Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 192 задачі
КомбінаторикаІнваріанти та напівінваріанти
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-001

Перефарбування дошки 8×8 трійками

Усі клітинки квадрата 8×88 \times 8 спочатку пофарбовано в білий колір. За один хід можна перефарбувати всі клітинки горизонтального або вертикального прямокутника 1×31 \times 3 (усі білі клітинки стають чорними, а всі чорні клітинки — білими). Чи можливо, що після скінченної кількості ходів усі клітинки будуть пофарбовані в чорний колір?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2017-008

Фарбування ламп із правилом перемикання

В електричній схемі є скінченна кількість ламп. Деякі пари ламп безпосередньо з'єднані проводом. Кожна лампа світиться або червоним, або синім кольором. Одним перемиканням усі лампи, які мають безпосереднє з'єднання з лампою іншого кольору, змінюють свій колір (з червоного на синій або навпаки). Доведіть, що після деякої кількості перемикань усі лампи матимуть той самий колір, що й за два перемикання до цього.
8–10 класиНапівінваріанти
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-065

Циклічна квадратична система в дійсних числах

Розв'яжіть у дійсних числах систему рівнянь x1(x1−1)=x2−1x2(x2−1)=x3−1⋯x2016(x2016−1)=x2017−1x2017(x2017−1)=x1−1.\begin{gathered} x_{1}\left(x_{1}-1\right)=x_{2}-1 \\ x_{2}\left(x_{2}-1\right)=x_{3}-1 \\ \cdots \\ x_{2016}\left(x_{2016}-1\right)=x_{2017}-1 \\ x_{2017}\left(x_{2017}-1\right)=x_{1}-1 . \end{gathered}
9–11 класиНапівінваріанти
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-016

Процес збільшення чисел на сусідніх клітинках дошки

Розглянемо дошку 3×33 \times 3. Спочатку цифру 00 записано в кожній з 99 клітинок. Далі на кожному кроці виконуємо таку операцію: вибираємо дві клітинки зі спільною стороною, а потім додаємо 11 до чисел, записаних у цих двох клітинках, або віднімаємо 11 від чисел, записаних у цих двох клітинках. Чи можливо отримати конфігурацію, в якій число 20172017 записане в усіх 99 клітинках?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-001

Заповнення дошки n×n Т-тетраміно

Для яких n⩾1n \geqslant 1 можна заповнити шахівницю n×nn \times n фігурами форми без перекриття? (Обертання дозволені.)
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-048

Многочлени з попарними сумами без коренів

Знайдіть усі цілі числа n⩾3n \geqslant 3, для яких існують nn многочленів P1,…,PnP_{1}, \ldots, P_{n} з дійсними коефіцієнтами таких, що для всіх попарно різних i,j,ki, j, k: Pi+PjP_{i}+P_{j} не має жодного дійсного кореня, а Pi+Pj+PkP_{i}+P_{j}+P_{k} має принаймні один дійсний корінь.
9–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-014

Обнулення дошки суміжними операціями

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — ціле число. Розміщено n2n^{2} цілих чисел 1,2,…,n21,2, \ldots, n^{2} у n2n^{2} клітинках дошки n×nn \times n так: перший рядок містить числа 1,2,…,n1,2, \ldots, n (зліва направо), другий рядок містить числа n+1,n+2,…,2nn+1, n+2, \ldots, 2 n і так далі. На кожному кроці можна вибрати дві клітинки зі спільною стороною та додати до обох чисел у цих двох клітинках одне й те саме ціле число або відняти його від них. Знайдіть усі значення nn, для яких можна отримати конфігурацію, в якій лише нулі, а в цьому випадку знайдіть мінімальну кількість кроків, необхідних для її отримання.
8–10 класиПарність і непарність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-073

Округлення таблиці зі збереженням сум рядків і стовпців

У клітинках прямокутної таблиці з nn рядками і mm стовпцями записано дійсні числа. Припустимо, що для кожного рядка або стовпця сума чисел, записаних у цьому рядку або стовпці, є цілим числом. Доведіть, що можна замінити кожне дійсне xx на ціле ⌊x⌋\lfloor x\rfloor або ⌈x⌉\lceil x\rceil так, щоб суми кожного рядка і кожного стовпця залишилися без змін. Зауваження: Нагадаємо, що якщо xx — дійсне число, ⌊x⌋\lfloor x\rfloor — єдине ціле число таке, що ⌊x⌋⩽x<⌊x⌋+1\lfloor x\rfloor \leqslant x<\lfloor x\rfloor+1, а ⌈x⌉\lceil x\rceil — єдине ціле число таке, що ⌈x⌉−1<x⩽⌈x⌉\lceil x\rceil-1<x \leqslant\lceil x\rceil.
9–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-063

Найбільша кількість банок з однаковою кількістю монет

На столі в ряд стоїть 2017 банок, спочатку порожніх. Щодня добрий чоловік вибирає десять банок підряд і кладе по одній монеті в кожну з цих десяти банок. Пізніше жабеня Кельвін повертається і бачить, що NN банок містять однакову додатну цілу кількість монет (тобто існує ціле число d>0d>0 таке, що рівно NN банок мають рівно по dd монет). Яке найбільше можливе значення NN?
10–11 класиОстача від ділення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-011

Випадкові обміни капелюхами та перестановки

Лунаса, Мерлін і Ліріка мають по одному капелюху, усі капелюхи різні. Щодня двоє з цих трьох людей, вибрані випадковим чином, обмінюються капелюхами. Яка ймовірність того, що через 2017 днів у кожної людини знову буде свій капелюх?
10–11 класиПарність і непарність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-044

Очікуваний розмір після випадкових об'єднань і перетинів

У Мариси є колекція з 28−1=2552^{8}-1=255 різних непорожніх підмножин множини {1,2,3,4,5,6,7,8}\{1,2,3,4,5,6,7,8\}. На кожному кроці вона вибирає дві підмножини з колекції навмання рівноймовірно і замінює їх або їхнім об'єднанням, або їхнім перетином, які вибираються випадково з рівною ймовірністю. (У колекції дозволено повторення множин.) Вона повторює цей процес 28−2=2542^{8}-2=254 рази, доки в колекції не залишиться лише одна множина. Яке математичне сподівання кількості елементів цієї множини?
10–11 класиІнші інваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-009

Ітерації середнього арифметичного та гармонічного

Джеффрі пише на дошці числа 11 і 100000000=108100000000=10^{8}. Щохвилини, якщо на дошці є числа x,yx, y, Джеффрі замінює їх на x+y2 і 2(1x+1y)−1\frac{x+y}{2} \text{ і } 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^{-1} Після 20172017 хвилин два числа дорівнюють aa і bb. Знайдіть min⁡(a,b)\min (a, b) з точністю до найближчого цілого.
10–11 класиІнші інваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-056

Максимальна складність циклічного замка

Яннік має велосипедний замок із 4-цифровим кодом, цифри якого від 00 до 99 включно. (Початкові нулі дозволені.) Диски замка зараз установлено на 00000000. Щоб відімкнути замок, він щосекунди вибирає послідовний набір дисків і збільшує або зменшує всі їх на один, доки диски не встановляться на код. Наприклад, після першої секунди диски можуть показувати 11001100, 00100010 або 99999999, але не 09090909 чи 01900190. (Цифри на кожному диску циклічні, тому збільшення 99 дає 00, а зменшення 00 дає 99.) Нехай складність коду — це мінімальна кількість секунд, потрібна йому, щоб відімкнути замок. Яка найбільша можлива складність коду і скільки кодів мають цю найбільшу складність? Виразіть дві відповіді як впорядковану пару.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбіркові тести на IMOTST-2017-011

Триколірне розфарбування вершин правильного многокутника

Нехай nn — натуральне число, взаємно просте з 66. Вершини правильного nn-кутника розфарбовано в три кольори так, що кількість вершин кожного кольору непарна. Доведіть, що тоді завжди існує рівнобедрений трикутник, вершини якого є вершинами nn-кутника і мають усі різні кольори.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-019

Перевертання стосу з 52 карт сімками

Чарівниця Маго має колоду з 52 карт, складених у стос, сорочкою догори. Маго відокремлює пачечку із семи верхніх карт стосу, перевертає її і кладе під стос. Тепер усі карти знову в стосі, але не всі мають сорочку догори: сім нижніх повернуті навпаки. Маго повторює попередню операцію, доки знову не виявиться, що всі карти мають сорочку догори. Загалом, скільки пачечок по сім карт перевернула Маго?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-005

Числа на трикутниках зі спільними сторонами

Рівносторонній трикутник поділено на 9 маленьких трикутників, як на рисунку, і на кожному маленькому трикутнику спочатку написано число 0. Марко, щоб згаяти час, грає в таку гру: кожним ходом він вибирає 2 маленькі трикутники зі спільною стороною та додає 1 до обох чисел, написаних на цих трикутниках, або віднімає від них одиницю (мається на увазі, що операція, виконана на обох трикутниках, однакова). Через деякий час він помічає, що числа, написані на 9 маленьких трикутниках, у деякому порядку дорівнюють n,n+1,…,n+8n, n+1, \ldots, n+8, де nn — невід'ємне ціле число. Доведіть, що nn може дорівнювати лише 0 або 2. Зауваження. Випадки n=0n=0 і n=2n=2 справді можуть траплятися, але доводити це твердження не вимагається.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-031

Замощення дошки кутовими та прямими триміно

Хочемо покрити клітчасту дошку певними фігурками без накладань і так, щоб жодна їхня частина не виходила за межі дошки. Використовуватимемо фігурки, складені з клітинок, які називаються L-триміно та I-триміно і які можна повертати в положення, описані на рисунку нижче. Щоб довести, що покриття можливе, достатньо показати один спосіб розміщення фігурок. З іншого боку, щоб довести, що деяке покриття неможливе, не завжди зручно перевіряти всі можливі конфігурації фігурок, і часто потрібні винахідливі міркування. Наприклад, доведемо, що неможливо покрити дошку 3×33 \times 3, використовуючи лише L-триміно. Погляньте на зафарбовані клітинки на рисунку. Їх 4, і жодне L-триміно не може накрити дві з них. Отже, щоб накрити ці 4 клітинки, довелося б використати принаймні 4 L4 \mathrm{~L}-триміно, але це дало б 4⋅3=124 \cdot 3=12 накритих клітинок, що явно перевищує 9 клітинок усієї дошки. Тому неможливо покрити дошку 3×33 \times 3 L-триміно. a) Покажіть спосіб покрити дошку 3×43 \times 4, використовуючи лише L-триміно. b) Доведіть, що неможливо покрити дошку 3×53 \times 5, використовуючи лише L-триміно. c) Дошку 3×53 \times 5 можна покрити, використавши рівно одне I-триміно та кілька L-триміно. Визначте положення, які може займати I-триміно, щоб решту дошки можна було покрити L-триміно.
8–9 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2017-012

Заповнення прямокутника косими тетраміно

Яка найбільша кількість косих тетраміно, яку можна розмістити на прямокутнику 8×98 \times 9 без перекриттів? Зауваження: тетраміно можна повертати та віддзеркалювати.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2017-003

Зведення учасників лабіринту в один квадрат

Головна будівля ETH Zürich — це прямокутник, поділений на одиничні квадрати. Кожна сторона квадрата є стіною, причому деякі стіни мають двері. Зовнішні стіни головної будівлі дверей не мають. Декілька учасників SMO заблукали в головній будівлі. Вони можуть переходити з одного квадрата в інший лише через двері. Припускаємо, що між будь-якими двома квадратами головної будівлі існує прохідний шлях. Сіріл хоче зробити так, щоб учасники знову знайшли один одного, привівши всіх на один і той самий квадрат. Для цього він може давати їм по рації такі вказівки: північ, схід, південь або захід. Після кожної вказівки кожен учасник одночасно намагається перейти на один квадрат у цьому напрямку. Якщо у відповідній стіні немає дверей, він залишається на місці. Доведіть, що Сіріл може досягти своєї мети за скінченну кількість вказівок, незалежно від того, на яких квадратах учасники перебувають на початку.
10–11 класиНапівінваріанти
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-001

Розсадка за круглим столом поруч із друзями

Нехай n≥1n \geq 1 — натуральне число. Група з 2n2n осіб зібралася разом. Кожна з цих осіб має принаймні nn друзів у цій групі (зокрема, якщо AA дружить з BB, то BB дружить з AA, і ніхто не дружить сам із собою). Доведіть, що цих 2n2n осіб можна розсадити навколо круглого столу так, щоб кожен сидів між двома своїми друзями.
9–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-089

Розбиття на пари клітинок, суміжних по діагоналі

Нехай n>1n > 1 — непарне натуральне число. На дошці n×nn \times n вилучено центральну клітинку та чотири кутові. Потрібно розбити решту n2−5n^{2}-5 клітинок на 12(n2−5)\frac{1}{2}\left(n^{2}-5\right) пар так, щоб дві клітинки в кожній парі перетиналися рівно в одній точці (тобто були сусідніми по діагоналі, маючи спільну вершину). Для яких непарних натуральних чисел n>1n > 1 це можливо?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-136

Джет-лагові числа через рекурентну послідовність

Означимо послідовність a1,a2…a_{1}, a_{2} \ldots так: a1=1a_{1}=1, а для кожного n≥2n \geq 2, an={n−2 якщо an−1=0an−1−1 якщо an−1≠0a_{n}= \begin{cases}n-2 & \text{ якщо } a_{n-1}=0 \\ a_{n-1}-1 & \text{ якщо } a_{n-1} \neq 0\end{cases} Невід'ємне ціле число dd називається джет-лаговим, якщо існують невід'ємні цілі числа r,sr, s та натуральне число nn такі, що d=r+sd=r+s і an+r=an+sa_{n+r}=a_{n}+s. Скільки цілих чисел із {1,2,…,2016}\{1,2, \ldots, 2016\} є джет-лаговими?
10–11 класиІнші інваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-098

Перемикання лампочок рядками і стовпцями

Алекс має сітку 20×1620 \times 16 лампочок, спочатку всі вимкнені. Він має 36 вимикачів, по одному для кожного рядка і стовпця. Перемикання вимикача для ii-го рядка змінює стан кожної лампочки в ii-му рядку (тобто якщо вона була ввімкнена, то стане вимкненою, і навпаки). Аналогічно вимикач для jj-го стовпця змінює стан кожної лампочки в jj-му стовпці. Алекс виконує деяку (можливо, порожню) послідовність перемикань, внаслідок чого отримує деяку конфігурацію лампочок та їхніх станів. Скільки різних можливих конфігурацій лампочок може отримати Алекс за допомогою такої послідовності? Дві конфігурації вважаються різними, якщо існує лампочка, яка в одній конфігурації ввімкнена, а в іншій — вимкнена.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-111

Фішки на десяти точках прямої

Маємо 10 точок A1,A2,…,A10A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{10} на прямій у такому порядку. Спочатку на точці A1A_{1} лежить nn фішок. Тепер дозволено виконувати два типи ходів. Взяти дві фішки на AiA_{i}, прибрати їх і поставити одну фішку на Ai+1A_{i+1}, або взяти дві фішки на Ai+1A_{i+1}, прибрати їх і поставити по одній фішці на Ai+2A_{i+2} і AiA_{i}. Знайдіть найменше можливе значення nn таке, що за допомогою послідовності ходів можна отримати фішку на A10A_{10}.
10–11 класиІнші інваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-060

Симетричне розміщення шахових фігур

Ми хочемо сконструювати нову шахову фігуру — американець — з властивістю, що (i) американець ніколи не нападає сам на себе, і (ii) якщо американець A1A_{1} нападає на іншого американця A2A_{2}, то A2A_{2} також нападає на A1A_{1}. Нехай mm — кількість клітин, на які нападає американець, поставлений у верхній лівий кут дошки 88 на 88. Нехай nn — найбільша кількість американців, яких можна поставити на дошку 88 на 88 так, щоб жодні американці не нападали один на одного, якщо один американець обов’язково стоїть у верхньому лівому куті. Знайдіть найбільше можливе значення mnm n.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.