Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

197 задач
АлгебраАрифметична прогресія
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-20-21-017

Кількість сірих квадратиків у 2021-му рисунку

Оксанка нарисувала 20212021 абстрактний рисунок із квадратиків сірого та білого кольорів. Кількість квадратиків послідовно збільшувалася так, як показано на рис. 10.3. Скільки сірих квадратиків вона нарисувала на останньому, 20212021-му рисунку?
4 класПослідовності (інші властивості)
Тематичні олімпіади з математикиTMO-20-21-016

Кількість кубиків у восьмому шарі піраміди

З кубиків зі стороною 11 будують піраміду. Перші верхніх три шари цієї піраміди показано на рис. 11.2. Скільки кубиків буде використано на восьмий шар цієї піраміди?
4 класАрифметична прогресія
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-17-18-078

Кількість місць у першому ряді бокового сектора

У залі кінотеатру 800800 місць, які поділено між трьома секторами, центральним та двома однаковими — правим і лівим. Усі сектори містять по вісім рядів. У центральному секторі по 2828 місць у кожному ряду. У правому та лівому секторах кожний наступний ряд має на 22 місця більше, ніж попередній. Скільки місць є в перших рядах правого та лівого секторів?
7 класАрифметична прогресія
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-12-13-020

Розподіл 2012 пігулок між чотирма тваринками

Доктор Айболить роздав чотирьом хворим тваринкам 20122012 магічних пігулок. Носоріг одержав на дві більше, ніж крокодил, бегемот — на дві більше, ніж носоріг, а слон — на дві більше, ніж бегемот. Скільки пігулок доведеться з’їсти слону?
6 класАрифметична прогресія
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2001-001

Знаки для числа 2001 між числами до 1001

У записі 1∗2∗3∗4∗…∗999∗1000∗10011 * 2 * 3 * 4 * \ldots * 999 * 1000 * 1001 замініть зірочки “” знаками “+” та “−” так, щоб значення отриманого виразу становило 20012001.
Арифметична прогресія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-003

Найменша різниця прогресії з послідовних добутків

Нехай a1, a2, …, an; b1, b2, …, bna_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_n;\ b_1,\ b_2,\ \ldots,\ b_n — такі натуральні числа, що наведені n+1n+1 добуток a1a2…an, b1a2…an, b1b2…an, …, b1b2…bna_1a_2\ldots a_n,\ b_1a_2\ldots a_n,\ b_1b_2\ldots a_n,\ \ldots,\ b_1b_2\ldots b_n утворюють у вказаному порядку зростаючу арифметичну прогресію. Знайдіть найменше можливе натуральне число, яке може бути різницею такої прогресії.
10–11 класиНСД та НСК
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-007

Добуток двох множин як скінченна арифметична прогресія

Нехай AA і BB — дві множини, що складаються з дійсних чисел. Припустимо, що елементи множини AB={ab:a∈A,b∈B}AB = \{ab : a \in A, b \in B\} утворюють скінченну арифметичну прогресію. Доведіть, що одна із цих множин містить не більше трьох елементів.
10–11 класиНСД та НСК
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-14-15-012

Трьохелементна арифметична прогресія у великій підмножині

Для заданого натурального nn розглянемо множину A⊂{1,2,…,n}A \subset \{1, 2, \ldots, n\}, яка складається хоча б із [n+12]\left[\dfrac{n+1}{2}\right] елементів. Доведіть, що при n⩾2015n \geqslant 2015 множина AA містить трьохелементну арифметичну послідовність.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-004

Найбільша і найменша суми після замін у наборі

Нехай задано впорядкований набір (a1;a2;…;an)(a_1; a_2; \ldots; a_n) дійсних чисел, n⩾3n \geqslant 3. Дозволяється замінити число aia_i, i=2,n−1‾i = \overline{2, n - 1} на таке число ai∗a_i^*, що ai+ai∗=ai−1+ai+1a_i + a_i^* = a_{i - 1} + a_{i + 1}. Нехай (b1;b2;…;bn)(b_1; b_2; \ldots; b_n) — набір з найбільшою сумою чисел, який можна отримати з даного, а (c1;c2;…;cn)(c_1; c_2; \ldots; c_n) — аналогічний набір з найменшою сумою. Для непарного n⩾3n \geqslant 3 і набору (1;3;…;n;2;4;…;n−1)(1; 3; \ldots; n; 2; 4; \ldots; n - 1) знайдіть значення виразів b1+b2+…+bnb_1 + b_2 + \ldots + b_n і c1+c2+…+cnc_1 + c_2 + \ldots + c_n.
10–11 класиАрифметична прогресія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-004

Нерівність для обернених квадратів членів арифметичної прогресії

Нехай n∈Nn \in \mathbb{N}, n≥2n \ge 2, a1,a2,…,an,an+1a_1, a_2, \ldots, a_n, a_{n+1} — додатні дійсні числа, які задовольняють умову a2−a1=a3−a2=…=an+1−an≥0a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \ldots = a_{n+1} - a_n \ge 0. Доведіть, що 1a22+1a32+…+1an2≤n−12⋅a1an+a2an+1a1a2anan+1.\frac{1}{a_2^2} + \frac{1}{a_3^2} + \ldots + \frac{1}{a_n^2} \le \frac{n - 1}{2} \cdot \frac{a_1 a_n + a_2 a_{n+1}}{a_1 a_2 a_n a_{n+1}}. З'ясуйте, коли в цій нерівності досягається рівність.
10–11 класиСуми послідовностей
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-012

Арифметична прогресія зсунутих добутків

Нехай a1,a2,…,an,b1,b2,…,bna_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n} — 2n2n натуральних чисел таких, що n+1n+1 добутків a1a2a3⋯an,b1a2a3⋯an,b1b2a3⋯an,⋮b1b2b3⋯bn\begin{gathered} a_{1} a_{2} a_{3} \cdots a_{n}, \\ b_{1} a_{2} a_{3} \cdots a_{n}, \\ b_{1} b_{2} a_{3} \cdots a_{n}, \\ \vdots \\ b_{1} b_{2} b_{3} \cdots b_{n} \end{gathered} у такому порядку утворюють строго зростаючу арифметичну прогресію. Визначте найменше натуральне число, яке може бути різницею такої арифметичної прогресії.
10–11 класиНСД та НСК
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-006

Корені многочлена в арифметичній прогресії та квадратний тричлен

Многочлен P(x)P(x) степеня n⩾2n \geqslant 2 з раціональними коефіцієнтами має nn попарно різних дійсних коренів, які утворюють арифметичну прогресію. Доведіть, що серед коренів многочлена P(x)P(x) можна вибрати два, які також є коренями деякого квадратного тричлена з раціональними коефіцієнтами.
10–11 класиТеорема Вієта
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-008

Періодична послідовність різниць функції

Нехай Z>0\mathbb{Z}_{>0} позначає множину натуральних чисел. Розглянемо функцію f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}. Для будь-яких m,n∈Z>0m, n \in \mathbb{Z}_{>0} пишемо fn(m)=f(f(…f⏟n(m)…))f^{n}(m)=\underbrace{f(f(\ldots f}_{n}(m) \ldots)). Припустимо, що ff має такі дві властивості: (i) Якщо m,n∈Z>0m, n \in \mathbb{Z}_{>0}, то fn(m)−mn∈Z>0\frac{f^{n}(m)-m}{n} \in \mathbb{Z}_{>0}; (ii) Множина Z>0\{f(n)∣n∈Z>0}\mathbb{Z}_{>0} \backslash\left\{f(n) \mid n \in \mathbb{Z}_{>0}\right\} скінченна. Доведіть, що послідовність f(1)−1,f(2)−2,f(3)−3,…f(1)-1, f(2)-2, f(3)-3, \ldots є періодичною.
10–11 класиАрифметична прогресія
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-045

Суми підмножин як члени арифметичної прогресії

Нехай X={x0,…,xn−1}X = \{x_0, \dots, x_{n-1}\} — nn-елементна множина дійсних чисел така, що 0<∣x0∣≤⋯≤∣xn−1∣0 < |x_0| \le \dots \le |x_{n-1}|. Доведіть, що суми елементів усіх підмножин множини XX є 2n2^n послідовними членами арифметичної прогресії в деякому порядку тоді й лише тоді, коли ∣x0∣:⋯:∣xn−1∣=20:⋯:2n−1.|x_0| : \dots : |x_{n-1}| = 2^0 : \dots : 2^{n-1}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-017

Сума невідомих чисел на уламках таблички

Глиняна табличка містить числа, частину з яких показано на рис. 5.6. У першому стовпці таблиці записано послідовні цілі числа, починаючи з 00. У першому рядку таблиці кожне наступне число більше за попереднє на 11; у другому рядку кожне наступне число більше за попереднє на 22 і т. д. Табличка впала й розбилася. Ми знайшли два її уламки — горизонтальний і вертикальний, — їх зображено на рис. 5.7. На місцях, позначених знаками питання, чисел, на жаль, уже не розгледіти. З’ясуйте, якою могла бути сума цих чисел. | | | | | | | | |---|---|---|---|---|---|---| | 00 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | …\ldots | | 11 | 33 | 55 | 77 | 99 | 1111 | …\ldots | | 22 | 55 | 88 | 1111 | 1414 | 1717 | …\ldots | | 33 | 77 | 1111 | 1515 | 1919 | 2323 | …\ldots | | 44 | 99 | 1414 | 1919 | 2424 | 2929 | …\ldots | | 55 | 1111 | 1717 | 2323 | 2929 | 3535 | …\ldots | | …\ldots | …\ldots | …\ldots | …\ldots | …\ldots | …\ldots | …\ldots | Рис. 5.6
4–6 класиАрифметична прогресія
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-016

Дев'ять послідовних чисел у колах із сумою 23

Кожне з кіл, зображених на рис. 5.5, повинно містити натуральне число. Ці дев’ять чисел є послідовними, а сума чисел на кожній із семи накреслених ліній має дорівнювати 2323. Число у правому верхньому колі повинно бути меншим від числа у правому нижньому колі. Відновіть усі числа, знаючи лише одне з них.
4–6 класиПідрахунок двома способами
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-018

Сума перших 2012 чисел рядка з 1 і 2012

У рядок записано числа, кожне з яких дорівнює 11 або 20122012. Перше число в рядку — 20122012. Між першим числом 20122012 і другим числом 20122012 записано рівно одну одиницю. Між другим числом 20122012 і третім числом 20122012 записано рівно дві одиниці, між третім числом 20122012 і четвертим числом 20122012 записано рівно три одиниці і т. д. Знайдіть суму перших 20122012 чисел такої послідовності.
4–6 класиАрифметична прогресія
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-003

Арифметична прогресія з добутком у вигляді куба

Нехай p≠3p \neq 3 — просте число. Доведіть, що існує непостійна арифметична прогресія з натуральних чисел x1,x2,…,xpx_1, x_2, \dots, x_p така, що добуток членів цієї прогресії є кубом.
10–11 класиАрифметична прогресія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2009-003

Строго зростаюча послідовність та дві арифметичні прогресії

Дано строго зростаючу послідовність натуральних чисел s1,s2,s3,...s_1, s_2, s_3, ... таку, що кожна з двох послідовностей ss1, ss2, ss3, ...таss1+1, ss2+1, ss3+1, ...s_{s_1},\ s_{s_2},\ s_{s_3},\ ... \quad \text{та} \quad s_{s_1+1},\ s_{s_2+1},\ s_{s_3+1},\ ... є арифметичною прогресією. Доведіть, що послідовність s1,s2,s3,...s_1, s_2, s_3, ... теж є арифметичною прогресією.
10–11 класиАрифметична прогресія
Балтійський шляхBW-2008-002

Тригонометричні функції в арифметичній прогресії

Чи існує кут α∈(0,π/2)\alpha \in (0, \pi / 2) такий, що sin⁡α\sin \alpha, cos⁡α\cos \alpha, tg⁡α\operatorname{tg} \alpha та ctg⁡α\operatorname{ctg} \alpha, узяті в деякому порядку, є послідовними членами арифметичної прогресії?
10–11 класиАрифметична прогресія2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2002-002

Найбільший приріст середнього після перекладання кульки

У двох мисках загалом є NN кульок, пронумерованих від 11 до NN. Одну кульку перекладають з однієї миски в іншу. Середнє арифметичне чисел на кульках у кожній мисці збільшилося на ту саму величину xx. Знайдіть найбільше можливе значення xx.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2000-002

Циклічна передача монет

Особи P1,P2,…,Pn−1,PnP_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n-1}, P_{n} сидять навколо столу в такому порядку, і кожна з них має деяку кількість монет. На початку P1P_{1} має на одну монету більше, ніж P2P_{2}, P2P_{2} має на одну монету більше, ніж P3P_{3}, і т. д., аж до Pn−1P_{n-1}, який має на одну монету більше, ніж PnP_{n}. Тепер P1P_{1} дає одну монету P2P_{2}, який своєю чергою дає дві монети P3P_{3}, і т. д., аж до PnP_{n}, який дає nn монет P1P_{1}. Далі процес триває так само: P1P_{1} дає n+1n+1 монет P2P_{2}, P2P_{2} дає n+2n+2 монет P3P_{3}; у такий спосіб передачі тривають, доки комусь не забракне монет, тобто особа більше не може віддати на одну монету більше, ніж щойно отримала. У момент, коли процес таким чином завершується, виявляється, що за столом є двоє сусідів, один з яких має рівно вп'ятеро більше монет, ніж інший. Визначте кількість осіб і кількість монет, що обертаються навколо столу.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Балтійський шляхBW-1998-007

Сума дугових відстаней між вписаними многокутниками

Нехай n⩾4n \geqslant 4 — парне натуральне число. Правильний nn-кутник і правильний (n−1)(n-1)-кутник вписано в одиничне коло. Для кожної вершини nn-кутника розглянемо відстань від цієї вершини до найближчої вершини (n−1)(n-1)-кутника, виміряну вздовж кола. Нехай SS — сума цих nn відстаней. Доведіть, що SS залежить лише від nn, а не від взаємного розташування двох многокутників.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Балтійський шляхBW-1997-002

Перестановка з адитивною трійкою

Нехай a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots — послідовність натуральних чисел, у якій кожне натуральне число трапляється рівно один раз. Доведіть, що існують цілі числа ℓ\ell і mm, 1<ℓ<m1<\ell<m, такі, що a1+am=2aℓa_{1}+a_{m}=2 a_{\ell}.
10–11 класиАрифметична прогресія
Балтійський шляхBW-1996-019

Розбиття натуральних чисел без арифметичних прогресій

Чи можна розбити всі натуральні числа на множини AA і BB, що не перетинаються, такі, що (i) жодні три числа з AA не утворюють арифметичну прогресію, (ii) з чисел множини BB не можна утворити жодну нескінченну несталу арифметичну прогресію?
10–11 класиАрифметична прогресія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.