾\overline{AC} є бісектрисою ∠BAD\angle BAD, а m∠ABD=130∘m \angle ABD = 130^{\circ}. Нехай EE — внутрішня точка відрізка AD‾\overline{AD}, а m∠BAD=40∘m \angle BAD = 40^{\circ}. Відомо, що BC=CD=DEBC = CD = DE. Знайдіть m∠ACEm \angle ACE у градусах.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-021

Бісектриса і прямий кут у трикутнику

У трикутнику ABCABC кут ∠ABC\angle ABC — тупий. Точка DD лежить на стороні ACAC так, що ∠ABD\angle ABD — прямий, а точка EE лежить на стороні ACAC між AA і DD так, що BDBD — бісектриса ∠EBC\angle EBC. Знайдіть довжину відрізка CECE, якщо AC=35AC = 35, BC=7BC = 7 і BE=5BE = 5.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-030

Коло, дотичне до трьох описаних кіл трикутника

Трикутник ABCA B C має AB=4A B=4, BC=6B C=6 і AC=5A C=5. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCA B C. Коло Γ\Gamma дотикається до описаних кіл трикутників AOBA O B, BOCB O C і AOCA O C та охоплює їх. Знайдіть діаметр кола Γ\Gamma.
10–11 класиІнверсія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.