Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 637 задач
АлгебраНерівності
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-06-07-007

25 людей і спільна мова з десятьма

Є 25 людей, кожні двоє з яких спілкуються деякою мовою. Причому будь-які двоє людей спілкуються між собою тільки однією мовою, навіть якщо вони знають і інші спільні мови. Відомо, що серед будь-яких трьох людей знайдеться принаймні одна людина, яка спілкується з двома іншими з цих трьох однією й тією ж самою мовою. Доведіть, що знайдеться людина, яка спілкується однією й тією ж самою мовою з деякими 10 іншими людьми.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-001

Нерівність із сумою (a+b-2c)/(b+c) для a, b, c

Нехай aa, bb і cc — додатні дійсні числа. Доведіть, що a+b−2cb+c+b+c−2ac+a+c+a−2ba+b≥0.\frac{a + b - 2c}{b + c} + \frac{b + c - 2a}{c + a} + \frac{c + a - 2b}{a + b} \ge 0.
10–11 класиМетод Штурма
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-006

Найбільше і найменше значення виразу з x, y, z

Знайдіть найбільше і найменше значення, яких може набувати вираз x4+y4+z4(x+y+z)4\dfrac{x^4 + y^4 + z^4}{\left(x + y + z\right)^4} за умови, що дійсні додатні числа xx, yy і zz задовольняють співвідношення (x+y+z)3=32xyz\left(x + y + z\right)^3 = 32xyz.
10–11 класиЕлементарні симетричні многочлени
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-008

Нерівність з дробами від додатних x, y, z

Нехай xx, yy і zz — додатні дійсні числа. Доведіть нерівність xyx2+xy+yz+yzy2+yz+zx+zxz2+zx+xy≥xz+2x+yx+2y+zy+2z.\frac{xy}{x^2 + xy + yz} + \frac{yz}{y^2 + yz + zx} + \frac{zx}{z^2 + zx + xy} \ge \frac{x}{z + 2x} + \frac{y}{x + 2y} + \frac{z}{y + 2z}.
10–11 класиЗаміни в однорідних виразах
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-012

Нерівність для наборів додатних чисел x, y, z

Дано натуральне число nn і набори дійсних додатних чисел (x1,x2,…,xn)\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) та (y1,y2,…,yn)\left(y_1, y_2, \ldots, y_n\right). Нехай (z2,z3,…,z2n)\left(z_2, z_3, \ldots, z_{2n}\right) — такий набір дійсних додатних чисел, що zi+j2≥xiyjz_{i+j}^2 \ge x_i y_j для всіх 1≤i,j≤n1 \le i, j \le n. Нехай M=max⁡{z2,z3,…,z2n}M = \max\left\{z_2, z_3, \ldots, z_{2n}\right\}. Доведіть, що M+z2+z3+…+z2n2n≥x1+x2+…+xnn⋅y1+y2+…+ynn.\frac{M + z_2 + z_3 + \ldots + z_{2n}}{2n} \ge \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \cdot \frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_n}{n}.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-001

Нерівність для двох наборів додатних чисел

Нехай n≥3n \ge 3. Доведіть, що для будь-яких двох наборів додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, та b1,b2,…,bnb_1, b_2, \ldots, b_n, які задовольняють умови a1+a2+…+an=1a_1 + a_2 + \ldots + a_n = 1, b12+b22+…+bn2=1b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_n^2 = 1, виконується нерівність a1(b1+a2)+a2(b2+a3)+…+an(bn+a1)<1.a_1(b_1 + a_2) + a_2(b_2 + a_3) + \ldots + a_n(b_n + a_1) < 1.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-010

Нерівність для додатних чисел із сумою не менше трьох

Дано такі додатні дійсні числа x,y,zx, y, z, що x+y+z≥3x + y + z \ge 3. Доведіть, що x3(1+y)(1+z)+y3(1+z)(1+x)+z3(1+x)(1+y)≥34.\frac{x^3}{(1 + y)(1 + z)} + \frac{y^3}{(1 + z)(1 + x)} + \frac{z^3}{(1 + x)(1 + y)} \ge \frac{3}{4}.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-004

Найбільше значення виразу 1/x² + 2/y² + 3/z²

Знайдіть найбільше можливе значення виразу 1x2+2y2+3z2\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{2}{y^2} + \dfrac{3}{z^2}, де x,y,zx, y, z — такі додатні дійсні числа, що 12min⁡{x2,y3}>z≥12\dfrac{1}{2}\min\{x\sqrt{2}, y\sqrt{3}\} > z \ge \dfrac{1}{\sqrt{2}}, x+z3≥6x + z\sqrt{3} \ge \sqrt{6}, y3+z10≥25y\sqrt{3} + z\sqrt{10} \ge 2\sqrt{5}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-005

Перестановки з різними різницями та різниця крайніх чисел

Дано натуральне число nn. Розглядаються всілякі перестановки (a1,a2,…,a2n)\left(a_1, a_2, \ldots, a_{2n}\right) набору (1,2,…,2n)(1, 2, \ldots, 2n) такі, що всі числа ∣ai+1−ai∣\left|a_{i+1} - a_i\right|, 1≤i≤2n−11 \le i \le 2n - 1, різні. Доведіть, що a1−a2n=na_1 - a_{2n} = n тоді й тільки тоді, коли 1≤a2k≤n1 \le a_{2k} \le n, 1≤k≤n1 \le k \le n.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-012

Циклічна система для a, b, c і нерівність

Дано відмінні від нуля дійсні числа aa, bb, cc, для яких a2=c3−c2+cb2a^2 = c^3 - c^2 + cb^2, b2=a3−a2+ac2b^2 = a^3 - a^2 + ac^2, c2=b3−b2+ba2c^2 = b^3 - b^2 + ba^2. Доведіть, що a2+b22a5+2b5+a2+b2+b2+c22b5+2c5+b2+c2+c2+a22c5+2a5+c2+a2≤1.\frac{a^2 + b^2}{2a^5 + 2b^5 + a^2 + b^2} + \frac{b^2 + c^2}{2b^5 + 2c^5 + b^2 + c^2} + \frac{c^2 + a^2}{2c^5 + 2a^5 + c^2 + a^2} \le 1.
10–11 класиЧислові нерівності
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-010

Нерівність для чисел з різницею сусідніх не більше 1

Нехай n≥3n \ge 3 непарне, та x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n — дійсні числа такі, що ∣xk+1−xk∣≤1\left|x_{k+1} - x_k\right| \le 1 для всіх k=1,2,…,n−1k = 1, 2, \ldots, n - 1. Доведіть, що ∑k=1n∣xk∣−∣∑k=1nxk∣≤n2−14\sum_{k=1}^{n} |x_k| - \left|\sum_{k=1}^{n} x_k\right| \le \dfrac{n^2 - 1}{4}.
10–11 класиЧислові нерівності
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2025-001

Найбільше і найменше значення виразу з a²+b²=ac+bd

Нехай aa, bb, cc, dd — невід'ємні дійсні числа, для яких справджується рівність a2+b2=ac+bda^2+b^2=ac+bd, при цьому cc, dd не дорівнюють нулю одночасно. Знайдіть найбільше й найменше значення виразу: ad+bc−cdc2+d2\dfrac{ad+bc-cd}{c^2+d^2}.
10–11 класиНерівності та системи другого сте…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-006

Найбільше значення відношення сум максимумів рядків і стовпців

У кожній комірці дошки 2025×20252025 \times 2025 записано дійсне невід'ємне число так, що сума чисел у кожному рядку дорівнює 11, і сума чисел у кожному стовпчику також дорівнює 11. Через rir_i позначимо найбільше число в рядку ii, і нехай R=r1+r2+…+r2025R = r_1 + r_2 + \ldots + r_{2025}. Аналогічно, через cic_i позначимо найбільше число в стовпчику ii, і нехай C=c1+c2+…+c2025C = c_1 + c_2 + \ldots + c_{2025}. Якого найбільшого значення може набувати вираз RC\dfrac{R}{C}?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-005

Виграшна стратегія в грі з параметром λ

Аліна та Богдан грають у прикольну гру, правила якої залежать від дійсного додатного числа λ\lambda, що відоме обом гравцям до початку гри. На nn-му кроці гри, що починається з n=1n = 1, відбувається таке: - якщо число nn непарне, то Аліна вибирає таке невід'ємне дійсне число xnx_n, що x1+x2+…+xn⩽λn;x_1 + x_2 + \ldots + x_n \leqslant \lambda n; - якщо число nn парне, то Богдан вибирає таке невід'ємне дійсне число xnx_n, що x12+x22+…+xn2⩽n.x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 \leqslant n. Усі вибрані числа відомі обом гравцям. Якщо хтось із гравців не може вибрати належне число xnx_n, то гра зупиняється, а інший гравець визнається переможцем. Якщо гра триває нескінченно довго, то жоден із гравців не визнається переможцем. Знайдіть усі значення λ\lambda, для яких Аліна має виграшну стратегію, а також усі значення λ\lambda, для яких виграшну стратегію має Богдан.
10–11 класиКласичні ігри
Балканська юніорська математична олімпіада (JBMO)JBMO-2025-001

Сума дробів (a²+bc)²/(b+c) для додатних a, b, c

Для додатних дійсних чисел a,b,ca, b, c доведіть, що справджується нерівність: (a2+bc)2b+c+(b2+ca)2c+a+(c2+ab)2a+b⩾2abc(a+b+c)2ab+bc+ca.\dfrac{(a^2+bc)^2}{b+c} + \dfrac{(b^2+ca)^2}{c+a} + \dfrac{(c^2+ab)^2}{a+b} \geqslant \dfrac{2abc(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}.
7–9 класиНерівність Коші-Буняковського
Балтійський шляхBW-2024-003

Перетворення двох чисел на дошці до одного числа

Додатні дійсні числа a1,a2,…,a2024a_1, a_2, \ldots, a_{2024} записані на дошці. За один хід вибирають два числа xx і yy, що записані на дошці, їх стирають та записують число x2+6xy+y2x+y\dfrac{x^2+6xy+y^2}{x+y}. Після 20232023 ходів на дошці залишиться одне число cc. Доведіть, що c<2024(a1+a2+…+a2024).c < 2024(a_1+a_2+\ldots+a_{2024}).
10–11 класиНапівінваріанти
Балтійський шляхBW-2024-004

Найбільше α для нерівності з x, y і z

Знайдіть найбільше дійсне число α\alpha таке, що для всіх невід'ємних дійсних чисел x,yx, y і zz справджується нерівність: (x+y+z)3+α(x2z+y2x+z2y)⩾α(x2y+y2z+z2x).(x+y+z)^3 + \alpha(x^2z+y^2x+z^2y) \geqslant \alpha(x^2y+y^2z+z^2x).
10–11 класиНерівність Коші
Європейський математичний кубокEMC-2024-002

Максимум суми мінімумів і мінімум суми максимумів

Нехай XX — найбільше можливе значення виразу min⁡{bc,2−a2}+min⁡{ac,2−b2}+min⁡{ab,2−c2},\min\{bc, 2-a^2\} + \min\{ac, 2-b^2\} + \min\{ab, 2-c^2\}, де aa, bb та cc — довільні додатні дійсні числа. Аналогічно, нехай YY — найменше можливе значення виразу max⁡{2−bc,a2}+max⁡{2−ac,b2}+max⁡{2−ab,c2},\max\{2-bc, a^2\} + \max\{2-ac, b^2\} + \max\{2-ab, c^2\}, де aa, bb та cc — довільні додатні дійсні числа. Доведіть, що X=YX = Y.
7–10 класиНерівність Коші
Балканська юніорська математична олімпіада (JBMO)JBMO-2024-001

Нерівність для додатних чисел із сумою квадратів

Дано додатні дійсні числа aa, bb, cc такі, що a2+b2+c2=14a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{4}. Доведіть, що справджується нерівність 1b2+c2+1c2+a2+1a2+b2⩽2(a+b)(b+c)(c+a).\frac{1}{\sqrt{b^2 + c^2}} + \frac{1}{\sqrt{c^2 + a^2}} + \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \leqslant \frac{\sqrt{2}}{(a + b)(b + c)(c + a)}.
7–9 класиНерівність Коші
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-001

Сума aᵢ√(aᵢ/bᵢ) з сумами aᵢ та bᵢ

Нехай nn — натуральне число, а a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n і b1,b2,…,bnb_1, b_2, \dots, b_n — додатні дійсні числа. Доведіть, що a1a1b1+a2a2b2+⋯+ananbn≥(a1+a2+⋯+an)a1+a2+⋯+anb1+b2+⋯+bna_1 \sqrt{\frac{a_1}{b_1}} + a_2 \sqrt{\frac{a_2}{b_2}} + \dots + a_n \sqrt{\frac{a_n}{b_n}} \ge (a_1 + a_2 + \dots + a_n) \sqrt{\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{b_1 + b_2 + \dots + b_n}}
10–11 класиІнші класичні нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-010

Степенева нерівність із показниками

Нехай a1,a2,…,a2023a_1, a_2, \dots, a_{2023} — додатні дійсні числа, для яких a1+a22+a33+⋯+a20232023=2023.a_1 + a_2^2 + a_3^3 + \dots + a_{2023}^{2023} = 2023. Доведіть, що a12023+a22022+⋯+a20222+a2023>1+12023.a_1^{2023} + a_2^{2022} + \dots + a_{2022}^2 + a_{2023} > 1 + \frac{1}{2023}.
10–11 класиЧислові нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-005

Фленсбурзька властивість для системи многочленів

Назвемо множину рівнянь у дійсних числах зі змінними x1,…,xm∈Rx_1, \dots, x_m \in \mathbb{R} фленсбурзькою, якщо існує таке i∈{1,…,m}i \in \{1, \dots, m\}, що кожний розв'язок множини рівнянь, у якому всі змінні попарно різні, задовольняє xi>xjx_i > x_j для всіх j≠ij \ne i. Визначте, для яких натуральних чисел n≥1n \ge 1 така множина з двох рівнянь an+b=a і cn+1+b2=aba^n + b = a \text{ і } c^{n+1} + b^2 = ab з трьома дійсними змінними a,b,ca, b, c є фленсбурзькою.
10–11 класиЧислові нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-006

Мінімізація суми за циклічної умови на добуток

Нехай nn — натуральне число, x1,…,xnx_1, \dots, x_n і y1,…,yny_1, \dots, y_n — додатні дійсні числа, що задовольняють xn=nx_n = n і yiyi+1≥1y_i y_{i+1} \ge 1 при 1≤i<n1 \le i < n та yny1≥1y_n y_1 \ge 1. Крім того, нехай x0=0x_0 = 0. Визначте найменше можливе значення виразу ∑i=1n(xi−xi−1)2+yi.\sum_{i=1}^{n} \sqrt{(x_i - x_{i-1})^2 + y_i}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-007

Оптимальна стала в нерівності для середніх

Знайдіть найменше додатне дійсне число α\alpha таке, що x+y2≥αxy+(1−α)x2+y22\frac{x+y}{2} \geq \alpha\sqrt{xy} + (1-\alpha)\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}} для всіх додатних дійсних чисел xx і yy.
10–11 класиЧислові нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-009

Найменше значення дробу зі степенями

Знайдіть найменше можливе значення x2023+20317x7+7x17\frac{x^{2023} + 203}{17x^7 + 7x^{17}} при всіх додатних дійсних xx.
10–11 класиНерівність Коші3 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.