Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 352 задачі
АлгебраПослідовності і суми
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-003

Прямокутний трикутник зі сторонами у геометричній прогресії

Три сторони прямокутного трикутника утворюють геометричну прогресію. Знайдіть відношення довжини гіпотенузи до довжини коротшого катета.
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-133

Різниця ймовірностей досягнення у випадковому блуканні

Починаючи з числа 00, Кейсі виконує нескінченну послідовність ходів у такий спосіб: він навмання обирає число з {1,2}\{1, 2\} (кожне з імовірністю 12\frac{1}{2}) і додає його до поточного числа. Нехай pmp_{m} — імовірність того, що Кейсі коли-небудь досягне числа mm. Знайдіть p20−p15p_{20} - p_{15}.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-113

Нерівність з параметрами p і c для малих x

Нехай pp — дійсне число, а c≠0c \neq 0 — ціле число, такі, що c−0.1<xp(1−(1+x)101+(1+x)10)<c+0.1c-0.1 < x^{p} \left( \frac{1-(1+x)^{10}}{1+(1+x)^{10}} \right) < c+0.1 для всіх (додатних) дійсних чисел xx, для яких 0<x<10−1000 < x < 10^{-100}. (Точне значення 10−10010^{-100} не важливе. Його можна замінити будь-яким «достатньо малим числом».) Знайдіть впорядковану пару (p,c)(p, c).
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-114

Послідовності з умовою суми за модулем

Обчисліть кількість послідовностей цілих чисел (a1,…,a200)\left(a_{1}, \ldots, a_{200}\right) таких, що виконуються такі умови. - 0≤a1<a2<⋯<a200≤2020 \leq a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{200} \leq 202. - Існує натуральне число NN з такою властивістю: для кожного індексу i∈{1,…,200}i \in\{1, \ldots, 200\} існує індекс j∈{1,…,200}j \in\{1, \ldots, 200\} такий, що ai+aj−Na_{i}+a_{j}-N ділиться на 203203.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-137

Ймовірність різниці в одне замовлення супу і салату

2015 людей сідають у ресторані. Кожна людина замовляє суп з імовірністю 12\frac{1}{2}. Незалежно кожна людина замовляє салат з імовірністю 12\frac{1}{2}. Яка ймовірність того, що кількість людей, які замовили суп, рівно на одну більша за кількість людей, які замовили салат?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-089

Сума з рекурентними послідовностями

Послідовності дійсних чисел {ai}i=1∞\{a_{i}\}_{i=1}^{\infty} і {bi}i=1∞\{b_{i}\}_{i=1}^{\infty} задовольняють an+1=(an−1−1)(bn+1)a_{n+1} = (a_{n-1} - 1)(b_{n} + 1) і bn+1=anbn−1−1b_{n+1} = a_{n} b_{n-1} - 1 при n≥2n \geq 2, причому a1=a2=2015a_{1} = a_{2} = 2015 і b1=b2=2013b_{1} = b_{2} = 2013. Обчисліть з доведенням нескінченну суму ∑n=1∞bn(1an+1−1an+3)\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\left(\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n+3}}\right)
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-110

Очікуваний час випадкового поїдання буріто

Розглянемо дошку 10×1010 \times 10 з клітинок. Одного дня Даніель кидає буріто у верхню ліву клітинку, де безкрилий голуб саме шукає їжу. Щохвилини, якщо голуб і буріто перебувають в одній клітинці, голуб з'їсть 10%10\% початкового розміру буріто і випадково кине його у випадкову клітинку (можливо, у ту саму, в якій він уже є). Інакше голуб перейде в сусідню клітинку, зменшуючи відстань між ним і буріто. Чому дорівнює математичне сподівання кількості хвилин, доки голуб не з'їсть усе буріто?
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-041

Остання цифра в рекурентній послідовності

Визначимо послідовність ai,ja_{i, j} цілих чисел таку, що a1,n=nna_{1, n} = n^{n} для n≥1n \geq 1 і ai,j=ai−1,j+ai−1,j+1a_{i, j} = a_{i-1, j} + a_{i-1, j+1} для всіх i,j≥1i, j \geq 1. Знайдіть останню (десяткову) цифру числа a128,1a_{128,1}.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-044

Дробова частина кореня четвертого степеня

Обчисліть найменше натуральне число nn, для якого 0<n4−⌊n4⌋<120150 < \sqrt[4]{n} - \lfloor \sqrt[4]{n} \rfloor < \frac{1}{2015}
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-047

Випадкові блукання по вершинах тетраедра

Три мурахи починають рух з трьох різних вершин тетраедра. Щосекунди кожна з них обирає одне з трьох ребер, що виходять з вершини, на якій вона перебуває, з однаковою ймовірністю та переходить до іншої вершини цього ребра. Вони всі зупиняються, коли будь-які дві мурахи опиняються в одній вершині одночасно. Яка ймовірність того, що всі три мурахи опиняться в одній вершині, коли вони зупиняться?
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-056

Розбіжність зваженого ряду з коренем

Знайдіть найбільше дійсне число kk таке, що існує послідовність додатних дійсних чисел {ai}\{a_{i}\}, для якої ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} збігається, але ∑n=1∞annk\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_{n}}}{n^{k}} розбігається.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-061

Нескінченна сума об'ємів конусів

Заможний король наказав ковалю виготовити йому великий келих, внутрішня порожнина якого — конус висоти 99 дюймів з діаметром основи 66 дюймів (тобто отвір у верхній частині келиха має діаметр 66 дюймів). На одному зі своїх численних бенкетів він наказує наповнити кухоль ущерть журавлинним соком. Для кожного натурального числа nn король енергійно розмішує напій і робить ковток так, щоб висота рідини, що залишилася в келиху після ковтка, зменшилася на 1n2\frac{1}{n^{2}} дюйма. Невдовзі після цього, поки король відволікся, придворний блазень доливає чистий сойлент у келих, доки той знову не стане повним. Король робить ковтки рівно щохвилини, причому перший ковток — рівно за хвилину після початку бенкету. З плином часу кількість соку, випита королем (у кубічних дюймах), наближається до числа rr. Знайдіть rr.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбіркові тести на IMOTST-2015-004

Мінімум циклічних дробових виразів

Нехай a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}, причому a,b,c≥1a, b, c \geq 1. Доведіть, що виконується: min⁡(10a2−5a+1b2−5b+10,10b2−5b+1c2−5c+10,10c2−5c+1a2−5a+10)≤abc\min \left(\frac{10 a^{2}-5 a+1}{b^{2}-5 b+10}, \frac{10 b^{2}-5 b+1}{c^{2}-5 c+10}, \frac{10 c^{2}-5 c+1}{a^{2}-5 a+10}\right) \leq a b c
10–11 класиНерівність Коші
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2015-004

Сума послідовності за середніми сусідніх членів

Послідовність дійсних чисел a1,…,a100a_{1}, \ldots, a_{100} така, що середнє арифметичне двох сусідніх членів завжди дорівнює індексу другого члена (наприклад, a4+a52=5\frac{a_{4}+a_{5}}{2}=5); чому дорівнює сума 100 чисел послідовності? (A) 2550 (B) 5050 (C) 5100 (D) 10100 (E) Не можна визначити: залежить від a1a_{1}.
9–11 класиСуми послідовностей
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-013

Зростаюча послідовність із властивістю подвоєння

Послідовність {an∣n=1,2,… }\{a_n \mid n = 1, 2, \dots\} з натуральних чисел називається зростаючою послідовністю, якщо an<an+1a_n < a_{n+1} і a2n=2ana_{2n} = 2a_n виконуються для кожного натурального числа nn. (1) Нехай {an}\{a_n\} — зростаюча послідовність. Для довільного простого числа pp, більшого за a1a_1, доведіть, що серед членів послідовності {an}\{a_n\} трапляється кратне числа pp. (2) Нехай pp — непарне просте число. Доведіть, що існує зростаюча послідовність {an}\{a_n\}, для якої серед членів послідовності {an}\{a_n\} ніколи не трапляються кратні числа pp.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2014-001

Нерівність для суми з добутком одиниця

Нехай a1a_1, a2a_2, …\dots, ana_n — додатні дійсні числа, добуток яких дорівнює 11. Доведіть, що сума a11+a1+a2(1+a1)(1+a2)+a3(1+a1)(1+a2)(1+a3)+⋯+an(1+a1)(1+a2)…(1+an)\frac{a_1}{1+a_1} + \frac{a_2}{(1+a_1)(1+a_2)} + \frac{a_3}{(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)} + \dots + \frac{a_n}{(1+a_1)(1+a_2)\dots(1+a_n)} не менша за 2n−12n\frac{2^n - 1}{2^n}.
10–11 класиСуми послідовностей
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-040

Сума квадратних коренів з дробами до 2015

Обчисліть 1+112+122+1+122+132+⋯+1+120142+120152\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{1}{2014^{2}}+\frac{1}{2015^{2}}}
9–11 класиПеретворення ірраціональних вираз…
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-026

Половина з 400 синіх і 200 зелених точок відрізком

На прямій лежать 400 синіх точок і 200 зелених точок. Доведіть, що можна знайти відрізок, який містить рівно 200 синіх точок і 100 зелених точок.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-022

Цілочисельні послідовності з нелінійним рекурентним співвідношенням

Знайдіть кількість послідовностей (un)n⩾1\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1} цілих чисел таких, що un≠−1u_{n} \neq -1 для кожного цілого n⩾1n \geqslant 1 і таких, що un+2=2014+un1+un+1u_{n+2}=\frac{2014+u_{n}}{1+u_{n+1}} для кожного цілого n⩾1n \geqslant 1.
8–10 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-116

Рекурентне співвідношення для підрахунку дільників

Для цілого nn нехай f9(n)f_{9}(n) позначає кількість додатних цілих чисел d≤9d \leq 9, які ділять nn. Припустимо, що mm — натуральне число, а b1,b2,…,bmb_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m} — дійсні числа такі, що f9(n)=∑j=1mbjf9(n−j)f_{9}(n)=\sum_{j=1}^{m} b_{j} f_{9}(n-j) для всіх n>mn>m. Знайдіть найменше можливе значення mm.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-027

Знакозмінна сума з пропуском кратних 10

Сінді записує в порядку зростання натуральні числа, менші за 200200, але пропускає кратні 1010. Потім вона по черзі ставить перед кожним із чисел знаки ++ і −-, отримуючи вираз +1−2+3−4+5−6+7−8+9−11+12−⋯−199+1-2+3-4+5-6+7-8+9-11+12-\cdots-199. Чому дорівнює значення отриманого виразу?
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-043

Підмножини з непарною кількістю різних рангів

Колода з 80568056 карт має 20142014 рангів з номерами 11-20142014. Кожен ранг має чотири масті — черви, бубни, трефи та піки. Кожна карта має ранг і масть, і жодні дві карти не мають однакових рангу й масті. Скільки підмножин множини карт цієї колоди містять карти з непарної кількості різних рангів?
10–11 класиФормула біном Ньютона
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-045

Математичне сподівання добутку кількості гербів і решок

Якщо чесну монету підкинути 1000 разів, чому дорівнює математичне сподівання добутку кількості гербів і кількості решок?
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-047

Нескінченна сума логарифмів за основою 2

Обчисліть нескінченну суму ∑n=2∞log⁡2(1−1n1−1n+1)\sum_{n=2}^{\infty} \log_{2}\left(\frac{1-\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n+1}}\right)
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-052

Найменше натуральне число поза чотирма формами

Яке найменше натуральне число nn, яке не можна записати в жодному з таких виглядів? - n=1+2+⋯+kn=1+2+\cdots+k для натурального числа kk. - n=pkn=p^{k} для простого числа pp і цілого числа kk. - n=p+1n=p+1 для простого числа pp. - n=pqn=p q для деяких різних простих чисел pp і qq
10–11 класиПрості числа (базові властивості)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.