Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 010 задач
КомбінаторикаІгри і стратегії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-052

Сума коренів ітерованого квадратного тричлена

Нехай f(x)=−x2+10x−20f(x) = -x^{2} + 10x - 20. Знайдіть суму всіх 220102^{2010} розв’язків рівняння f(f(…(x)…))⏟2010 f-ів=2.\underbrace{f(f(\ldots(x) \ldots))}_{2010\ f\text{-ів}} = 2.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-055

Періодичність послідовності вибору карток

У грі «Галактичне панування» гравці змагаються, щоб назбирати картки, кожна з яких приносить певну кількість очок. Припустімо, ви граєте у версію цієї гри лише з двома видами карток: картками планет і картками гегемонів. Кожна картка планети коштує 20102010 очок, а кожна картка гегемона коштує чотири очки за кожну наявну картку планети. На початку ви не маєте жодної картки планети й жодної картки гегемона, і кожного ходу, починаючи з першого, ви берете або картку планети, або картку гегемона — ту, яка коштує більше очок з огляду на набір, який ви наразі маєте. Визначимо послідовність {an}\{a_{n}\} для всіх натуральних чисел nn, поклавши ana_{n} рівним 00, якщо на ході nn ви берете картку планети, і 11, якщо ви берете картку гегемона. Яке найменше значення NN таке, що послідовність aN,aN+1,…a_{N}, a_{N+1}, \ldots обов'язково є періодичною (тобто існує натуральне число kk таке, що an+k=ana_{n+k}=a_{n} для всіх n≥Nn \geq N)?
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Відбіркові тести на IMOTST-2010-005

Гра з перевертанням карток інтервалами

На столі лежать поруч в один ряд 2009 карток. Спочатку в усіх карток верхній бік білий, а нижній — чорний. Картки пронумеровано від 11 до 20092009. Два гравці AA та BB по черзі роблять хід, причому AA починає. Кожен хід полягає в тому, що гравець вибирає картку з номером kk (k<1969k < 1969), білий бік якої лежить зверху, а потім перевертає на своїх місцях картки з номерами k,k+1,k+2,…,k+40k, k+1, k+2, \ldots, k+40. Останній гравець, який зміг зробити допустимий хід, виграє гру. a) Визначте, чи ця гра обов'язково закінчується. b) Для якого з двох гравців існує виграшна стратегія?
10–11 класиПарність і непарність
Відбіркові тести на IMOTST-2010-031

Вибір більшості при розподілі фруктів

Банани, яблука й апельсини довільно розподілені по 100 ящиках. Доведіть, що можна вибрати 51 ящик, які разом містять принаймні половину фруктів кожного виду.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Італійська математична олімпіадаITAMO-2010-002

Редукція бінарного рядка ходами заміни

У країні Кукканья грають у такий пасьянс. Починають зі скінченного рядка з нулів та одиниць, і дозволені такі ходи: (i) викреслити дві послідовні одиниці; (ii) викреслити три послідовні нулі; (iii) якщо всередині рядка є підрядок 01, можна замінити цей підрядок на 100. Ходи (i), (ii) і (iii) треба виконувати по одному за раз послідовно. Вважається, що гравець виграв, якщо вдається звести рядок до рядка, утвореного з двох цифр або менше. (Наприклад, починаючи з 0101 можна виграти, спочатку застосувавши хід (iii) до двох останніх цифр, отримавши 01100, потім застосувавши хід (i) до двох одиниць у ньому, і нарешті хід (ii) до трьох нулів, що залишилися: так отримуємо порожній рядок.) Скільки серед усіх 1024 можливих рядків з десяти цифр таких, починаючи з яких неможливо виграти пасьянс?
10–11 класиОстача від ділення2 розв’язки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2010-008

Перестановки з непарною кількістю інверсій

Скількома способами можна вишикувати 20102010 білих каменів і 20102010 чорних каменів уздовж горизонтальної прямої так, щоб виконувалася така умова? У шерензі є непарна кількість пар, що складаються з одного білого каменя й одного чорного каменя, причому білий лежить праворуч від чорного.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2010-003

Передача печива на круглому столі

За круглим столом сидять 2n2n людей, яким роздано mm печив. Ці люди можуть передавати печиво за такими правилами: - Передавати печиво можна лише своїм сусідам. - Передати печиво можна, лише з'ївши одне печиво. Нехай AA — один із цих людей. Знайдіть найменше mm таке, що незалежно від того, як було розподілено mm печив, існує стратегія передавання печива, за якої AA матиме принаймні одне печиво.
10–11 класиНапівінваріанти
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2010-010

Гра з конем на прямокутній дошці

Арнольд і Бернольд грають у таку гру на дошці m×nm \times n: Арнольд вибирає одну з її клітинок і ставить на неї коня. Потім Бернольд і Арнольд по черзі рухають коня з умовою, що кінь відвідує кожну клітинку не більше одного разу. Гравець, який не може походити конем, програє. Визначте залежно від mm і nn, який із гравців має виграшну стратегію. Зауваження: кінь завжди ходить на дві клітинки вздовж рядка чи стовпця, а потім на одну клітинку в перпендикулярному напрямку.
8–9 класиСиметрія та розбиття на пари
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2010-001

Злиття трьох каменів на прямій в одну точку

На дійсній прямій лежать три камені з цілочисельними координатами. За один крок можна вибрати два з цих каменів, один зсунути на 11 вліво, а інший — на 11 вправо. Для яких початкових положень можна всі три камені відповідною послідовністю кроків перемістити в одну й ту саму точку?
10–11 класиІнші інваріанти
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2010-002

Обміни в колі з упорядкованим зростом

Є nn учнів, які стоять у колі один за одним. Учні мають зрости h1<h2<⋯<hnh_1 < h_2 < \dots < h_n. Якщо учень зі зростом hkh_k стоїть безпосередньо за учнем зі зростом hk−2h_{k-2} чи менше, то ці двоє учнів можуть помінятися місцями. Доведіть, що неможливо зробити більше ніж (n3)\binom{n}{3} таких обмінів, доки не буде досягнуто розташування, у якому жодні подальші обміни неможливі.
10–11 класиНапівінваріанти2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-137

Очікувана кількість карт між двома джокерами

До колоди з 5252 карт додають два джокери, і всю стопку з 5454 карт ретельно перетасовують. Яке математичне сподівання кількості карт, що опиняться між двома джокерами?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-092

Хроматичне число регулярного графа

Нехай GG — скінченний граф, у якому кожна вершина має степінь kk. Доведіть, що хроматичне число графа GG не перевищує k+1k+1.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-071

Підмножини без пар із сумою 11

Скільки підмножин AA множини {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} мають властивість, що жодні два елементи підмножини AA у сумі не дають 1111?
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-030

Очікуваний рахунок у грі з розбиттям блоків

Стен має стос зі 100 блоків і починає з рахунку 0 та грає в гру, у якій він повторює таку процедуру з двох кроків: a. Стен вибирає стос блоків і розбиває його на 2 менші стоси, у кожному з яких додатна кількість блоків, скажімо aa і bb. (Порядок, у якому кладуть нові стоси, не має значення.) b. Стен додає до свого рахунку добуток розмірів двох стосів, abab. Гра закінчується, коли залишаються лише стоси з 1 блока. Чому дорівнює математичне сподівання рахунку Стена наприкінці гри?
10–11 класиІнші інваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-040

Числа з парною кількістю одиниць у двійковому записі

Натуральне число називається радісним, якщо кількість одиниць у його двійковому записі парна. Наприклад, 6=11026=110_{2} — радісне число. Знайдіть 2009-те найменше радісне число.
10–11 класиСистеми числення
Відбіркові тести на IMOTST-2009-010

Породження чисел рекурсивними правилами

На дошці на початку стоїть натуральне число. Якщо на дошці стоїть число xx, то дозволено дописати числа 2x+12x+1 і xx+2\frac{x}{x+2}. У якийсь момент на дошці стоїть також число 2008. Доведіть, що воно стояло там від самого початку.
10–11 класиІнші інваріанти
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2009-001

Сума чисел, взаємно простих із даним числом

Нехай nn — натуральне число, а S(n)S(n) — сума всіх таких цілих чисел kk, 1≤k≤n1 \le k \le n, які взаємно прості з nn (тобто найбільший спільний дільник чисел kk і nn дорівнює 1). (1) Знайдіть значення S(30)S(30) (доводити не потрібно). (2) Знайдіть усі nn, для яких S(n)S(n) — просте число. Тут під простим числом ми розуміємо ціле число, більше або рівне 2, яке не має інших дільників, крім 1 і самого себе.
7–9 класиСиметрія та розбиття на пари
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2009-002

Розбиття чисел на дві групи з рівними сумами

Нехай NN — натуральне число. Припустімо, що на дошці написано деяку сукупність цілих чисел, які задовольняють такі властивості. Кожне написане число kk задовольняє 1≤k≤N1 \le k \le N. Кожне kk з 1≤k≤N1 \le k \le N написано принаймні один раз. Сума всіх написаних чисел парна. Доведіть, що, позначивши деякі з написаних чисел символом O\mathcal{O}, а решту — символом ×\times, можна зробити суму тих, що позначені символом O\mathcal{O}, рівною сумі тих, що позначені символом ×\times.
10–11 класиЖадібний алгоритм2 розв’язки
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2009-002

Перевертання монет за правилом сусідства

На столі лежать 20092009 монет, кожна з яких має один бік білий, а другий — чорний. Спочатку всі монети вишикувані в ряд білими боками догори, крім однієї, що лежить чорним боком догори. На кожному кроці ми вибираємо монету, що лежить чорним боком догори, і перевертаємо дві сусідні монети. Якщо вибрано крайню монету, то перевертаємо лише одну сусідню монету. Знайдіть усі початкові положення чорної монети, з яких можна досягти стану, коли всі монети лежать чорними боками догори.
10–11 класиІнші інваріанти
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2009-004

Гра без повторних ребер на решітці

Двоє гравців грають у гру на решітці (m+1)(m+1) на mm, що має m+1m+1 горизонтальних прямих, mm вертикальних прямих, а отже, m(m+1)m(m+1) точок перетину. На одну з точок перетину кладуть камінчик. Гравці по черзі пересувають камінчик у сусідню точку вздовж ребра, але їм заборонено використовувати ребра, які вже були використані будь-ким із гравців. Гравець програє, якщо він більше не може пересунути камінчик. Доведіть, що перший гравець має виграшну стратегію, якщо камінчик спочатку стояв на точці нижньої горизонтальної прямої.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2009-003

Перерозподіл камінців на цілочисельній решітці

Є 20092009 камінців у деяких точках (x,y)(x, y) з обома цілими координатами. Операція полягає у виборі точки (a,b)(a, b) з чотирма або більше камінцями, знятті чотирьох камінців з точки (a,b)(a, b) і розміщенні по одному камінцю в кожну з точок (a,b−1),(a,b+1),(a−1,b),(a+1,b)(a, b - 1), (a, b + 1), (a - 1, b), (a + 1, b) Покажіть, що після скінченної кількості операцій у кожній точці обов'язково буде не більше трьох камінців. Доведіть, що кінцева конфігурація не залежить від порядку виконання операцій.
10–11 класиНапівінваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-124

Середнє значення медіани підмножин

Нехай S={1,2,…,2008}S=\{1,2, \ldots, 2008\}. Для будь-якої непорожньої підмножини A⊂SA \subset S визначимо m(A)m(A) як медіану множини AA (коли AA має парну кількість елементів, m(A)m(A) — це середнє арифметичне двох середніх елементів). Знайдіть середнє значення m(A)m(A), коли AA пробігає всі непорожні підмножини множини SS.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-003

Знакозмінна сума послідовних чисел

Обчисліть суму 1−2+3−4+⋯+2007−20081 - 2 + 3 - 4 + \cdots + 2007 - 2008
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-065

Унікальна гра у назви проблем тисячоліття

У 2000 році Математичний інститут Клея назвав сім Проблем тисячоліття, за розв'язання кожної з яких призначено приз у 11 мільйон. Запишіть назву ОДНІЄЇ із семи Проблем тисячоліття Клея. Якщо вашу відповідь подано неправильно або з помилкою в написанні, то її буде дискваліфіковано. Якщо інша команда записала ту саму Проблему тисячоліття, що й ви, то ви отримуєте 0 балів, інакше ви отримуєте 20 балів.
10–11 класиКласичні ігри
Відбіркові тести на IMOTST-2008-014

Періодичні рекурентні послідовності цілих чисел

Дві послідовності цілих чисел, a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots і b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \dots, задовольняють рівняння (an−an−1)(an−an−2)+(bn−bn−1)(bn−bn−2)=0(a_n - a_{n-1})(a_n - a_{n-2}) + (b_n - b_{n-1})(b_n - b_{n-2}) = 0 для кожного цілого числа nn, більшого за 22. Доведіть, що існує натуральне число kk таке, що ak=ak+2008a_k = a_{k+2008}.
10–11 класиНапівінваріанти2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.