Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 140 задач
ГеометріяВизначні точки та лінії трикутника
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-030

O на дузі B'C' та L на стороні BC

Сторони ABAB і ACAC трикутника ABCABC дотикаються до кола cc відповідно в точках B′B' і C′C'. Центр LL кола cc лежить на стороні BCBC. Центр описаного кола OO трикутника ABCABC лежить на меншій дузі B′C′B'C' кола cc. Доведіть, що описане коло трикутника ABCABC і коло cc перетинаються у двох точках.
11 класЦентральні і вписані кути
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-010

Центри зовнівписаних кіл на описаному колі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD — внутрішня точка його сторони ACAC. Назвемо сторону трикутника ABDABD дружньою, якщо зовнівписане коло трикутника ABDABD, дотичне до цієї сторони, має свій центр на описаному колі трикутника ABCABC. Доведіть, що трикутник ABDABD має рівно дві дружні сторони тоді й лише тоді, коли ∣BD∣=∣DC∣|BD| = |DC|.
10–11 класиЗовнівписане коло
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-032

Ортоцентр через симетрію на описаному колі

У гострокутному трикутнику ABCABC вибрано точку PP так, що всі точки, симетричні точці PP відносно сторін трикутника ABCABC, лежать на описаному колі трикутника ABCABC. Доведіть, що PP — ортоцентр трикутника ABCABC.
11 класТочка перетину висот
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-013

Дотична до описаного кола з паралелі через інцентр

У трикутнику ABCABC бісектриси кутів при AA і CC перетинають описане коло трикутника ABCABC відповідно в точках A0A_{0} і C0C_{0}. Пряма, що проходить через II, центр вписаного в трикутник ABCABC кола, і паралельна прямій (AC)(AC), перетинає пряму (A0C0)(A_{0}C_{0}) в точці PP. Доведіть, що пряма (PB)(PB) дотикається до описаного кола трикутника ABCABC.
9–11 класиТеорема про тризуб
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-056

Рівні відрізки від перетину бісектриси кута

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Нехай бісектриса кута ∠A\angle A і серединний перпендикуляр до сторони BCBC перетинаються в точці DD. Нехай EE і FF — точки на сторонах ABAB і ACAC такі, що DEDE і DFDF перпендикулярні до ABAB і ACAC відповідно. Доведіть, що BE=CFBE = CF.
10–11 класиБісектриса кута
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-095

Кутова умова з колами через інцентр

Нехай ABCABC — трикутник з інцентром II. Нехай коло з центром у BB, що проходить через II, перетинає сторону ABAB у точці DD, а коло з центром у CC, що проходить через II, перетинає сторону ACAC у точці EE. Припустимо, що DEDE — серединний перпендикуляр до AIAI. Знайдіть усі можливі величини кута BACBAC у градусах.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-044

Чевіани та відбиття в трикутнику

Розглянемо трикутник ABCABC, де BC=7BC = 7, CA=8CA = 8 і AB=9AB = 9. DD і EE — середини сторін BCBC і CACA відповідно, а відрізки ADAD і BEBE перетинаються в точці GG. Відбиття точки GG відносно DD — це G′G', а пряма G′EG'E перетинає CGCG у точці PP. Знайдіть довжину PGPG.
10–11 класиТочка перетину медіан
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-009

Трикутник з рівними частинами кута

Нехай у △ABC\triangle ABC де AB<ACAB < AC, з вершини AA проведено висоту ADAD, бісектрису AEAE і медіану AFAF, причому точки D,E,FD, E, F лежать на BC‾\overline{BC}. Якщо ∡BAD=2∡DAE=2∡EAF=∡FAC\measuredangle BAD = 2 \measuredangle DAE = 2 \measuredangle EAF = \measuredangle FAC, знайдіть усі можливі значення ∡ACB\measuredangle ACB.
10–11 класиТочка перетину висот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-102

Максимальна відстань у центричній послідовності

Нехай CC позначає множину точок (x,y)∈R2(x, y) \in \mathbb{R}^{2} таких, що x2+y2≤1x^{2}+y^{2} \leq 1. Послідовність Ai=(xi,yi)∣i≥0A_{i}=\left(x_{i}, y_{i}\right) \mid i \geq 0 точок у R2\mathbb{R}^{2} називається «центричною», якщо вона задовольняє такі властивості: - A0=(x0,y0)=(0,0), A1=(x1,y1)=(1,0)A_{0}=\left(x_{0}, y_{0}\right)=(0,0),\ A_{1}=\left(x_{1}, y_{1}\right)=(1,0). - Для всіх n≥0n \geq 0 центр описаного кола трикутника AnAn+1An+2A_{n} A_{n+1} A_{n+2} лежить у множині CC. Нехай KK — найбільше значення x20122+y20122x_{2012}^{2}+y_{2012}^{2} за всіма центричними послідовностями. Знайдіть усі точки (x,y)(x, y) такі, що x2+y2=Kx^{2}+y^{2}=K і існує центрична послідовність така, що A2012=(x,y)A_{2012}=(x, y).
10–11 класиНерівність трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-026

Радіус описаного кола з цілочисельними вершинами

Нехай ABCABC — трикутник з центром описаного кола OO та ортоцентром HH такий, що AA, BB, CC, OO та HH — усі різні точки з цілими координатами. Чому дорівнює друге найменше можливе значення радіуса описаного кола трикутника ABCABC?
10–11 класиПряма Ейлера
Відбіркові тести на IMOTST-2012-002

Нерухома точка на описаному колі

У гострокутному трикутнику ABCABC виконуються нерівності ∠A<∠B\angle A < \angle B і ∠A<∠C\angle A < \angle C. Нехай PP — змінна точка на стороні BCBC. Точки DD і EE лежать на сторонах ABAB і ACAC відповідно так, що BP=PDBP = PD і CP=PECP = PE. Доведіть, що коли PP рухається вздовж сторони BCBC, описане коло трикутника ADEADE проходить через нерухому точку, відмінну від AA.
10–11 класиОписане коло2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2012-009

Бісектриса кута в рівнобедреному трикутнику

Нехай Γ\Gamma — описане коло рівнобедреного при CC трикутника ABCA B C. У внутрішності сторони BC‾\overline{B C} лежить точка MM. Нехай NN — точка на промені AMA M, для якої MM лежить між AA і NN і яка задовольняє ∣AN∣=∣AC∣|A N|=|A C|. Описане коло трикутника CMNC M N перетинає Γ\Gamma у двох різних точках CC і PP. Прямі ABA B і CPC P перетинаються в точці QQ. Доведіть, що ∡BMQ=∡QMN\measuredangle B M Q=\measuredangle Q M N.
10–11 класиТочка перетину бісектрис
Відбіркові тести на IMOTST-2012-025

Перпендикулярність у вписаному чотирикутнику

У вписаному чотирикутнику ABCDABCD діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці PP. Нехай EE і FF — основи перпендикулярів, опущених з точки PP на прямі ABAB і CDCD відповідно. Відрізки BFBF і CECE перетинаються в точці QQ. Доведіть, що прямі PQPQ і EFEF перпендикулярні.
10–11 класиРадикальна вісь3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2012-032

Центр вписаного кола і перпендикулярність до діаметра

Нехай II — центр вписаного кола, а ADAD — діаметр описаного кола трикутника ABCABC. Нехай EE і FF — точки на променях BABA і CACA такі, що BE=CF=AB+BC+CA2BE = CF = \frac{AB + BC + CA}{2} Доведіть, що прямі EFEF і DIDI перетинаються під прямим кутом.
10–11 класиВписане коло
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-016

Відстань до точки, рівновіддаленої від вершин трикутника

Аліса, Берто і Карло мають закопати скарб і вирішують закопати його в точці, рівновіддаленій від усіх трьох. Відомо, що вони знаходяться у вершинах прямокутного трикутника з кутом 30∘30^{\circ} і периметром 6 м6~\text{м}. Якою буде відстань скарбу від кожного з них? (A) 1 м1~\text{м} (B) 32 м\frac{3}{2}~\text{м} (C) 2 м2~\text{м} (D) 3−3 м3-\sqrt{3}~\text{м} (E) 3 м3~\text{м}.
10–11 класиОписане коло
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-035

Площа області найближчих до вершини точок

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а HH — основа висоти, проведеної з вершини AA. Кожну внутрішню точку PP трикутника фарбуємо так: у червоний колір, якщо найближчою до PP вершиною є AA; у зелений, якщо найближчою до PP вершиною є BB; у синій, якщо найближчою до PP вершиною є CC. Відомо, що AH=35AH=35, BH=21BH=21 і CH=15CH=15. Чому дорівнює площа фігури, утвореної червоними точками?
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-002

Точки дотику вписаного кола та середини відрізків між центрами зовнівписаних кіл

Дано трикутник ABC; центр його зовнівписаного кола, протилежного до вершини A, — це точка, де перетинаються зовнішні бісектриси кутів ∠B\angle B і ∠C\angle C. Нехай IAI_A, IBI_B і ICI_C — центри зовнівписаних кіл різностороннього трикутника ABC, протилежних до вершин A, B, C відповідно, а X, Y і Z — середини відрізків IBICI_B I_C, ICIAI_C I_A і IAIBI_A I_B відповідно. Вписане коло трикутника ABC дотикається до сторін BC, CA і AB у точках D, E і F відповідно. Доведіть, що прямі DX, EY і FZ перетинаються в одній точці на прямій IO, яка сполучає інцентр I та центр описаного кола O трикутника ABC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Естонська математична олімпіадаESTMO-2011-010

Медіана і добутки радіусів описаних кіл на висоти

Нехай CMCM — медіана трикутника ABCABC. Доведіть, що добуток радіуса описаного кола трикутника ACMACM і висоти, проведеної з MM у трикутнику ACMACM, дорівнює добутку радіуса описаного кола трикутника BCMBCM і висоти, проведеної з MM у трикутнику BCMBCM.
11 класОписане коло3 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2011-002

Інцентр і центр описаного кола на діагоналі паралелограма

Розглянемо паралелограм ABCDABCD. а) Доведіть, що якщо інцентр трикутника ABCABC лежить на діагоналі BDBD, то паралелограм ABCDABCD є ромбом. б) Чи є паралелограм ABCDABCD ромбом щоразу, коли центр описаного кола трикутника ABCABC лежить на діагоналі BDBD?
8–10 класиТочка перетину бісектрис
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-097

Комплексні числа на одиничному колі з рівними відстанями

Нехай aa, bb і cc — комплексні числа такі, що ∣a∣=∣b∣=∣c∣=∣a+b+c∣=1|a|=|b|=|c|=|a+b+c|=1. Якщо ∣a−b∣=∣a−c∣|a-b|=|a-c| і b≠cb \neq c, обчисліть ∣a+b∣∣a+c∣|a+b||a+c|.
10–11 класиКомплексні числа2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-111

Дотик вписаного кола та бісектриса кута

Нехай XYZXYZ — трикутник, у якому ∠XYZ=40∘\angle XYZ = 40^{\circ} і ∠YZX=60∘\angle YZX = 60^{\circ}. Коло Γ\Gamma з центром у точці II лежить усередині трикутника XYZXYZ і дотикається до всіх трьох його сторін. Нехай AA — точка дотику кола Γ\Gamma зі стороною YZYZ, а промінь XI→\overrightarrow{XI} перетинає сторону YZYZ у точці BB. Знайдіть градусну міру кута ∠AIB\angle AIB.
10–11 класиТочка перетину бісектрис
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-113

Площа за точками дотику вписаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB=13, BC=14BC=14 і CA=15CA=15. Нехай DD — основа висоти, проведеної з AA до BCBC. Вписані кола трикутників ABDABD і ACDACD дотикаються до ADAD у точках PP і QQ відповідно, а до BCBC — у точках XX і YY відповідно. Нехай прямі PXPX і QYQY перетинаються в точці ZZ. Знайдіть площу трикутника XYZXYZ.
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-092

Зсув центроїда при відбитті відносно прямої

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=9AB = 9, BC=10BC = 10 і CA=17CA = 17. Нехай B′B' — образ точки BB при симетрії відносно прямої CACA. Нехай GG — центроїд трикутника ABCABC, а G′G' — центроїд трикутника AB′CAB'C. Знайдіть довжину відрізка GG′GG'.
10–11 класиТочка перетину медіан
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-093

Трикутник із рівнобедреною добудовою та перетином

Нехай G1G2G3G_{1} G_{2} G_{3} — трикутник, у якому G1G2=7G_{1} G_{2}=7, G2G3=13G_{2} G_{3}=13 і G3G1=15G_{3} G_{1}=15. Нехай G4G_{4} — точка поза трикутником G1G2G3G_{1} G_{2} G_{3} така, що промінь G1G4→\overrightarrow{G_{1} G_{4}} перетинає внутрішність трикутника, G3G4=G4G2G_{3} G_{4}=G_{4} G_{2} і ∠G3G1G4=30∘\angle G_{3} G_{1} G_{4}=30^{\circ}. Нехай прямі G3G4G_{3} G_{4} і G1G2G_{1} G_{2} перетинаються в точці G5G_{5}. Знайдіть довжину відрізка G2G5G_{2} G_{5}.
10–11 класиТеорема про тризуб
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-148

Рівносторонній шестикутник з паралельними сторонами

Нехай ABCDEFA B C D E F — опуклий рівносторонній шестикутник, у якому прямі BCB C, ADA D і EFE F паралельні. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABDA B D. Якщо найменший внутрішній кут шестикутника дорівнює 44 градусам, знайдіть найменший кут трикутника HADH A D у градусах.
10–11 класиТочка перетину висот

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.