Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 352 задачі
АлгебраПослідовності і суми
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-005

Суми степенів не містять довгих арифметичних прогресій

Нехай S={a1,…,an}S=\{a_{1}, \ldots, a_{n}\} — скінченна множина натуральних чисел розміру n≥1n \geq 1, а TT — множина всіх натуральних чисел, які можна подати як суми досконалих степенів (включно з 11) різних чисел із SS, тобто T={∑i=1naiei∣e1,e2,…,en≥0}T=\left\{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{e_{i}} \mid e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n} \geq 0\right\} Доведіть, що існує натуральне число NN (яке залежить лише від nn), таке, що TT не містить жодної арифметичної прогресії довжини NN.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-136

Джет-лагові числа через рекурентну послідовність

Означимо послідовність a1,a2…a_{1}, a_{2} \ldots так: a1=1a_{1}=1, а для кожного n≥2n \geq 2, an={n−2 якщо an−1=0an−1−1 якщо an−1≠0a_{n}= \begin{cases}n-2 & \text{ якщо } a_{n-1}=0 \\ a_{n-1}-1 & \text{ якщо } a_{n-1} \neq 0\end{cases} Невід'ємне ціле число dd називається джет-лаговим, якщо існують невід'ємні цілі числа r,sr, s та натуральне число nn такі, що d=r+sd=r+s і an+r=an+sa_{n+r}=a_{n}+s. Скільки цілих чисел із {1,2,…,2016}\{1,2, \ldots, 2016\} є джет-лаговими?
10–11 класиІнші інваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-078

Ймовірність порядку середнього елемента

Числа 1,2,⋯ ,111, 2, \cdots, 11 розташовано в ряд зліва направо у випадковому порядку. Відомо, що середнє число більше рівно за одне число ліворуч від нього. Знайдіть ймовірність того, що воно більше рівно за одне число праворуч від нього.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-023

Ймовірність влучання з повторними спробами

Майкл грає в баскетбол. Він влучає 10%10\% своїх кидків і повертає собі м’яч після 90%90\% своїх невлучних кидків. Якщо він не повертає собі м’яч, то припиняє грати. Яка ймовірність того, що Майкл зрештою влучить?
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-031

Гусінь на числовій прямій зі змінною швидкістю

Дуже голодна гусінь живе на числовій прямій. Для кожного ненульового цілого ii на точці з координатою ii лежить фрукт. Гусінь повзає туди-сюди; щоразу, коли вона досягає точки з їжею, вона з'їдає їжу, збільшуючи свою вагу на один фунт, і розвертається. Гусінь рухається зі швидкістю 2−w2^{-w} одиниць на день, де ww — її вага. Якщо гусінь починає рух з початку координат, маючи вагу нуль фунтів, і спочатку рухається у додатному напрямі осі xx, то через скільки днів її вага становитиме 10 фунтів?
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-034

Площі поверхонь у вкладеній послідовності куб–октаедр

Дано куб C1C_{1} з довжиною ребра 11. Центри його граней сполучено так, що утворюється октаедр O1O_{1}. Центри граней октаедра сполучено, і утворюється новий куб C2C_{2}. Цей процес продовжують нескінченно. Знайдіть суму всіх площ поверхонь кубів та октаедрів.
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-039

Границя знакозмінної біноміальної суми

Нехай A=lim⁡n→∞∑i=02016(−1)i⋅(ni)(ni+2)(ni+1)2A = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{2016} (-1)^i \cdot \frac{\binom{n}{i} \binom{n}{i+2}}{\binom{n}{i+1}^2} Знайдіть найбільше ціле число, яке не перевищує 1A\frac{1}{A}. Може стати в пригоді таке десяткове наближення: 0.6931<ln⁡(2)<0.69320.6931 < \ln(2) < 0.6932, де ln⁡\ln позначає функцію натурального логарифма.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-040

Сума обернених чисел з простими дільниками 2 і 2017

Нехай SS — множина всіх натуральних чисел, у розкладі яких на прості множники трапляються лише прості числа 22 і 20172017 (тобто 11, степені 22 і степені 20172017 містяться в SS). Обчисліть ∑s∈S1s.\sum_{s \in S} \frac{1}{s}.
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-041

Об'єм під еліпсоїдом високого степеня

Нехай V\mathcal{V} — об'єм тіла, обмеженого графіком x2016+y2016+z2=2016x^{2016}+y^{2016}+z^{2}=2016 Знайдіть V\mathcal{V}, округлений до найближчого кратного десяти.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-043

Очікувана кількість підкидань монети до нуля

Тім починає з числа nn, а далі неодноразово підкидає чесну монету. Якщо випадає аверс, він віднімає 11 від свого числа, а якщо випадає реверс — віднімає 22. Нехай EnE_{n} — математичне сподівання кількості підкидань, які зробить Тім, доки його число не стане нулем або від'ємним. Знайдіть пару (a,b)(a, b) таку, що lim⁡n→∞(En−an−b)=0\lim_{n \rightarrow \infty}\left(E_{n}-a n-b\right)=0
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-046

Цілочисельна функція зі зсувною симетрією

Нехай функція f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} визначена на цілих числах і набуває цілих значень. Для будь-яких цілих чисел xx і yy функція ff задовольняє рівність f(x)+f(y)=f(x+1)+f(y−1)f(x)+f(y)=f(x+1)+f(y-1) Якщо f(2016)=6102f(2016)=6102 і f(6102)=2016f(6102)=2016, чому дорівнює f(1)f(1)?
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-048

Зважена сума розподілу Пуассона

Нехай t=2016t=2016 і p=ln⁡2p=\ln 2. Обчисліть у замкненому вигляді суму ∑k=1∞(1−∑n=0k−1e−ttnn!)(1−p)k−1p\sum_{k=1}^{\infty}\left(1-\sum_{n=0}^{k-1} \frac{e^{-t} t^{n}}{n!}\right)(1-p)^{k-1} p
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-052

Очікувана кількість підкидань для повтореної послідовності

Деяка монета може впасти гербом (H), решкою (T) або на ребро (M), кожен випадок з імовірністю 13\frac{1}{3}. Знайдіть математичне сподівання кількості підкидань, необхідної, щоб побачити підряд послідовність HMMTHMMT...HMMT, де послідовність HMMT повторено 2016 разів.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-058

Очікуване страждання від підмножин антигенів

Серед мешканців Кембриджа існує 88 різних типів антигенів крові. У переповненій лекційній залі перебувають 256256 студентів, кожен з яких має групу крові, що відповідає іншій підмножині антигенів; решта антигенів є для них чужорідними. Комар Кіто літає лекційною залою, вибирає підмножину студентів рівномірно випадковим чином і кусає вибраних студентів у випадковому порядку. Після укусу студента Кіто зберігає частинку будь-яких антигенів, які мав той студент. Студент, укушений у момент, коли Кіто мав kk чужорідних для нього/неї антигенів крові, страждатиме kk годин. Яке очікуване сумарне страждання всіх 256256 студентів у годинах?
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-067

Числа Люка з цифрою 1

Числа Люка визначено як L0=2L_{0} = 2, L1=1L_{1} = 1 і Ln+2=Ln+1+LnL_{n+2} = L_{n+1} + L_{n} для всіх n≥0n \geq 0. Нехай NN — кількість цілих чисел 1≤n≤20161 \leq n \leq 2016 таких, що LnL_{n} містить цифру 11. Оцініть NN. Оцінка EE приносить ⌊20−2∣N−E∣⌋\lfloor 20 - 2|N - E| \rfloor або 00 балів, залежно від того, яке з них більше.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Відбіркові тести на IMOTST-2016-011

Попарні суми, що утворюють арифметичну прогресію

Для попарно різних дійсних чисел a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} обчислюємо n(n−1)2\frac{n(n-1)}{2} сум ai+aja_{i}+a_{j}, де 1≤i<j≤n1 \leq i<j \leq n, і впорядковуємо їх від меншого до більшого. Знайдіть усі цілі n≥3n \geq 3, для яких існують a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} такі, що цей набір із n(n−1)2\frac{n(n-1)}{2} сум утворює арифметичну прогресію (тобто різниця між двома послідовними членами завжди однакова).
10–11 класиАрифметична прогресія
Італійська математична олімпіадаITAMO-2016-006

Подільність рекурентної послідовності на великий степінь

Нехай kk — натуральне число. Покладемо a1=1a_{1}=1 і, для кожного n≥1n \geq 1, an+1=k(a1+⋯+an)+1a_{n+1}=k\left(a_{1}+\cdots+a_{n}\right)+1 (отже, наприклад, a2=ka1+1a_{2}=k a_{1}+1 і a3=k(a1+a2)+1a_{3}=k\left(a_{1}+a_{2}\right)+1). Яке найменше значення kk таке, що a2016a_{2016} кратне 34031⋅740273^{4031} \cdot 7^{4027}? (A) 1271 (B) 1322 (C) 1331 (D) 1702 (E) 2048
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Італійська математична олімпіадаITAMO-2016-008

Числа Фібоначчі з фіксованою кількістю цифр

Послідовність чисел Фібоначчі F1,F2,…,Fn,…F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}, \ldots така, що F1=F2=1F_{1}=F_{2}=1 і що n-й член ( n≥3n \geq 3) дорівнює сумі двох попередніх (отже перші члени послідовності — F1=1,F2=1,F3=2=1+1,F4=3=2+1,F5=5=3+2F_{1}=1, F_{2}=1, F_{3}=2=1+1, F_{4}=3=2+1, F_{5}=5=3+2). Скільки існує чисел Фібоначчі, які мають рівно 2016 цифр у своєму десятковому записі? (A) Щонайменше 2 і щонайбільше 3 (B) Щонайменше 4 і щонайбільше 5 (D) Щонайменше 8 і щонайбільше 9 (E) 10 або більше (C) Щонайменше 6 і щонайбільше 7
10–11 класиЧисла Фібоначі
Італійська математична олімпіадаITAMO-2016-009

Випадкове блукання з поглинальною межею

Альберто і Барбара грають у настільний футбол. Перед початком вони домовляються, що партія закінчиться, щойно один із них заб'є на 3 голи більше за іншого. Відомо, що для кожної розіграної кульки і Альберто, і Барбара мають 50%50\% імовірності забити, яка ймовірність того, що партія не закінчиться раніше двадцять першого гола? (A) 39218\frac{3^{9}}{2^{18}} (B) 310220\frac{3^{10}}{2^{20}} (C) 320240\frac{3^{20}}{2^{40}} (D) 13⋅17⋅19⋅31218\frac{13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 31}{2^{18}} (E) 3⋅7⋅13⋅17⋅19218\frac{3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19}{2^{18}}
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбіркові тести на EGMOEGTST-2015-004

Цілочислові многочлени з універсальною послідовністю

Знайти всі многочлени PP і QQ з цілими коефіцієнтами такі, що, якщо визначити послідовність (xn)\left(x_{n}\right) умовами x0=2015x_{0}=2015, x2n+1=P(x2n)x_{2 n+1}=P\left(x_{2 n}\right) і x2n+2=Q(x2n+1)x_{2 n+2}=Q\left(x_{2 n+1}\right) для всіх n⩾0n \geqslant 0, то кожне ціле число m>0m>0 ділить принаймні один ненульовий член послідовності.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-015

Експоненційне зростання чисел Фібоначчі

Винахідник показав королю нову захопливу настільну гру на клітинній дошці 9×109 \times 10. Король пообіцяв винагородити його одним рисовим зерном за першу клітинку, одним рисовим зерном за другу клітинку, а за кожну наступну клітинку — такою кількістю зерен, як за дві попередні клітинки разом. Доведіть, що за останню клітинку винахідник отримає щонайменше 201542015^4 зерен.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-023

Послідовність з умовою про середнє арифметичне

У ряд записано 125125 різних натуральних чисел так, що серед будь-яких трьох послідовних чисел друге більше за середнє арифметичне першого і третього. Знайдіть найбільше число в ряду, якщо воно є найменшим можливим за таких умов.
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-046

Зростання дробу при додаванні додатного числа

а) Доведіть, що для всіх додатних дійсних чисел a,b,ka, b, k таких, що a<ba < b, маємо ab<a+kb+k\frac{a}{b} < \frac{a + k}{b + k} б) Доведіть, що 1100+4101+7102+10103+⋯+148149>25\frac{1}{100} + \frac{4}{101} + \frac{7}{102} + \frac{10}{103} + \cdots + \frac{148}{149} > 25
9–11 класиЧислові нерівності
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-018

Послідовність з умовою на локальні максимуми

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — натуральне число і a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} — дійсні числа. a. Припустимо, що ai<max⁡(ai−1,ai+1)a_{i}<\max \left(a_{i-1}, a_{i+1}\right) для всіх i∈{2,3,…,n−1}i \in\{2,3, \ldots, n-1\}. Доведіть, що ai<max⁡(a1,an)a_{i}<\max \left(a_{1}, a_{n}\right) для всіх i∈{2,3,…,n−1}i \in\{2,3, \ldots, n-1\}. b. Припустимо, що ai⩽max⁡(ai−1,ai+1)a_{i} \leqslant \max \left(a_{i-1}, a_{i+1}\right) для всіх i∈{2,3,…,n−1}i \in\{2,3, \ldots, n-1\}. Чи правда, що ai⩽max⁡(a1,an)a_{i} \leqslant \max \left(a_{1}, a_{n}\right) для всіх i∈{2,3,…,n−1}i \in\{2,3, \ldots, n-1\}? Зауваження. Якщо xx і yy — два дійсні числа, то через max⁡(x,y)\max (x, y) позначають більше з цих двох чисел.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-050

Середні значення сум послідовних чисел

Нехай a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} — додатні цілі числа. Для кожного k=1,2,…,nk=1,2, \ldots, n позначимо mk=max⁡1≤ℓ≤kak−ℓ+1+ak−ℓ+2+⋯+akℓ.m_{k}=\max _{1 \leq \ell \leq k} \frac{a_{k-\ell+1}+a_{k-\ell+2}+\cdots+a_{k}}{\ell} . Доведіть, що для будь-якого α>0\alpha>0 кількість цілих kk, для яких mk>αm_{k}>\alpha, строго менша за a1+a2+⋯+anα\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{\alpha}.
9–11 класиЖадібний алгоритм

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.