Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 352 задачі
АлгебраПослідовності і суми
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-122

Підрядок у десятковому записі та відношення з НСД

Нехай NN — натуральне число, десятковий запис якого містить 1123511235 як неперервний підрядок, і нехай kk — натуральне число таке, що 10k>N10^{k} > N. Знайдіть найменше можливе значення 10k−1НСД(N,10k−1)\frac{10^{k}-1}{\text{НСД}\left(N, 10^{k}-1\right)}
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-102

Уявна частина добутку коренів з одиниці

Нехай ω=cos⁡2π727+isin⁡2π727\omega = \cos \frac{2\pi}{727} + i \sin \frac{2\pi}{727}. Уявна частина комплексного числа ∏k=813(1+ω3k−1+ω2⋅3k−1)\prod_{k=8}^{13}\left(1+\omega^{3^{k-1}}+\omega^{2 \cdot 3^{k-1}}\right) дорівнює sin⁡α\sin \alpha для деякого кута α\alpha між −π2-\frac{\pi}{2} та π2\frac{\pi}{2} включно. Знайдіть α\alpha.
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-141

Очікуваний максимум симетричного випадкового блукання

Розенкранц і Гільденстерн починають кожен із \ 2013$ і підкидають чесну монету. Коли випадає аверс, Розенкранц платить Гільденстерну \ 1$, а коли випадає реверс, Гільденстерн платить Розенкранцу \ 1$. Нехай f(n)f(n) — кількість доларів, на яку Розенкранц випереджає свою початкову суму після nn підкидань. Обчисліть математичне сподівання величини max⁡{f(0),f(1),f(2),…,f(2013)}\max \{f(0), f(1), f(2), \ldots, f(2013)\}.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-025

Розклад на прості множники числа 1007021035035021007001

Обчисліть розклад на прості множники числа 10070210350350210070011007021035035021007001. (Відповідь слід записати у вигляді p1e1p2e2…pkekp_{1}^{e_{1}} p_{2}^{e_{2}} \ldots p_{k}^{e_{k}}, де p1,…,pkp_{1}, \ldots, p_{k} — різні прості числа, а e1,…,eke_{1}, \ldots, e_{k} — натуральні числа.)
10–11 класиФормула біном Ньютона
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-038

Сума обернених чисел зі скінченним десятковим записом

Знайдіть суму 1n\frac{1}{n} за всіма натуральними числами nn, для яких десятковий запис числа 1n\frac{1}{n} скінченний.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-045

Цілі числа як знакозмінні суми степенів трійки

Знайдіть кількість натуральних чисел j≤32013j \leq 3^{2013} таких, що j=∑k=0m((−1)k⋅3ak)j=\sum_{k=0}^{m}\left((-1)^{k} \cdot 3^{a_{k}}\right) для деякої строго зростаючої послідовності невід'ємних цілих чисел {ak}\left\{a_{k}\right\}. Наприклад, можна записати 3=313=3^{1} і 55=30−33+3455=3^{0}-3^{3}+3^{4}, а число 4 у такому вигляді записати не можна.
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-059

Геометрична прогресія з комплексним знаменником

Нехай z0+z1+z2+⋯z_{0} + z_{1} + z_{2} + \cdots — нескінченна комплексна геометрична прогресія, така, що z0=1z_{0} = 1 і z2013=120132013z_{2013} = \frac{1}{2013^{2013}}. Знайдіть суму всіх можливих сум цього ряду.
10–11 класиТеорема Вієта
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-060

Рівносторонні трикутники, що заповнюють прямокутний трикутник

Нехай △XYZ\triangle X Y Z — прямокутний трикутник з ∠XYZ=90∘\angle X Y Z=90^{\circ}. Припустимо, існує нескінченна послідовність рівносторонніх трикутників X0Y0T0,X1Y1T1,…X_{0} Y_{0} T_{0}, X_{1} Y_{1} T_{1}, \ldots така, що X0=XX_{0}=X, Y0=YY_{0}=Y, XiX_{i} лежить на відрізку XZX Z при всіх i≥0i \geq 0, YiY_{i} лежить на відрізку YZY Z при всіх i≥0i \geq 0, XiYiX_{i} Y_{i} перпендикулярний до YZY Z при всіх i≥0i \geq 0, TiT_{i} і YY розділені прямою XZX Z при всіх i≥0i \geq 0, а XiX_{i} лежить на відрізку Yi−1Ti−1Y_{i-1} T_{i-1} при i≥1i \geq 1. Нехай P\mathcal{P} — об'єднання цих рівносторонніх трикутників. Якщо площа фігури P\mathcal{P} дорівнює площі трикутника XYZX Y Z, знайдіть XYYZ\frac{X Y}{Y Z}.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-066

Ймовірність парності цілої частини кореня з відношення

Нехай xx і yy вибрано випадково й рівномірно з інтервалу (0,1)(0,1). Яка ймовірність того, що ⌊xy⌋\left\lfloor\sqrt{\frac{x}{y}}\right\rfloor парне? Підказка: ∑n=1∞1n2=π26\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-067

Випадкові блукання суміжних блоків камінців

Для парного натурального числа nn Кевін має стрічку довжини 4n4n з позначками −2n,−2n+1,…,2n−1,2n-2n, -2n+1, \ldots, 2n-1, 2n. Далі він навмання вибирає nn точок із множини −n,−n+1,−n+2,…,n−1,n-n, -n+1, -n+2, \ldots, n-1, n і кладе по камінцю на кожну з цих точок. Камінець називаємо «застряглим», якщо він стоїть на 2n2n або −2n-2n, або всі точки праворуч від нього, або всі точки ліворуч від нього містять камінці. Потім щохвилини Кевін зсуває незастряглі камінці в такий спосіб: - Він навмання рівномірно вибирає незастряглий камінець і підкидає чесну монету. - Якщо випав герб, він пересуває цей камінець і кожен камінець із найбільшої суцільної множини, що містить цей камінець, на одну точку ліворуч. Якщо випала решка, він замість цього пересуває кожен камінець із цієї множини на одну точку праворуч. - Він повторює, доки всі камінці не застрягнуть. Нехай pkp_{k} — ймовірність того, що наприкінці процесу рівно kk камінців опиняться у правій половині. Обчисліть pn−1−pn−2+pn−3−…+p3−p2+p1pn−1+pn−2+pn−3+…+p3+p2+p1\frac{p_{n-1}-p_{n-2}+p_{n-3}-\ldots+p_{3}-p_{2}+p_{1}}{p_{n-1}+p_{n-2}+p_{n-3}+\ldots+p_{3}+p_{2}+p_{1}} через nn.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2013-005

Біноміальна сума, що є квадратом цілого числа

Доведіть, що ∑n=020134026!(n!(2013−n)!)2\sum_{n=0}^{2013} \frac{4026!}{(n!(2013-n)!)^{2}} є квадратом цілого числа.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2013-037

Строго зростаючі послідовності, вільні від сум

Знайдіть усі нескінченні послідовності a1,a2,…a_1, a_2, \dots натуральних чисел, які задовольняють такі умови: a. a1<a2<a3<…a_1 < a_2 < a_3 < \dots, b. не існує натуральних чисел i,j,ki, j, k, не обов'язково різних, для яких ai+aj=aka_i + a_j = a_k, c. існує нескінченно багато натуральних чисел kk, для яких ak=2k−1a_k = 2k - 1.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-028

Надійні числа в монотонній послідовності

Нехай a1⩽a2⩽…a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \ldots — монотонно зростаюча послідовність натуральних чисел. Натуральне число nn називається надійним, якщо існує натуральний індекс ii, для якого n=iain=\frac{i}{a_{i}}. Доведіть: якщо 2013 є надійним, то 20 також є надійним.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбіркові тести на IMOTST-2013-043

Непарність частки суми степенів

Доведіть, що частка 11+33+55+⋯+(22012−1)(22012−1)22012\frac{1^1 + 3^3 + 5^5 + \dots + (2^{2012} - 1)^{(2^{2012} - 1)}}{2^{2012}} є непарним цілим числом.
10–11 класиМетод математичної індукції
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-011

Обмеження на відношення добутків членів послідовності

Нехай a1,a2,…a_1, a_2, \dots — нескінченна послідовність різних ненульових дійсних чисел, для якої ai+1ai+ai+1ai+2\frac{a_{i+1}}{a_i} + \frac{a_{i+1}}{a_{i+2}} набуває одного й того самого значення, що лежить між 0 і 2, для кожного i≥1i \ge 1. Виразіть через a1,a2,a3a_1, a_2, a_3 найменше число cc, яке задовольняє таку умову: Умова: для будь-якої пари натуральних чисел x,yx, y з x<yx < y, axax+1+ax+1ax+2+⋯+ay−1ayaxay≤cвиконується.\frac{a_x a_{x+1} + a_{x+1} a_{x+2} + \dots + a_{y-1} a_y}{a_x a_y} \le c \quad \text{виконується.}
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-005

Кратні 3, що в сумі з 1 дають квадрат

Запишемо в порядку зростання всі кратні числа 33, сума яких із 11 є повним квадратом: 3,15,24,48,…3, 15, 24, 48, \ldots a) Яке наступне число з'явиться в цій послідовності після 4848? b) Яке восьме число цієї послідовності? c) Яке число з'явиться в цій послідовності на 20132013-й позиції?
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-013

Підрахунок незвичайних шляхів у діаграмі

Розглянемо діаграму, зображену нижче: Аугушту любить рахувати шляхи, що починаються в деякій точці, приходять у точку AA і ніколи не проходять через одну й ту саму вершину двічі. Для цього він зображує шлях послідовністю точок, які відвідує шлях. Наприклад, пунктирний шлях на рисунку нижче зображується послідовністю DCBAD C B A. Аугушту називає шлях незвичайним, якщо послідовність, що зображує цей шлях, упорядкована у зворотному алфавітному порядку. Іншими словами, шлях є незвичайним, якщо він ніколи не йде вліво, чи то вгору, чи то вниз. Наприклад, шлях DCBAD C B A є незвичайним. А шлях DBCAD B C A не є незвичайним, оскільки літера CC з'являється перед літерою BB. a) Скільки існує незвичайних шляхів, що починаються в DD і закінчуються в AA? b) Покажіть, що кількість незвичайних шляхів, які починаються в EE, дорівнює сумі кількості незвичайних шляхів, які починаються в DD, і кількості незвичайних шляхів, які починаються в CC. c) Аугушту обчислив кількість незвичайних шляхів, що виходять з KK і приходять в AA. Чому дорівнює це число?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-024

Сума перших чисел як сума послідовних чисел

a) Знайдіть усі натуральні числа nn, такі, що суму всіх цілих чисел від 11 до n+1n + 1 можна подати у вигляді суми nn послідовних цілих чисел. b) Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує ціле число aa, таке, що сума цілих чисел від aa до a+na + n дорівнює сумі цілих чисел від a+n+1a + n + 1 до a+2na + 2n.
11 класАрифметична прогресія2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-013

Сума перших простих чисел більша за квадрат їх кількості

Доведіть, що для будь-якого натурального числа nn сума перших nn простих чисел більша за n2n^2.
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-002

Рекурентна послідовність із дробовим оновленням

Нехай a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — послідовність дійсних чисел така, що a0=2a_{0}=2 і an+1=an1+ana_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+a_{n}} для n≥0n \geq 0. Обчисліть a2012a_{2012}.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-003

Сума x + y з рівних сум двох прогресій

Нехай xx і yy — дійсні числа такі, що −1<x<y<1-1 < x < y < 1. Нехай GG — сума геометричної прогресії з першим членом xx і знаменником yy, а G′G' — сума геометричної прогресії з першим членом yy і знаменником xx. Якщо G=G′G = G', знайдіть x+yx + y.
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-107

Очікуваний час очікування патерну

Ви раз за разом підкидаєте симетричну монету. Чому дорівнює математичне сподівання кількості підкидань до першого моменту, коли ваші попередні 20122012 підкидань — це «HTHT...HT»?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-007

Мінімальна сума в матриці з обмеженнями

MM — матриця розміру 8×88 \times 8. Для 1≤i≤81 \leq i \leq 8 всі елементи ii-го рядка не менші за ii, а всі елементи ii-го стовпця не менші за ii. Яка найменша можлива сума елементів матриці MM?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-079

Перемоги в грі камінь-ножиці за оптимальної стратегії

Гру «камінь–ножиці» грають так само, як «камінь–ножиці–папір», за винятком того, що жодному з гравців не дозволено грати папір. Ви граєте проти невдало запрограмованого комп’ютера, який грає камінь з 50%50\% ймовірністю та ножиці з 50%50\% ймовірністю. Якщо ви граєте оптимально проти комп’ютера, знайдіть імовірність того, що після 8 ігор ви виграєте принаймні 4.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-090

Рекурентна послідовність за модулем 100

Нехай x1=y1=x2=y2=1x_{1} = y_{1} = x_{2} = y_{2} = 1, а для n≥3n \geq 3 нехай xn=xn−1yn−2+xn−2yn−1x_{n} = x_{n-1} y_{n-2} + x_{n-2} y_{n-1} і yn=yn−1yn−2−xn−1xn−2y_{n} = y_{n-1} y_{n-2} - x_{n-1} x_{n-2}. Які останні дві цифри числа ∣x2012∣\left|x_{2012}\right|?
10–11 класиКомплексні числа

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.