Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 140 задач
ГеометріяВизначні точки та лінії трикутника
Відбіркові тести на IMOTST-2017-020

Симетричний інцентру відносно сторони на описаному колі

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB=AC≠BCAB = AC \neq BC. Нехай далі II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Пряма BIBI перетинає ACAC у точці DD, а перпендикуляр до ACAC, проведений через DD, перетинає AIAI у точці EE. Доведіть, що точка, симетрична точці II відносно прямої ACAC, лежить на описаному колі трикутника BDEBDE.
10–11 класиТеорема про тризуб
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-012

Прямокутна трапеція з вписаним колом

Прямокутна трапеція з більшою основою ABAB і меншою основою CDCD описана навколо кола радіуса 1010. Відомо, що бічна сторона BCBC дорівнює 2424. Яка відстань між серединами сторін BCBC і ADAD? (A) 21 (B) 13211\frac{13}{2} \sqrt{11} (C) 33511\frac{33}{5} \sqrt{11} (D) 22 (E) 23
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-034

Серединний перпендикуляр і центр описаного кола

Серединним перпендикуляром до відрізка XYX Y називається пряма, перпендикулярна до відрізка, що проходить через його середину. Основна властивість серединного перпендикуляра полягає в тому, що точка лежить на ньому тоді й лише тоді, коли відстань від цієї точки до XX дорівнює відстані від цієї точки до YY. Твердження, сформульоване з використанням «тоді й лише тоді», рівносильне двом імплікаціям. У даному випадку, щоб перевірити сформульоване твердження, нам потрібно, з одного боку, показати, що якщо відстань до XX дорівнює відстані до YY, то точка лежить на серединному перпендикулярі. З іншого боку, нам потрібно показати, що якщо точка лежить на серединному перпендикулярі, то відстані до точок XX і YY рівні. Щоб довести першу частину, розгляньмо точку PP таку, що PX=PYP X=P Y, і нехай MM — середина відрізка XYX Y. Трикутники PMXP M X і PMYP M Y рівні, оскільки мають три відповідні сторони однакової довжини. Отже, ∠PMX=∠PMY\angle P M X=\angle P M Y. Оскільки X,MX, M і YY колінеарні, маємо ∠PMX+∠PMY=180∘\angle P M X+\angle P M Y=180^{\circ}. Отже, ∠PMX=90∘\angle P M X=90^{\circ} і PP лежить на прямій, перпендикулярній до відрізка, що проходить через його середину. a) Доведіть другу частину твердження, тобто доведіть, що якщо PP — точка на серединному перпендикулярі до відрізка XYX Y, то PX=PYP X=P Y. b) Доведіть, що будь-який трикутник ABCA B C має точку OO в тій самій площині таку, що OA=OB=OCO A=O B=O C. Ця точка називається центром описаного кола трикутника, оскільки коло з центром OO і радіусом AOA O проходить через три вершини трикутника ABCA B C. c) Розгляньмо чотирикутник ABCDA B C D. Припустимо, що серединні перпендикуляри до відрізків ABA B, ACA C і ADA D перетинаються в одній точці, тобто всі три проходять через одну й ту саму точку. Доведіть, що існує коло, яке проходить через 4 вершини чотирикутника ABCDA B C D.
8–9 класиТочка перетину серединних перпенд…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-043

Вписаний чотирикутник з перпендикулярними діагоналями

Чотирикутник називається вписаним, коли його чотири вершини лежать на одному колі. Розглянемо вписаний чотирикутник ABCDABCD з перпендикулярними діагоналями ACAC і BDBD. Крім того, нехай OO — центр кола, що проходить через вершини чотирикутника, а PP — точка перетину діагоналей. a) З точки PP проведемо пряму rr, перпендикулярну до BCBC. Пряма rr перетинає BCBC в точці XX, а ADAD — в точці MM. Доведіть, що MM — середина сторони ADAD. b) З точки PP проведемо пряму ss, перпендикулярну до ADAD, що перетинає ADAD в точці YY, а BCBC — в точці NN. Доведіть, що чотирикутник OMPNOMPN — паралелограм.
8–9 класиЦентральні і вписані кути
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-008

Перпендикулярність з інцентром і діаметром описаного кола

Нехай II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Нехай DD — точка, діаметрально протилежна AA на описаному колі. Припустимо, що точка EE променя [BA)[BA) і точка FF променя [CA)[CA) задовольняють умову BE=CF=AB+BC+CA2.BE = CF = \frac{AB + BC + CA}{2}. Доведіть, що (EF)⊥(DI)(EF) \perp (DI).
9–11 класиРадикальна вісь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-123

Відстань між центрами описаних кіл трикутників з ортоцентром

Нехай ABCABC — трикутник з AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC. Знайдіть відстань між центрами описаних кіл трикутників AHBAHB і AHCAHC.
10–11 класиТочка перетину висот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-009

Відстань від вершини восьмикутника до перетину діагоналей

Нехай PROBLEMZP R O B L E M Z — правильний восьмикутник, вписаний у коло одиничного радіуса. Діагоналі MRM R, OZO Z перетинаються в точці II. Обчисліть довжину відрізка LIL I.
10–11 класиТочка перетину бісектрис
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-087

Гострокутний трикутник із прямим кутом між центрами

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з інцентром II і центром описаного кола OO. Припустимо, що ∠OIA=90∘\angle OIA = 90^\circ. Відомо, що AI=97AI = 97 і BC=144BC = 144. Обчисліть площу △ABC\triangle ABC.
10–11 класиТеорема про тризуб
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-124

Перетин описаних кіл у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=3AB = 3, AC=8AC = 8, BC=7BC = 7, а MM і NN — середини сторін AB‾\overline{AB} та AC‾\overline{AC} відповідно. Точку TT вибрано на стороні BCBC так, що AT=TCAT = TC. Описані кола трикутників BATBAT, MANMAN перетинаються в точці DD. Обчисліть довжину відрізка DCDC.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-126

Площа трикутника за дотичними вписаного кола

Нехай ABCABC — трикутник з інцентром II, вписаним колом γ\gamma та описаним колом Γ\Gamma. Нехай M,N,PM, N, P — середини сторін BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA}, AB‾\overline{AB}, а E,FE, F — точки дотику кола γ\gamma зі сторонами CA‾\overline{CA} та AB‾\overline{AB} відповідно. Нехай UU, VV — перетини прямої EFEF з прямими MNMN та MPMP відповідно, а XX — середина дуги BAC^\widehat{BAC} кола Γ\Gamma. Відомо, що AB=5AB=5, AC=8AC=8 та ∠A=60∘\angle A=60^\circ, обчисліть площу трикутника XUVXUV.
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-127

Рівновіддалена точка решітки за модулем простого числа

Нехай S={(x,y)∣x,y∈Z,0≤x,y≤2016}S=\{(x, y) \mid x, y \in \mathbb{Z}, 0 \leq x, y \leq 2016\}. Для точок A=(x1,y1)A=(x_1, y_1), B=(x2,y2)B=(x_2, y_2) з SS визначимо d2017(A,B)=(x1−x2)2+(y1−y2)2(mod2017)d_{2017}(A, B) = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 \pmod{2017} Точки A=(5,5)A=(5,5), B=(2,6)B=(2,6), C=(7,11)C=(7,11) лежать в SS. Існує також точка O∈SO \in S, яка задовольняє d2017(O,A)=d2017(O,B)=d2017(O,C)d_{2017}(O, A) = d_{2017}(O, B) = d_{2017}(O, C) Знайдіть d2017(O,A)d_{2017}(O, A).
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-079

Спільна дотична до вписаних кіл трикутника

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB=13, BC=14BC=14, CA=15CA=15. Висота з AA перетинає BCBC в точці DD. Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — вписані кола трикутників ABDABD і ACDACD, а спільна зовнішня дотична до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} (відмінна від прямої BCBC) перетинає ADAD в точці EE. Обчисліть довжину AEAE.
10–11 класиВписане коло2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-129

Відрізок між інцентрами у вписаному чотирикутнику

У вписаному чотирикутнику ABCDABCD з AB=AD=49AB = AD = 49 і AC=73AC = 73 нехай II і JJ — інцентри трикутників ABDABD і CBDCBD. Якщо діагональ BD‾\overline{BD} ділить навпіл відрізок IJ‾\overline{IJ}, знайдіть довжину IJIJ.
10–11 класиТеорема про тризуб
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-042

Паралельні прямі в трикутнику із серединами

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB = 13, AC=14AC = 14 і BC=15BC = 15. Нехай GG — точка на стороні ACAC така, що відбиття прямої BGBG відносно бісектриси кута ∠B\angle B проходить через середину сторони ACAC. Нехай YY — середина відрізка GCGC, а XX — точка на відрізку AGAG така, що AXXG=3\frac{AX}{XG} = 3. Точки FF і HH на сторонах ABAB і BCBC відповідно вибрано так, що FX∥BG∥HYFX \parallel BG \parallel HY. Якщо AHAH і CFCF перетинаються в точці ZZ, а WW лежить на ACAC так, що WZ∥BGWZ \parallel BG, знайдіть довжину відрізка WZWZ.
10–11 класиІнші точки трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-071

Вісім кривих трикутника 2, 3, 4 та їх перетини

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=2AB = 2, AC=3AC = 3, BC=4BC = 4. Ізогональним спряженням точки PP, позначеним P∗P^*, називається точка, отримана перетином відбиттів прямих PAPA, PBPB, PCPC відносно бісектрис кутів ∠A\angle A, ∠B\angle B і ∠C\angle C відповідно. Для точки QQ через K(Q)\mathfrak{K}(Q) позначимо єдину кубічну плоску криву, яка проходить через усі точки PP такі, що пряма PP∗PP^* містить QQ. Розглянемо: a. кубіку Маккея K(O)\mathfrak{K}(O), де OO — центр описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC, b. кубіку Томсона K(G)\mathfrak{K}(G), де GG — центроїд трикутника △ABC\triangle ABC, c. кубіку Наполеона–Фейєрбаха K(N)\mathfrak{K}(N), де NN — центр кола дев'яти точок трикутника △ABC\triangle ABC, d. кубіку Дарбу K(L)\mathfrak{K}(L), де LL — точка де Лоншана (відбиття ортоцентра відносно точки OO), e. кубіку Нойберга K(X30)\mathfrak{K}(X_{30}), де X30X_{30} — нескінченно віддалена точка на прямій OGOG, f. коло дев'яти точок трикутника △ABC\triangle ABC, g. вписане коло трикутника △ABC\triangle ABC і h. описане коло трикутника △ABC\triangle ABC. Оцініть NN, кількість точок, що лежать принаймні на двох із цих восьми кривих. Оцінка EE дає ⌊20⋅2−∣N−E∣/6⌋\left\lfloor 20 \cdot 2^{-|N-E| / 6}\right\rfloor балів.
10–11 класиІнші точки трикутника
Відбіркові тести на IMOTST-2016-016

Прямокутний трикутник, середини дуг і дотики вписаного кола

Нехай △ABC\triangle ABC — прямокутний трикутник, у якому ∠A=90∘\angle A = 90^\circ, а Γ\Gamma — його описане коло. Вписане коло дотикається до сторони BCBC в точці DD. Нехай EE — середина дуги ABAB кола Γ\Gamma, на якій не лежить CC, а FF — середина дуги ACAC кола Γ\Gamma, на якій не лежить BB. a) Доведіть, що △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF. b) Доведіть, що пряма EFEF проходить через точки дотику вписаного кола до сторін ABAB і ACAC.
10–11 класиТеорема про тризуб3 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-001

Кут у трикутнику з перетинами описаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник з ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^{\circ}. Нехай EE — точка на стороні BCBC, така, що 2∠BAE=∠ACB2 \angle BAE = \angle ACB. Нехай DD — друга точка перетину прямої ABAB та описаного кола трикутника AECAEC, а PP — друга точка перетину прямої CDCD та описаного кола трикутника DBEDBE. Обчисліть кут ∠BAP\angle BAP.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-012

Рівність відрізків у трикутнику з ортоцентром

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а HH — його ортоцентр. Нехай GG — точка перетину прямої, паралельної до ABAB, проведеної через HH, з прямою, паралельною до AHAH, проведеною через BB. Нехай II — точка на прямій GHGH така, що ACAC перетинає відрізок HIHI в його середині. Нехай JJ — друга точка перетину прямої ACAC з описаним колом трикутника CGICGI. Доведіть, що IJ=AHIJ = AH.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2015-002

Висоти трикутника і відношення з ортоцентром

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з висотами ADAD, BEBE і CFCF. Нехай HH — ортоцентр, тобто точка, в якій перетинаються висоти. Доведіть, що AB⋅AC+BC⋅BA+CA⋅CBAH⋅AD+BH⋅BE+CH⋅CF≤2.\frac{AB \cdot AC + BC \cdot BA + CA \cdot CB}{AH \cdot AD + BH \cdot BE + CH \cdot CF} \le 2.
10–11 класиТочка перетину висот
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2015-004

Коло, дотичне до описаного кола BOC

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO. Нехай Γ\Gamma — коло з центром на висоті, проведеній з вершини AA трикутника ABCABC, яке проходить через вершину AA та точки PP і QQ на сторонах ABAB і ACAC. Припустімо, що BP⋅CQ=AP⋅AQBP \cdot CQ = AP \cdot AQ. Доведіть, що коло Γ\Gamma дотикається до описаного кола трикутника BOCBOC.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на EGMOEGTST-2015-003

Перпендикулярність прямих, що з'єднують центр зовнівписаного кола з дугою та центр вписаного кола з бісектрисою

Нехай ABCABC — нерівнобедрений трикутник з вершиною AA, а Γ\Gamma — його описане коло. Нехай NN — середина дуги кола Γ\Gamma між BB і CC, що містить AA. Нехай II — центр вписаного кола трикутника ABCABC, JJ — центр зовнівписаного кола трикутника ABCABC навпроти вершини AA, і KK — точка перетину прямої BCBC із зовнішньою бісектрисою ∠BAC\angle BAC. Довести, що (JN)⊥(IK)(JN) \perp (IK).
10–11 класиТочка перетину висот
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-032

Рівносторонній трикутник з бісектриси та висот

Нерівносторонній трикутник ABCABC має кут 60°60° при вершині AA. Нехай бісектриса, проведена з вершини AA, перетинає протилежну сторону в точці DD, а QQ і RR — основи висот, проведених з вершин BB і CC відповідно. Доведіть, що прямі ADAD, BQBQ і CRCR перетинаються в трьох різних точках, які є вершинами рівностороннього трикутника.
9 класРівнобедрений та рівносторонній т…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-010

Точки P, Q, R, точка X і відрізок QR

На площині вибрано три різні точки P, Q і R. Відомо, що як би не вибрати іншу точку X на площині, точка P завжди або ближча до X, ніж точка Q, або ближча до X, ніж точка R. Доведіть, що точка P лежить на відрізку QR.
8–10 класиТочка перетину серединних перпенд…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-016

Перетин описаних кіл і перпендикулярність

Центром описаного кола гострокутного трикутника ABCABC є точка OO. Пряма ACAC перетинає описане коло трикутника AOBAOB у точці XX, відмінній від вершини AA. Доведіть, що пряма XOXO перпендикулярна до прямої BCBC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-017

Центри описаних кіл утворюють паралелограм

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник (тобто його діагоналі лежать усередині ABCDABCD), а PP — перетин його діагоналей [AC][AC] і [BD][BD]. Позначимо через O1,O2,O3O_1, O_2, O_3 і O4O_4 центри описаних кіл трикутників ABPABP, BCPBCP, CDPCDP і DAPDAP. Доведіть, що O1O2O3O4O_1O_2O_3O_4 — паралелограм.
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.