Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 140 задач
ГеометріяВизначні точки та лінії трикутника
Відбіркові тести на IMOTST-2014-014

Рівні хорди з кола ортоцентра

Нехай HH — ортоцентр гострокутного трикутника ABCA B C. Пряма через AA, перпендикулярна до сторони ACA C, і пряма через BB, перпендикулярна до сторони BCB C, перетинаються в точці DD. Коло з центром CC, що проходить через HH, перетинає описане коло трикутника ABCA B C в точках EE і FF. Доведіть, що ∣DE∣=∣DF∣=∣AB∣|D E|=|D F|=|A B|.
10–11 класиТочка перетину висот2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2014-015

Трикутники з рівними радіусами вписаних кіл

Дано 4 точки на площині такі, що 4 трикутники, які вони утворюють, мають однаковий радіус вписаного кола. Доведіть, що ці 4 трикутники конгруентні.
10–11 класиВписане коло
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-014

Площа трапеції через бісектриси трикутника

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами ABAB, CACA і BCBC завдовжки відповідно 1717, 2525 і 2626. Нехай XX і YY — перетини прямої, паралельної до ABAB, що проходить через CC, з бісектрисами кутів CA^BC\widehat{A}B і AB^CA\widehat{B}C відповідно. Чому дорівнює площа трапеції ABXYABXY? (A) 816 (B) 338(1+2)338(1+\sqrt{2}) (C) 784 (D) 408 (E) Визначити за наявними даними неможливо.
9–11 класиГомотерія і подібність
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-002

Медіани та коло шести точок у трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Нехай AMAM, BNBN і CLCL — медіани, які перетинаються в барицентрі GG. Нехай M′M', N′N' і L′L' — середини відрізків AGAG, BGBG і CGCG відповідно. Доведіть, що шість точок MM, M′M', NN, N′N', LL, L′L' лежать на одному колі тоді й лише тоді, коли трикутник ABCABC рівносторонній.
9–11 класиТочка перетину медіан
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-002

Вписаність і серединний перпендикуляр у трикутнику

Дано трикутник ABCABC, у якого AC=BC>ABAC = BC > AB. Нехай EE і FF — середини сторін ACAC і ABAB відповідно. Серединний перпендикуляр ℓ\ell до сторони ACAC перетинає ABAB у точці KK, а пряма, паралельна до KCKC, що проходить через точку BB, перетинає ACAC у точці LL. Для точки PP на відрізку BFBF нехай HH — ортоцентр трикутника ACPACP. Відрізки BHBH і CPCP перетинаються в точці JJ, а прямі FJFJ і ℓ\ell перетинаються в точці MM. Нехай WW — точка перетину прямих FLFL і ℓ\ell. Доведіть, що AW=PWAW = PW тоді й лише тоді, коли точки B,E,F,MB, E, F, M лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-004

Відстань між центром описаного кола та ортоцентром у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник з ортоцентром HH, і нехай PP — друга точка перетину описаного кола трикутника AHCAHC з внутрішньою бісектрисою кута ∠BAC\angle BAC. Нехай XX — центр описаного кола трикутника APBAPB, а YY — ортоцентр трикутника APCAPC. Доведіть, що довжина відрізка XYXY дорівнює радіусу описаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиТочка перетину висот2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-011

Точка на описаному колі з перетину висоти й бісектриси

У гострокутному трикутнику ABCABC висота, проведена з вершини BB, і бісектриса, проведена з вершини CC, перетинаються в точці DD. Нехай EE — точка, симетрична точці DD відносно прямої ACAC. Точки AA, BB, CC і EE лежать на одному колі. Доведіть, що трикутник ABCABC рівнобедрений.
10 класДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-025

Інцентр як перетин дотичних кіл

На площині дано трикутник ABCABC. Пряма ACAC дотикається до кола cAc_A в точці CC, а коло cAc_A проходить через точку BB. Пряма BCBC дотикається до кола cBc_B в точці CC, а коло cBc_B проходить через точку AA. Друга точка перетину SS кіл cAc_A і cBc_B збігається з інцентром трикутника ABCABC. Доведіть, що трикутник ABCABC рівносторонній. Рисунок 5
10–11 класиДотична кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-026

Квадрат, утворений центрами трикутника

Нехай ABCABC — прямокутний рівнобедрений трикутник з прямим кутом при BB. Нехай MM — точка дуги ACAC кола з центром BB, що проходить через AA і CC, HH — її ортогональна проєкція на пряму (AB)(AB). Позначимо через II центр кола, вписаного в трикутник BHMBHM, а через JJ — центр кола, зовнівписаного при куті BB (JJ — це перетин внутрішньої бісектриси при BB із зовнішніми бісектрисами при HH і MM). Доведіть, що чотирикутник MIAJMIAJ — квадрат.
9–11 класиТочка перетину бісектрис
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-036

Перетин бісектрис у чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Нехай MM — точка перетину внутрішніх бісектрис кутів BB і CC, а NN — точка перетину внутрішніх бісектрис кутів AA і DD. Доведіть, що прямі ABAB, CDCD і MNMN проходять через одну точку.
9–11 класиТочка перетину бісектрис
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-010

Точка E на діагоналі квадрата ABCD і квадрат AO1EO2

На діагоналі [BD][BD] квадрата ABCDABCD вибрано точку EE. Нехай O1O_{1} і O2O_{2} — центри описаних кіл трикутників ABEABE і ADEADE відповідно. Доведіть, що чотирикутник AO1EO2AO_{1}EO_{2} — квадрат.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-004

Пряма через інцентри проходить через середину дуги

Коло ω\omega проходить через вершини BB і CC трикутника ABCA B C і перетинає сторони [AB][A B] і [AC][A C] у точках DD і EE відповідно. Відрізки [CD][C D] і [BE][B E] перетинаються в точці OO. Нехай MM і NN — центри вписаних кіл трикутників ADEA D E і ODEO D E відповідно. Доведіть, що середина дуги DED E (меншої з двох дуг) кола ω\omega лежить на прямій (MNM N).
8–10 класиТочка перетину бісектрис
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-005

Центр вписаного кола і середні лінії описаного чотирикутника

Коло з центром OO вписане в чотирикутник ABCDA B C D, сторони якого не паралельні. Доведіть, що точка OO збігається з точкою перетину середніх ліній чотирикутника тоді й лише тоді, коли OA⋅OC=OB⋅ODO A \cdot O C=O B \cdot O D. (Середня лінія чотирикутника — це пряма, що сполучає середини протилежних сторін.)
8–10 класиВписане коло2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-011

Квадрат, вписаний в одиничне коло

Квадрат вписано в коло радіуса 11. Знайдіть периметр квадрата.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-095

Інцентр як середина відрізка на описаному колі

Нехай трикутник ABCABC задовольняє 2BC=AB+AC2 BC = AB + AC і має інцентр II та описане коло ω\omega. Нехай DD — перетин прямої AIAI і кола ω\omega (причому A,DA, D різні). Доведіть, що II — середина відрізка ADAD.
10–11 класиТеорема про тризуб3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-041

Радіуси описаних кіл у рівнобічній трапеції

Рівнобічна трапеція ABCDABCD з основами ABAB і CDCD, у якої AB=13AB = 13, CD=17CD = 17, а висота дорівнює 33. Нехай EE — точка перетину діагоналей ACAC і BDBD. Кола Ω\Omega і ω\omega описані навколо трикутників ABEABE і CDECDE. Обчисліть суму радіусів кіл Ω\Omega і ω\omega.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-064

Ортоцентри у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, вписаний в одиничне коло з центром OO. Припустимо, що ∠AOB=∠COD=135∘\angle AOB = \angle COD = 135^{\circ}, BC=1BC = 1. Нехай B′B' і C′C' — образи точки AA при симетрії відносно прямих BOBO і COCO відповідно. Нехай H1H_1 і H2H_2 — ортоцентри трикутників AB′C′AB'C' і BCDBCD відповідно. Якщо MM — середина відрізка OH1OH_1, а O′O' — образ точки OO при симетрії відносно середини відрізка MH2MH_2, обчисліть довжину відрізка OO′OO'.
10–11 класиКомплексні числа
Відбіркові тести на IMOTST-2013-014

Коло через симетричні образи точок на описаному колі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом ω\omega. Доведіть, що існує точка JJ з такою властивістю: якщо XX — внутрішня точка трикутника ABCABC, промені AXAX, BXBX і CXCX перетинають коло ω\omega повторно в точках A1A_{1}, B1B_{1} і C1C_{1}, а точки A2A_{2}, B2B_{2} і C2C_{2} симетричні точкам A1A_{1}, B1B_{1} і C1C_{1} відносно середин відрізків BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA} і AB‾\overline{AB} відповідно, то чотири точки A2A_{2}, B2B_{2}, C2C_{2} і JJ лежать на спільному колі.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2013-040

Конкурентність через середини сторін і основи висот

У різносторонньому трикутнику ABCABC нехай A1A_1, B1B_1, C1C_1 — основи перпендикулярів, опущених з AA на BCBC, з BB на CACA і з CC на ABAB відповідно. Позначимо через A2A_2 точку перетину прямих BCBC і B1C1B_1C_1. Аналогічно визначимо B2B_2 і C2C_2. Нехай DD, EE, FF — середини сторін BCBC, CACA, ABAB відповідно. Доведіть, що перпендикуляри, опущені з DD на пряму AA2AA_2, з EE на пряму BB2BB_2 і з FF на пряму CC2CC_2, перетинаються в одній точці.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2013-020

Центри вписаних кіл і перпендикулярність

В уписаному шестикутнику ABCDEFA B C D E F виконується AB⊥BDA B \perp B D та ∣BC∣=∣EF∣|B C|=|E F|. Позначимо через PP точку перетину прямих BCB C і ADA D, а через QQ — точку перетину прямих EFE F і ADA D. Припустимо, що PP і QQ лежать з того боку від DD, де не лежить AA. Нехай SS — середина відрізка ADA D. Нехай KK і LL — центри вписаних кіл відповідно трикутників △BPS\triangle B P S і EQSE Q S. Доведіть, що ∠KDL=90∘\angle K D L=90^{\circ}.
10–11 класиТочка перетину бісектрис
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-004

Хорда через центри зовнівписаних кіл і дотик до описаного кола

Для трикутника ABCABC нехай B1B_1, C1C_1 — центри зовнівписаних кіл, що відповідають BB, CC відповідно. Пряма B1C1B_1C_1 перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці DD (≠A\neq A). Нехай EE — точка перетину перпендикуляра, проведеного через B1B_1 до прямої CACA, і перпендикуляра, проведеного через C1C_1 до прямої ABAB. Нехай ω\omega — описане коло трикутника ADEADE. Дотична до кола ω\omega в точці DD перетинає пряму AEAE в точці FF. Перпендикуляр з DD до прямої AEAE перетинає AEAE в точці GG, а ця пряма перетинає ω\omega в точці HH (≠D\neq D). Описане коло трикутника HGFHGF перетинає ω\omega в точці II (≠H\neq H). Нехай JJ — основа перпендикуляра з DD до прямої AHAH. Доведіть, що пряма AIAI проходить через середину відрізка DJDJ.
10–11 класиЗовнівписане коло
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2012-001

Трикутник із вписаним колом і рівними кутами

Нехай II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Пряма через II перетинає внутрішність відрізка ABAB в точці MM та внутрішність відрізка BCBC в точці NN. Припустимо, що BMNBMN — гострокутний трикутник. Нехай тепер KK і LL — точки на відрізку ACAC такі, що ∠BMI=∠ILA\angle BMI = \angle ILA і ∠BNI=∠IKC\angle BNI = \angle IKC. Доведіть, що ∣AM∣+∣KL∣+∣CN∣=∣AC∣|AM| + |KL| + |CN| = |AC|.
10–11 класиВписане коло
Відбіркові тести на EGMOEGTST-2012-002

Рівнобедрений трикутник із центрів вписаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник, а ω\omega — коло, яке проходить через AA і BB та повторно перетинає сторони [BC][BC] і [AC][AC] відповідно в точках DD і EE. Точки KK і LL — відповідно центри вписаного кола трикутника DACDAC і вписаного кола трикутника BECBEC. Нехай NN — перетин прямих (EL)(EL) і (DK)(DK). Доведіть, що трикутник KNLKNL рівнобедрений.
10–11 класиВписане коло
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-027

Перпендикулярність AP і CK у трикутнику з бісектрисою

Нехай ABCABC — трикутник на площині. Бісектриса з вершини AA перетинає сторону BCBC у точці PP, а медіана з вершини BB перетинає сторону ACAC у точці MM. Прямі ABAB і MPMP перетинаються в точці KK. Доведіть, що якщо ∣PC∣∣BP∣=2\frac{|PC|}{|BP|} = 2, то прямі APAP і CKCK перпендикулярні.
10 класТочка перетину медіан2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-019

Центр описаного кола на середній лінії трикутника

Нехай ABCABC — трикутник з медіаною AKAK. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABKABK. a) Доведіть, що якщо OO лежить на середній лінії трикутника ABCABC, але не збігається з її кінцями, то ABCABC — прямокутний трикутник. b) Чи залишається твердження правильним, якщо OO може збігатися з кінцем середньої лінії?
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.