Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 352 задачі
АлгебраПослідовності і суми
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-008

Сума знакозмінного рядка трикутника Паскаля

У Паскаля є трикутник. У nn-му рядку є n+1n+1 чисел an,0,an,1,an,2,…,an,na_{n, 0}, a_{n, 1}, a_{n, 2}, \ldots, a_{n, n}, де an,0=an,n=1a_{n, 0}=a_{n, n}=1. Для всіх 1≤k≤n−11 \leq k \leq n-1 виконується an,k=an−1,k−an−1,k−1a_{n, k}=a_{n-1, k}-a_{n-1, k-1}. Чому дорівнює сума всіх чисел у 2018-му рядку?
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-104

Ланцюг Маркова зі станами погоди

Ліл Вейн, бог дощу, визначає погоду. Якщо Ліл Вейн влаштовує дощ у певний день, то ймовірність того, що він влаштує дощ наступного дня, становить 75%75\%. Якщо Ліл Вейн не влаштовує дощ одного дня, то ймовірність того, що він влаштує дощ наступного дня, становить 25%25\%. Сьогодні він вирішив не влаштовувати дощ. Знайдіть найменше натуральне число nn таке, що ймовірність того, що Ліл Вейн влаштує дощ через nn днів від сьогодні, більша за 49.9%49.9\%.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-132

Умовне математичне сподівання геометричного розподілу

У мішку лежать дев'ять синіх кульок, десять потворних кульок і одна особлива кулька. Раян навмання витягує кульки з цього мішка з поверненням, доки не витягне особливу кульку. Він помічає, що жодна з витягнутих ним кульок не була потворною. За цієї умови знайдіть математичне сподівання загальної кількості витягнутих ним кульок.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-091

Подільність на трикутне число

Знайдіть суму всіх натуральних чисел nn таких, що 1+2+⋯+n1+2+\cdots+n є дільником числа 15[(n+1)2+(n+2)2+⋯+(2n)2].15\left[(n+1)^2+(n+2)^2+\cdots+(2 n)^2\right] .
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-094

Випадкова функція зі взаємною досяжністю

Нехай [n][n] позначає множину цілих чисел {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}. Навмання вибираємо функцію f:[n]→[n]f:[n] \rightarrow [n] серед nnn^{n} можливих функцій. Також рівномірно навмання вибираємо ціле число aa з множини [n][n]. Знайдіть ймовірність того, що існують натуральні числа b,c≥1b, c \geq 1 такі, що fb(1)=af^{b}(1)=a і fc(a)=1f^{c}(a)=1. (fk(x)f^{k}(x) позначає результат застосування функції ff до xx kk разів).
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-114

Математичне сподівання після випадкових операцій

У Рейчел у руках число 10001000. Коли вона кладе число xx у ліву кишеню, число змінюється на x+1x+1. Коли вона кладе число xx у праву кишеню, число змінюється на x−1x^{-1}. Щохвилини вона підкидає чесну монету. Якщо випадає герб, вона кладе число в ліву кишеню, а якщо випадає решка, вона кладе його в праву кишеню. Потім вона дістає нове число з кишені. Якщо математичне сподівання числа в руках у Рейчел після восьми хвилин дорівнює EE, то обчисліть ⌊E10⌋\left\lfloor\frac{E}{10}\right\rfloor.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-095

Найбільше число у вершині позначеного куба

Тесса має одиничний куб, кожна вершина якого позначена різним цілим числом від 11 до 88 включно. Вона також має колоду з 88 карт, 44 з яких чорні, а 44 білі. На кожному кроці вона витягує карту з колоди, і - якщо карта чорна, вона одночасно замінює число в кожній вершині сумою трьох чисел у вершинах, розташованих на відстані 11 від цієї вершини; - якщо карта біла, вона одночасно замінює число в кожній вершині сумою трьох чисел у вершинах, розташованих на відстані 2\sqrt{2} від цієї вершини. Коли Тесса витягне всі карти з колоди, яке найбільше можливе значення числа, що буде на кубі?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-136

Послідовності цифр без остачі суми у складі

Скільки існує впорядкованих послідовностей із 36 цифр, для яких остання цифра суми всіх цифр не зустрічається в самій послідовності? (Цифри — від 0 до 9.)
10–11 класиФормула включення-виключення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-026

Подвійна сума з квадратичним чисельником

Знайдіть значення ∑k=160∑n=1kn261−2n\sum_{k=1}^{60} \sum_{n=1}^{k} \frac{n^{2}}{61-2 n}
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-037

Сума абсолютних значень рядка знакозмінного трикутника

У Паскаля є трикутник. У nn-му рядку є n+1n+1 чисел an,0,an,1,an,2,…,an,na_{n, 0}, a_{n, 1}, a_{n, 2}, \ldots, a_{n, n}, де an,0=an,n=1a_{n, 0}=a_{n, n}=1. Для всіх 1≤k≤n−11 \leq k \leq n-1 виконується an,k=an−1,k−an−1,k−1a_{n, k}=a_{n-1, k}-a_{n-1, k-1}. Чому дорівнює сума абсолютних значень усіх чисел у 2018-му рядку?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-049

Мінімальний кут при додаванні векторів

Кевін починає з векторів (1,0)(1,0) і (0,1)(0,1) і на кожному кроці замінює один із векторів на їхню суму. Знайдіть котангенс найменшого можливого кута між векторами після 8 кроків.
10–11 класиІнші інваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-056

Жаби у ставку і на березі та очікуваний час

У ставку перебуває 20182018 жаб, а на березі — 11 жаба. На кожному наступному кроці часу одна випадково вибрана жаба змінює своє місце: якщо вона була в ставку, то стрибає на берег, і навпаки. Знайдіть математичне сподівання кількості кроків часу до першого моменту, коли всі жаби опиняться в ставку.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-062

Асимптотичне відношення кількостей способів розміну

Нехай nn — натуральне число. Нехай PnP_{n} — кількість способів, якими Претті Пенні може скласти рівно nn доларів із монет номіналом 25, 10, 5 і 1 цент. Також нехай BnB_{n} — кількість способів, якими Б'ютіфул Білл може скласти рівно nn доларів з однодоларових купюр і монет номіналом 25, 10 і 5 центів. Коли nn прямує до нескінченності, послідовність дробів PnBn\frac{P_{n}}{B_{n}} прямує до дійсного числа cc. Знайдіть cc. Примітка: вважайте, що і Претті Пенні, і Б'ютіфул Білл мають необмежену кількість монет кожного типу. Отже, монети й купюри мають номінали 1,5,10,25,1001,5,10,25,100 центів.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-064

Підкидання монети з умовами зупинки

Девід і Еван кожен неодноразово підкидають чесну монету. Девід зупиняється, щойно в нього випаде решка, а Еван зупиняється, щойно в нього випадуть 2 решки поспіль. Знайдіть ймовірність того, що загальна кількість орлів у Девіда більша, ніж в Евана.
10–11 класиГеометрична прогресія2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-070

Оцінка суми знакозмінного трикутника Паскаля

У Паскаля є трикутник. У nn-му рядку є n+1n+1 чисел an,0,an,1,an,2,…,an,na_{n, 0}, a_{n, 1}, a_{n, 2}, \ldots, a_{n, n}, де an,0=an,n=1a_{n, 0}=a_{n, n}=1. Для всіх 1≤k≤n−11 \leq k \leq n-1 виконується an,k=an−1,k−an−1,k−1a_{n, k}=a_{n-1, k}-a_{n-1, k-1}. Нехай NN — значення суми ∑k=02018∣a2018,k∣(2018k).\sum_{k=0}^{2018} \frac{\left|a_{2018, k}\right|}{\binom{2018}{k}} . Оцініть NN. Оцінка E>0E>0 дає ⌊20⋅2−∣N−E∣/70⌋\left\lfloor 20 \cdot 2^{-\left|N-E\right| / 70}\right\rfloor балів.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-012

Різниці послідовності з квадратичними сумами

Нехай n≥0n \geq 0 — ціле число. Послідовність a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots цілих чисел визначається так: a0=na_{0}=n, а для k≥1k \geq 1 число aka_{k} є найменшим цілим числом, більшим за ak−1a_{k-1}, для якого ak+ak−1a_{k}+a_{k-1} є квадратом цілого числа. Доведіть, що існує рівно ⌊2n⌋\lfloor\sqrt{2 n}\rfloor додатних цілих чисел, які не можна записати у вигляді ak−aℓa_{k}-a_{\ell}, де k>ℓ≥0k>\ell \geq 0.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2018-042

Послідовність фібоначчієвого типу з рекурентною сумою

Послідовність додатних дійсних чисел a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots задовольняє an=an−1+an−2a_n = a_{n-1} + a_{n-2} для всіх n≥3n \ge 3. Послідовність b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \dots задано рівностями b1=a1b_1 = a_1, bn=an+(b1+b2+⋯+bn−1)b_n = a_n + (b_1 + b_2 + \dots + b_{n-1}) для парних n>1n > 1, bn=an+(b2+b4+⋯+bn−1)b_n = a_n + (b_2 + b_4 + \dots + b_{n-1}) для непарних n>1n > 1. Доведіть, що якщо n≥3n \ge 3, то 13<bnn⋅an<1\frac{1}{3} < \frac{b_n}{n \cdot a_n} < 1.
10–11 класиМетод математичної індукції
Італійська математична олімпіадаITAMO-2018-007

Сума обернених добутків непарних чисел

Для кожного натурального числа nn позначимо через f(n)f(n) добуток усіх непарних натуральних чисел, не більших за 2n+12n+1 (наприклад, f(4)=1⋅3⋅5⋅7⋅9f(4)=1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9). Покладемо далі g(n)=nf(n)g(n)=\frac{n}{f(n)}. Що можна сказати про суму S=g(1)+g(2)+⋯+g(30)S=g(1)+g(2)+\cdots+g(30)? (A) S≤0.35S \leq 0.35 (B) 0.35<S≤0.490.35<S \leq 0.49 (C) 0.49<S≤0.500.49<S \leq 0.50 (D) 0.50<S≤0.510.50<S \leq 0.51 (E) S>0.51S>0.51
10–11 класиСуми послідовностей
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-007

Сума номерів послідовних вирваних сторінок

Жозе вирвав кілька послідовних аркушів із книги зі сторінками, пронумерованими послідовними цілими числами, написаними з обох боків кожного аркуша. Сума номерів вирваних сторінок дорівнює 344344. a) Визначте розклад числа 344344 на прості множники. b) Знайдіть суму першого й останнього чисел серед написаних на вирваних сторінках. c) Яка кількість вирваних сторінок?
8–9 класиАрифметична прогресія
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-001

Суми на шляхах у таблиці множення

Розглянемо таблицю множення n×nn \times n нижче. Числа першого стовпчика, помножені на числа першого рядка, дають решту чисел таблиці. | 1 | 2 | 3 | ⋯\cdots | nn | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | 2 | 4 | 6 | ⋯\cdots | 2n2 n | | 3 | 6 | 9 | ⋯\cdots | 3n3 n | | ⋮\vdots | ⋮\vdots | ⋮\vdots | ⋱\ddots | ⋮\vdots | | nn | 2n2 n | 3n3 n | ⋯\cdots | n2n^{2} | Побудуємо шлях з верхньої лівої клітинки до нижньої правої клітинки, щоразу переходячи на одну клітинку або праворуч, або вниз. Наприклад, для випадку n=5n=5 один із таких можливих шляхів наведено нижче, причому всі числа вздовж шляху обведено: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | Якщо додати обведені числа в наведеному вище прикладі (включно з початковою та кінцевою клітинками), отримаємо 93. Серед усіх таких можливих шляхів на сітці n×nn \times n: a. Яка найменша можлива сума чисел уздовж такого шляху? Відповідь виразіть через nn і доведіть її правильність. b. Яка найбільша можлива сума чисел уздовж такого шляху? Відповідь виразіть через nn і доведіть її правильність.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2017-011

Стійкі набори зі знаками, що чергуються

Назвемо набір (a1,…,an)(a_1, \dots, a_n) дійсних чисел стійким, якщо суми a1+a2+⋯+aka_1 + a_2 + \dots + a_k, а також суми ak+ak+1+⋯+ana_k + a_{k+1} + \dots + a_n, де в обох випадках 0<k≤n0 < k \le n, є або всі від'ємними, або всі невід'ємними. Наприклад, набір (3,−1,2)(3, -1, 2) є стійким, оскільки: 3≥0,2≥0,3+(−1)≥0,(−1)+2≥0,3+(−1)+2≥0;3+(−1)+2≥0.\begin{array}{lclcl} 3 & \ge & 0, & 2 & \ge 0, \\ 3 + (-1) & \ge & 0, & (-1) + 2 & \ge 0, \\ 3 + (-1) + 2 & \ge & 0; & 3 + (-1) + 2 & \ge 0. \end{array} Доведіть, що в будь-якому стійкому наборі з принаймні 3 членів, у якому всі члени почергово від'ємні та невід'ємні (невідомо, чи перший член від'ємний, чи невід'ємний), існують 3 послідовні члени, які разом (без переставляння) самі утворюють стійкий набір.
11 класЧислові нерівності
Естонська математична олімпіадаESTMO-2017-017

Розбиття чисел на групи із сумами в арифметичній прогресії

Знайдіть усі натуральні числа kk, для яких числа 1,2,…,20171, 2, \dots, 2017 можна поділити на kk груп так, щоб суми чисел у цих групах були kk послідовними членами арифметичної прогресії.
11 класАрифметична прогресія
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2017-009

Рекурентна послідовність, що перевищує квадрат

Нехай a1=1a_1 = 1, а для кожного n>1n > 1 нехай an=n⋅a⌊n2⌋a_n = n \cdot a_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}. Доведіть, що для кожного n≥12n \ge 12 виконується an>n2a_n > n^2.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2017-010

Гра з ітерованою послідовністю за модулем

Каті та Пеетер грають у таку гру. Спочатку Каті пише на дошці натуральне число a>2016a > 2016. Потім Пеетер починає дописувати на дошку нові числа, додаючи на кожному кроці число 2016b+12016b + 1, де bb — найбільше число на дошці. Пеетер виграє, якщо в якийсь момент він напише число, яке ділиться на 20172017. Інакше виграє Каті. Чи може Каті виграти, і якщо так, то яке найменше число aa вона може написати, щоб виграти?
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-018

3-адичний показник у лінійному рекурентному співвідношенні

Послідовність задано так: {u0=15, u1=57un=un−1+un−2  для всіх n≥2\left\{\begin{array}{l} u_{0}=15,\ u_{1}=57 \\ u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}\ \text{ для всіх } n \geq 2 \end{array}\right. Знайдіть найбільше ціле число kk таке, що 3k∣u20173^{k} \mid u_{2017}.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.