Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

995 задач
ГеометріяГеометричні перетворення
Відбіркові тести на IMOTST-2007-001

Вписаний чотирикутник у трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція, у якої AB∥CDAB \parallel CD та AB>CDAB > CD. Точки KK і LL лежать на сторонах ABAB та CDCD відповідно, причому AKKB=DLLC\dfrac{AK}{KB} = \dfrac{DL}{LC}. Точки PP і QQ лежать на відрізку KLKL так, що ∠APB=∠BCDі∠CQD=∠ABC\angle APB = \angle BCD \quad \text{і} \quad \angle CQD = \angle ABC Доведіть, що точки PP, QQ, BB і CC лежать на одному колі.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2007-009

Точка з рівними різницями кутів

Нехай точка PP лежить усередині трикутника ABCA B C і задовольняє умову ∡BPC−∡BAC=∡CPA−∡CBA=∡APB−∡ACB.\varangle B P C-\varangle B A C=\varangle C P A-\varangle C B A=\varangle A P B-\varangle A C B . Доведіть, що тоді виконується: PA‾⋅BC‾=PB‾⋅AC‾=PC‾⋅AB‾\overline{P A} \cdot \overline{B C}=\overline{P B} \cdot \overline{A C}=\overline{P C} \cdot \overline{A B} Спочатку зауважимо, що ∡BPC=60∘+α,∡CPA=60∘+β,∡APB=60∘+γ\varangle B P C=60^{\circ}+\alpha, \varangle C P A=60^{\circ}+\beta, \varangle A P B=60^{\circ}+\gamma. З міркувань симетрії достатньо показати одну з двох стверджуваних рівностей. (Вказівка: для кута ∡XYZ\varangle X Y Z, де 0∘<∡XYZ<180∘0^{\circ}<\varangle X Y Z<180^{\circ}, у математично додатному напрямі покладемо ∡ZYX:=180∘−∡XYZ\varangle Z Y X:= 180^{\circ}-\varangle X Y Z. За цією домовленістю, наприклад, для чотирьох попарно різних точок W,X,Y,ZW, X, Y, Z на колі завжди ∡XYZ=∡XWZ\varangle X Y Z=\varangle X W Z).
10–11 класиПоворотна гомотетія
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2007-003

Периметр чотирикутника з фіксованими діагоналями

Діагоналі ACAC і BDBD чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точці PP всередині чотирикутника. Якщо AC=2AC = 2, BD=3BD = 3 і ∠APB=60∘\angle APB = 60^\circ, то яке найменше можливе значення суми AB+BC+CD+DAAB + BC + CD + DA?
7–9 класиНерівність трикутника
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-018

Перетин в одній точці прямих через дотик напіввписаних кіл

Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC. Нехай ΓA\Gamma_A — коло, яке дотикається до прямих ABAB, ACAC і дотикається до кола Γ\Gamma внутрішньо, ΓB\Gamma_B — коло, яке дотикається до прямих ABAB, BCBC і дотикається до кола Γ\Gamma внутрішньо, а ΓC\Gamma_C — коло, яке дотикається до прямих ACAC, BCBC і дотикається до кола Γ\Gamma внутрішньо. Нехай кола ΓA,ΓB,ΓC\Gamma_A, \Gamma_B, \Gamma_C дотикаються до кола Γ\Gamma у точках P,Q,RP, Q, R. Доведіть, що прямі AP,BQ,CRAP, BQ, CR перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2007-003

Рівнобедрений трикутник з основ висот

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а точки DD, EE і FF — основи висот, проведених з вершин AA, BB і CC відповідно. Нехай SS — точка перетину прямої EFEF з перпендикуляром до сторони ACAC, проведеним через точку DD. Доведіть, що трикутник DESDES рівнобедрений.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2007-007

Центри дотичних кіл у трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а ω,Ω\omega, \Omega та RR — відповідно його вписане коло, описане коло та радіус описаного кола. Коло ωA\omega_A дотикається внутрішньо до кола Ω\Omega у точці AA і дотикається зовнішньо до кола ω\omega. Коло ΩA\Omega_A дотикається внутрішньо до кола Ω\Omega у точці AA і дотикається внутрішньо до кола ω\omega. Нехай PAP_A і QAQ_A позначають центри кіл ωA\omega_A і ΩA\Omega_A відповідно. Аналогічно визначимо точки PB,QB,PC,QCP_B, Q_B, P_C, Q_C. Доведіть, що 8PAQA⋅PBQB⋅PCQC≤R3,8P_AQ_A \cdot P_BQ_B \cdot P_CQ_C \le R^3, причому рівність досягається тоді й лише тоді, коли трикутник ABCABC є рівностороннім.
10–11 класиІнверсія
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2006-002

Геометричне місце центрів вписаних прямокутників

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. У цей трикутник вписано прямокутник DEFGDEFG так, що DD лежить на стороні ABAB, EE — на стороні ACAC, а FF і GG — на стороні BCBC. Опишіть геометричне місце (тобто криву, яку займають) точок перетину діагоналей усіх можливих прямокутників DEFGDEFG.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-091

Трисекція кута прямокутного трикутника

Трикутник ABCA B C має прямий кут при BB. Точка DD лежить на стороні BCB C так, що 3∠BAD=∠BAC3 \angle B A D = \angle B A C. Відомо, що AC=2A C = 2 і CD=1C D = 1. Обчисліть довжину відрізка BDB D.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-060

Перетин кіл у правильному многокутнику

Дано правильний nn-кутник зі сторонами довжини 11. Який найменший радіус rr такий, що існує непорожній перетин nn кіл радіуса rr з центрами у вершинах nn-кутника? Запишіть rr у вигляді формули через nn. Обов'язково доведіть свою відповідь.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-070

Круг, що покриває рівні площі чорних і червоних клітин

Програвши партію в шашки й втративши самовладання, я розкидав усі шашки на підлогу, крім однієї. Ця остання шашка, що має ідеально круглу форму, залишилася повністю на дошці і, так сталося, покриває рівні площі червоних і чорних клітин. Доведіть, що центр цієї шашки мусить лежати на межі між двома клітинками (або на перетині чотирьох).
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-026

Добуток BD·DC при XY 8 і AE 15

ABCA B C — гострокутний трикутник із вписаним колом ω\omega. Коло ω\omega дотикається до сторін BC‾\overline{B C}, CA‾\overline{C A} та AB‾\overline{A B} у точках DD, EE і FF відповідно. PP — точка на висоті з AA така, що Γ\Gamma, коло з діаметром AP‾\overline{A P}, дотикається до кола ω\omega. Коло Γ\Gamma перетинає сторони AC‾\overline{A C} та AB‾\overline{A B} у точках XX та YY відповідно. Відомо, що XY=8X Y = 8, AE=15A E = 15, а радіус кола Γ\Gamma дорівнює 55, обчисліть BD⋅DCB D \cdot D C.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2006-003

Хорди кола з паралельністю та відбиттям

Нехай AA, BB, CC, DD, EE, FF — точки на колі, причому AE∥BDA E \| B D і BC∥DFB C \| D F. При відбитті відносно прямої CEC E точка DD переходить у XX. Доведіть, що XX віддалена від прямої EFE F так само, як BB від прямої ACA C.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2006-029

Вписаний чотирикутник із симетричних точок дотику

Нехай дано трикутник ABCABC з AB‾+BC‾=3AC‾\overline{AB} + \overline{BC} = 3 \overline{AC}. Його вписане коло має центр II і дотикається до сторін ABAB у точці DD та BCBC у точці EE відповідно. Далі нехай KK і LL — точки, симетричні точкам DD і EE відповідно відносно II. Доведіть, що чотирикутник ACKLACKL є вписаним.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2006-005

Відношення відрізків дотичної до описаного кола трикутника

У гострокутному трикутнику ABCABC відрізки ADAD, BEBE і CFCF є його висотами, а HH — його ортоцентр. Коло ω\omega із центром OO проходить через точки AA і HH та перетинає сторони ABAB і ACAC удруге в точках QQ і PP (відмінних від AA) відповідно. Описане коло трикутника OPQOPQ дотикається до відрізка BCBC у точці RR. Доведіть, що CR/BR=ED/FDCR/BR = ED/FD.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2006-019

Перпендикулярність із центра описаного кола у побудованому трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник. Трикутники PABPAB і QACQAC побудовано зовні трикутника ABCABC так, що AP=ABAP = AB і AQ=ACAQ = AC та ∠BAP=∠CAQ\angle BAP = \angle CAQ. Відрізки BQBQ і CPCP перетинаються в точці RR. Нехай OO — центр описаного кола трикутника BCRBCR. Доведіть, що AO⊥PQAO \perp PQ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2006-003

Геометричне місце ортоцентра трикутника на колі

Нехай Γ\Gamma — коло, а AA і BB — дві різні точки кола Γ\Gamma, які не є діаметрально протилежними. Нехай PP — змінна точка кола Γ\Gamma, відмінна від AA і від BB, а HH — ортоцентр трикутника ABPA B P. Визначте геометричне місце, яке описує HH при зміні PP.
10–11 класиТочка перетину висот3 розв’язки
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2006-001

Куб із центроїдів граней октаедра

Сполучивши центроїди кожних двох сусідніх граней правильного октаедра, можна утворити куб. У скільки разів куб більший за октаедр?
7–9 класиТочка перетину медіан
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2006-004

Подібні трикутники в шестикутнику та умова рівносторонності

Для опуклого шестикутника ABCDEFABCDEF три трикутники ABCABC, CDECDE, EFAEFA подібні. Тобто, ∠BAC=∠DCE=∠FEA\angle BAC = \angle DCE = \angle FEA ∠BCA=∠DEC=∠FAE.\angle BCA = \angle DEC = \angle FAE. Знайдіть умови на ці три трикутники, за яких △ACE\triangle ACE є рівностороннім трикутником тоді й лише тоді, коли △BDF\triangle BDF є рівностороннім трикутником.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2006-010

Паралелограм з перетину рівних кіл

Три рівні кола k1k_{1}, k2k_{2}, k3k_{3} перетинаються в одній точці PP, причому не дотикаються. Нехай AA і BB — центри кіл k1k_{1} і k2k_{2}. Нехай DD та CC — відмінні від PP точки перетину кола k3k_{3} з колами k1k_{1} та k2k_{2} відповідно. Доведіть, що ABCDA B C D — паралелограм.
10–11 класиПаралельний перенос
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2006-006

Спільна точка чотирьох кіл у чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, а точки EE і FF лежать на сторонах ADAD і BCBC відповідно так, що AE/ED=BF/FCAE/ED = BF/FC. Промінь FEFE перетинає промені BABA і CDCD у точках SS і TT відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників SAESAE, SBFSBF, TCFTCF і TDETDE проходять через спільну точку.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-097

Дотичні кола у півколі

Нехай ABAB — діаметр півкола Γ\Gamma. Два кола, ω1\omega_1 і ω2\omega_2, що дотикаються одне до одного зовні та дотикаються до півкола Γ\Gamma зсередини, дотикаються до прямої ABAB у точках PP і QQ відповідно, а до півколової дуги ABAB — у точках CC і DD відповідно, причому AP<AQAP < AQ. Припустімо, що точка FF лежить на півколі Γ\Gamma так, що ∠FQB=∠CQA\angle FQB = \angle CQA і ∠ABF=80∘\angle ABF = 80^\circ. Знайдіть ∠PDQ\angle PDQ у градусах.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-012

Геометричне місце третіх вершин куба

У просторі задано дві вершини куба. Геометричне місце точок, які можуть бути третьою вершиною куба, є об'єднанням nn кіл. Знайдіть nn.
10–11 класиПоворот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-033

Точки дотику вписаного кола та відображені перетини

Трикутник ABCABC має вписане коло ω\omega, яке дотикається до сторони ABAB у точці C1C_1, до сторони BCBC у точці A1A_1 і до сторони CACA у точці B1B_1. Нехай A2A_2 — точка, симетрична A1A_1 відносно середини сторони BCBC, а точки B2B_2 і C2C_2 означено аналогічно. Нехай A3A_3 — точка перетину відрізка AA2AA_2 з колом ω\omega, ближча до AA, а точки B3B_3 і C3C_3 означено аналогічно. Якщо AB=9AB=9, BC=10BC=10 і CA=13CA=13, знайдіть [A3B3C3]/[ABC]\left[A_3 B_3 C_3\right] / [ABC]. (Тут [XYZ][XYZ] позначає площу трикутника XYZXYZ.)
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-037

Розфарбування цілочисельної решітки з умовою симетрії

Скільки існує способів розфарбувати множину впорядкованих пар цілих чисел у червоний і синій кольори так, щоб для всіх aa і bb точки (a,b)(a, b), (−1−b,a+1)(-1-b, a+1) і (1−b,a−1)(1-b, a-1) були одного кольору?
10–11 класиПоворот
Відбіркові тести на IMOTST-2005-004

Найкоротша мережа для точок решітки

Нехай E={−1,0,1}E=\{-1,0,1\} і MM — множина точок цілочисельної решітки площини. Точки множини MM з'єднано між собою мережею відрізків (S)(S) так, що від кожної точки з MM до кожної іншої точки з MM можна дістатися, не виходячи з мережі (S)(S). При цьому відрізки мережі, крім точок решітки, можуть містити також інші кінцеві точки. Знайти найменшу загальну довжину мережі відрізків, якщо: a) M={(i,j)∣i,j∈EM=\{(i, j) \mid i, j \in E і i⋅j=0}i \cdot j=0\} b) M={(i,j)∣i,j∈E}M=\{(i, j) \mid i, j \in E\}
10–11 класиПоворот

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.