Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 192 задачі
КомбінаторикаІнваріанти та напівінваріанти
Відбіркові тести на IMOTST-2016-009

Покриття квадрата прямокутниками з площею-степенем двійки

Нехай nn — натуральне число. Розглянемо квадрат розмірами 2n×2n2^{n} \times 2^{n}. Покриємо цей квадрат деякою кількістю (принаймні 2) прямокутників, що не перетинаються, так, щоб кожен прямокутник мав цілі розміри та площу, що є степенем двійки. Доведіть, що два з прямокутників у покритті мають однакові розміри. (Два прямокутники мають однакові розміри, якщо вони мають однакову ширину й однакову висоту, причому їх не дозволяється повертати.)
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-011

Неперетинне сполучення точок кола із сумою

На колі лежать 2n2n різних точок. Числа від 11 до 2n2n навмання розподілено по цих точках. Кожну точку з'єднано рівно з однією іншою точкою так, щоб жодні два з утворених сполучних відрізків не перетиналися. Якщо відрізок з'єднує числа aa і bb, то надамо цьому відрізку значення ∣a−b∣|a-b|. Доведіть, що відрізки можна вибрати так, щоб сума цих значень дорівнювала n2n^{2}.
10–11 класиКонструкція за індукцією2 розв’язки
Відбіркові тести на EGMOEGTST-2015-001

Довжина циклу за модулем 3 у кубічному графі

У країні є 100 міст. Кожне з цих міст з'єднане рівно з трьома іншими містами прямими дорогами в обох напрямках. Доведіть, що існує місто AA, з якого можна подорожувати від міста до міста і повернутися в AA, ніколи не проходячи двічі однією і тією ж дорогою, і використовуючи загальну кількість доріг, яка не ділиться на 3 (не вимагається, щоб усі міста країни були відвідані під час цієї подорожі).
10–11 класиШляхи на графах
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-026

Гра із захопленням тур з обмеженням на хід

Манні та Міку грають у таку гру з турами на шаховій дошці 8×88 \times 8. На початку гри Міку розставляє 8 тур на клітинки дошки за власним бажанням. Потім обидва гравці ходять по черзі, починає Манні. Кожним ходом гравець пересуває рівно одну туру вздовж горизонталі або вертикалі (тобто рядка чи стовпця) на одну або більше клітинок в одному напрямку. Якщо тура ходить на клітинку, на якій стоїть інша тура, остання знімається з дошки; перестрибувати через іншу туру заборонено. Гравець, який першим зніме туру з дошки, виграє; однак заборонено як ходити, так і знімати туру, якою суперник ходив своїм останнім ходом. Чи має хтось із гравців виграшну стратегію і якщо так, то хто саме?
10 класІнші інваріанти
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-017

Перемикання лампочок трійками в таблиці

На табло є nmnm лампочок, розташованих у таблицю n×mn \times m. Спочатку всі лампочки вимкнені. На кожному кроці можна перемкнути три послідовні лампочки в одному рядку або в одному стовпці, змінивши стан кожної лампочки на протилежний. Для яких пар натуральних чисел (n,m)(n, m) можна досягти ситуації, коли всі лампочки будуть увімкнені?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-025

Мінімальна кількість зайнятих клітин після ходів по діагоналі

Нехай n⩾2n \geqslant 2. На кожну клітину шахової дошки n×nn \times n ставимо по фішці. Хід полягає в тому, щоб перемістити кожну фішку на клітину, яка дотикається до початкової клітини рівно в одному куті (декілька фішок можуть опинитися на одній клітині). Яке найменше ціле число kk таке, що можливо, щоб після деякої кількості ходів лише kk клітин містили принаймні одну фішку?
9–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-044

Зміна знаків у вершинах правильного многокутника

На кожній вершині правильного nn-кутника поставлено знак ++ або −-. На кожному кроці дозволяється змінити знаки трьох послідовних вершин nn-кутника. Для яких nn за будь-якої початкової конфігурації за скінченну кількість кроків можна отримати ++ в усіх вершинах?
9–11 класиПарність і непарність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-076

Обмін монет із максимізацією одноколірного набору

Басаніо має три червоні монети, чотири жовті монети і п’ять синіх монет. У будь-який момент він може віддати Шейлоку будь-які дві монети різних кольорів в обмін на одну монету третього кольору; наприклад, він може віддати Шейлоку одну червону монету й одну синю монету, а натомість отримати одну жовту монету. Басаніо хоче завершити з монетами одного кольору, причому мати при цьому якомога більше монет. Скільки монет у нього залишиться і якого кольору вони будуть?
10–11 класиПарність і непарність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-018

Майже паліндроми з даного набору літер

Назвемо рядок з літер SS майже паліндромом, якщо SS і рядок, обернений до SS, відрізняються рівно у двох місцях. Знайдіть кількість способів упорядкувати літери в HMMTTHEMETEAM так, щоб отримати майже паліндром.
10–11 класиПерестановки
Відбіркові тести на IMOTST-2015-002

Досяжні точки решітки при взаємно простих кроках

Нехай aa і bb — два натуральні числа, для яких НСД(a,b)=1\text{НСД}(a, b)=1. Розглянемо фішку, що стоїть на точці решітки (x,y)(x, y). Хід типу A полягає в переміщенні фішки в одну з таких точок: (x+a,y+a),(x+a,y−a),(x−a,y+a)(x+a, y+a), (x+a, y-a), (x-a, y+a) або (x−a,y−a)(x-a, y-a). Хід типу B полягає в переміщенні фішки в точку (x+b,y+b),(x+b,y−b),(x−b,y+b)(x+b, y+b), (x+b, y-b), (x-b, y+b) або (x−b,y−b)(x-b, y-b). Поставимо тепер фішку на (0,0)(0,0). Дозволено виконати (скінченну) кількість ходів, причому ходи типу A і типу B чергуються, починаючи з ходу типу A. Дозволено виконувати як парну, так і непарну кількість ходів, тобто останній хід може бути як типу A, так і типу B. Знайдіть множину всіх точок решітки (x,y)(x, y), які можна досягти такою серією ходів.
10–11 класиПарність і непарність
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2015-014

Випадкове блукання до кута шахівниці

Фішка знаходиться спочатку на центральній клітинці шахівниці 5×55 \times 5. Крок фішки полягає в переміщенні на випадково обрану клітинку з тих, які мають рівно одну спільну вершину з клітинкою, на якій вона знаходиться. Яка ймовірність того, що після 12 кроків фішка опиниться в будь-якому з кутів шахівниці? (A) 13\frac{1}{3} (B) 425\frac{4}{25} (C) 16\frac{1}{6} (D) 413\frac{4}{13} (E) 14\frac{1}{4}
9–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2015-012

Дільники, що перемикаються стрибками кенгуру

Кабояра, знаменитий австралійський циркач, і цього року виступає з грандіозним трюком. Він підготував ефектні сходи з N=p1⋅p2⋅…⋅p2015N = p_{1} \cdot p_{2} \cdot \ldots \cdot p_{2015} сходинками, де p1,p2,…,p2015p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{2015} — різні прості числа; сходинки, що відповідають дільникам NN (включно з першою та NN-ю сходинкою), особливі й спочатку світяться зеленим. Під час вистави 2015 дресированих кенгуру один за одним піднімаються сходами; для i=1,2,…,2015i = 1, 2, \ldots, 2015 ii-й кенгуру стрибає по pip_{i} сходинок за раз, починаючи з підніжжя сходів (стрибає на сходинку pip_{i}, потім на 2pi2 p_{i} і так далі, доки не досягне сходинки NN). Щоразу, коли кенгуру стрибає на особливу сходинку, вона змінює колір: із зеленої стає червоною, з червоної — зеленою. Скільки особливих сходинок світитимуться зеленим наприкінці вистави? (A) 22015−210082^{2015} - 2^{1008} (B) 220142^{2014} (C) 22014−210072^{2014} - 2^{1007} (D) 220132^{2013} (E) 2015⋅210082015 \cdot 2^{1008}
9–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2015-001

Гра зі скріпками з відніманням трьох і діленням навпіл

Камілла має коробку, що містить 2015 скріпок. Вона бере додатну кількість nn скріпок і кладе їх на стіл Федеріки, викликаючи її на таку гру. Федеріка має у своєму розпорядженні два типи ходів: вона може прибрати 3 скріпки з купки, що лежить на її столі (якщо купка містить принаймні 3 скріпки), або прибрати половину присутніх скріпок (якщо купка містить парну кількість). Федеріка виграє, якщо послідовністю ходів описаних вище типів зможе прибрати всі скріпки зі свого столу. a) Для скількох з 2015 можливих значень nn Федеріка може виграти? b) Дівчата змінюють правила гри і вирішують присуджувати перемогу Федеріці у випадку, якщо їй вдасться залишити на столі єдину скріпку. Для скількох з 2015 значень nn Федеріка може виграти за новими правилами?
9–11 класиОстача від ділення
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-053

Мінімальна кількість дотиків для всіх зелених лампочок

Деякі різдвяні лампочки з’єднано за допомогою чарівних дротів. Кожна лампочка може бути зеленого або жовтого кольору. Кожен дріт з’єднано з двома лампочками, і він має чарівну властивість: коли хтось торкається дроту, що з’єднує дві лампочки, кожна з них змінює колір із зеленого на жовтий або з жовтого на зелений. а) У наведеному нижче розташуванні кожна точка позначає лампочку, а відрізки позначають чарівні дроти. Спочатку всі вони жовті. Яка найменша кількість дротів, до яких потрібно доторкнутися, щоб усі лампочки стали зеленими? Наведіть приклад, як здійснити цю зміну з цією мінімальною кількістю дротів. б) Розглянемо розташування на рисунку нижче, де всі лампочки жовтого кольору. Покажіть, що неможливо доторкнутися до деяких чарівних дротів і змінити колір усіх лампочок на зелений.
8–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-057

Перехід між двома конфігураціями чисел на дошці 3×3

Дано квадрат 3×33 \times 3 з числами, записаними в кожній клітинці 1×11 \times 1. Дозволені ходи — вибрати рядок, стовпець або діагональ і додати або відняти 1 від трьох чисел, що стоять на ній. Доведіть, що неможливо почати з чисел у першій конфігурації (вгорі) і дійти до чисел у другій конфігурації (внизу) після кількох операцій. | 0 | 1 | 0 | |:--- |:--- |:--- | | 1 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 1 | |:--- |:--- |:--- | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 1 |
8–9 класиОстача від ділення
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2015-002

Покриття квадрата n×n Т-тетроміно з непарною кількістю квадратів

Для яких натуральних чисел nn можна покрити дошку n×nn \times n без проміжків і накладань Т-тетраміно та непарною кількістю квадратних тетраміно? Примітка: дозволяється не використовувати жодного Т-тетраміно.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2015-008

Замощення прямокутника сходинками

Фігурку, зображену нижче, назвемо сходинкою. Для яких пар (m,n)(m, n) натуральних чисел з m,n≥6m, n \geq 6 можна покрити прямокутник m×nm \times n сходинками без пропусків і перекриттів?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2015-009

Ітеративний процес подвоєння суми

Нехай mm — натуральне число. На дошці SMO написано 2m2^{m} разів число 11. За один крок ми вибираємо два числа aa і bb на дошці й замінюємо кожне з них на a+ba+b. Доведіть, що після m2m−1m 2^{m-1} кроків сума чисел становить щонайменше 4m4^{m}.
10–11 класиНерівність Коші
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2014-013

Злиття фішок з однаковими номерами

Маємо nn фішок, на кожній з яких написано ціле число (яке може бути від'ємним). Якщо серед них знайдуться дві фішки з однаковим номером mm, то їх забирають і замість них кладуть одну фішку з номером m−1m-1 та іншу з номером m+1m+1. Доведіть, що після скінченної кількості таких замін усі фішки матимуть різні номери.
9–11 класиНапівінваріанти
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2014-014

Зміна знаків на круговій клітинній дошці

Розглянемо клітчасту дошку, утворену всіма маленькими квадратами зі стороною 11, цілком включеними в круг, заданий нерівністю x2+y2≤20142x^{2}+y^{2} \leq 2014^{2} на площині з ортонормованою системою координат OxyOxy. На кожному етапі гри кожен квадрат містить число 11 або число −1-1. Припустимо, що на початку кожна клітинка дошки містить 11. Хід полягає у виборі рядка, стовпця або діагоналі (тобто максимальної множини клітинок такої, що центри цих останніх лежать на одній прямій, яка утворює кут 4545 градусів з однією з осей координат) дошки та зміні знаків вмісту всіх її клітинок. Чи можна наприкінці отримати −1-1 в одній клітинці, а 11 в усіх інших?
9–11 класиПарність і непарність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-134

Сума на діагоналі послідовного обходу дошки

Числа 1,2,…,641,2, \ldots, 64 записано в клітинках шахової дошки 8×88 \times 8 так, що для кожного 1≤i<641 \leq i < 64 числа ii і i+1i+1 стоять у клітинках, які мають спільну сторону. Яка найбільша можлива сума може стояти на одній з діагоналей?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-100

Мінімізація суми зі зваженими замінами

Зафіксуємо додатне дійсне число c>1c>1 і натуральне число nn. Спочатку на дошці написані числа 1,c,…,cn−11, c, \ldots, c^{n-1}. Щохвилини Боб вибирає два числа a,ba, b на дошці й замінює їх на ca+c2bc a + c^{2} b. Доведіть, що через n−1n-1 хвилин на дошці залишиться одне число, не менше за (cn/L−1c1/L−1)L\left(\frac{c^{n / L}-1}{c^{1 / L}-1}\right)^{L} де ϕ=1+52\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} і L=1+log⁡ϕ(c)L=1+\log _{\phi}(c).
10–11 класиІнші класичні нерівності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-034

Випадкове блукання по вершинах п'ятикутника

Карл стоїть у вершині правильного п'ятикутника. Щохвилини він навмання вибирає сусідню вершину (кожну з імовірністю 12\frac{1}{2}) і йде до неї вздовж ребра. Яка ймовірність того, що через 10 хвилин він опиниться там, звідки починав?
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-068

Замощення дошки після вилучення однієї клітинки

Скільки існує способів вилучити одну клітинку з клітинної дошки 2014×20142014 \times 2014 так, щоб фігуру, що залишилася, можна було замостити прямокутниками 1×31 \times 3 і 3×13 \times 1?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-018

Мощення багатокутника S- та Z-тетраміно

З двох доміно 2×12 \times 1 можна побудувати тетраміно, якщо розташувати обидва доміно вздовж їхніх довших сторін таким чином, щоб середина довшої сторони одного доміно була вершиною іншого доміно. При цьому виникають два типи тетраміно, що відрізняються своєю орієнтацією, які ми назвемо SS- та ZZ-тетраміно. SS-тетраміно: ZZ-тетраміно: Багатокутник на вузлах сітки PP — це просто зв'язна область, граничні лінії якої лежать лише на лініях цілочисельної координатної сітки площини. Замощення PP — це повне та без перекриттів покриття PP фігурами, які також не виходять частково за межі PP. Тепер припустимо, що багатокутник на вузлах сітки PP може бути замощений лише SS-тетраміно. Доведіть: якщо також можливе замощення PP за допомогою SS- та ZZ-тетраміно, то кількість використаних ZZ-тетраміно завжди парна.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.