Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

112 задач
КомбінаторикаГеометричні розфарбування
Балтійський шляхBW-1994-020

Одноколірний трикутник у триколірному розбитті

Рівносторонній трикутник поділено на 90000009000000 конгруентних рівносторонніх трикутників прямими, паралельними його сторонам. Кожну вершину малих трикутників пофарбовано в один із трьох кольорів. Доведіть, що існують три точки одного кольору, які є вершинами трикутника зі сторонами, паралельними сторонам початкового трикутника.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1992-004

Найбільший квадрат без одноколірних прямокутників

У Петра є багато однакових маленьких квадратиків. Деякі з них чорні, а деякі — білі. Петро хоче скласти з них великий квадрат зі стороною, що дорівнює nn сторонам маленьких квадратиків, так, щоб у великому квадраті не було прямокутника, утвореного маленькими квадратиками, в якого всі квадратики у вершинах однакового кольору. Квадрат якого розміру зможе скласти Петро?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2024-012

Розфарбування таблиці 5 на 5 з обмеженням на сусідів

Марина хоче пофарбувати кожну клітинку таблиці 5×55 \times 5 у червоний або в синій колір так, щоб кожна клітинка мала спільну сторону щонайбільше з однією клітинкою того самого кольору. Скільки існує можливих розфарбувань таблиці? (A) 30 (B) 45 (C) 46 (D) 50 (E) 90
10–11 класиГеометричні розфарбування
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-030

Гра садівника і дятла на клітинній дошці

Садівник і дятел грають у таку гру у своєму саду, що має форму решітки 2022×20222022 \times 2022, утвореної з 202222022^{2} клітинок. Дві клітинки вважаються сусідніми, якщо вони мають спільну вершину або спільну сторону. Спочатку в кожній клітинці росте дерево розміру 0. Потім, у кожному ході гри, ▹\triangleright садівник вибирає одну клітинку; дерева цієї клітинки та сусідніх клітинок (тобто загалом від чотирьох до дев'яти клітинок) усі збільшують свій розмір на 1; ▹\triangleright дятел тоді вибирає чотири клітинки; дерева цих клітинок усі зменшують свій розмір на 1 (або залишаються рівними 0, якщо дятел вибрав клітинку з деревом розміру 0). Кажуть, що дерево є сяючим, якщо його розмір становить принаймні 10610^{6}. Знайти найбільше ціле число AA, для якого садівник зможе гарантувати, за скінченну кількість ходів гри і незалежно від виборів дятла, що він виростив принаймні AA сяючих дерев.
9–11 класиГеометричні розфарбування
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-057

Розфарбування семикутника без одноколірних рівнобедрених трикутників

Обчисліть кількість способів розфарбувати вершини правильного семикутника в червоний, зелений або синій кольори (повороти та відбиття вважаються різними) так, щоб жоден рівнобедрений трикутник, вершини якого є вершинами семикутника, не мав усіх трьох вершин одного кольору.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Відбіркові тести на IMOTST-2023-022

Прямокутники з непарною кількістю червоних клітинок

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких можна пофарбувати деякі клітинки нескінченної сітки з одиничних квадратів у червоний колір так, щоб кожен прямокутник, що складається рівно з nn клітинок (і сторони якого лежать на лініях сітки), містив непарну кількість червоних клітинок.
10–11 класиКонструкція через періодичність
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2022-004

Розфарбування областей, утворених прямими

Нехай nn — натуральне число. Множина з nn різних прямих розбиває площину на різні (можливо, необмежені) області. Множина прямих називається «гарною», якщо жодні три прямі не перетинаються в одній точці. «Розфарбуванням» називається призначення кожній області двох кольорів так, що перший колір — з множини {A1,A2}\{A_{1}, A_{2}\}, а другий колір — з множини {B1,B2,B3}\{B_{1}, B_{2}, B_{3}\}. Гарна множина прямих називається «розфарбовуваною», якщо існує розфарбування таке, що 1. жоден колір не призначено двом областям, які мають спільне ребро; 2. для кожних i∈{1,2}i \in \{1,2\} і j∈{1,2,3}j \in \{1,2,3\} існує принаймні одна область, якій призначено обидва кольори AiA_{i} і BjB_{j}. Визначте всі nn, для яких кожна гарна конфігурація з nn прямих є розфарбовуваною.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-053

Розфарбування решітки для відстеження невидимого кролика

Мисливець і невидимий кролик грають на нескінченній решітці з квадратних клітинок, тобто такій, де кожна клітинка має чотирьох сусідів: ліворуч, праворуч, вгорі та внизу. Спочатку мисливець розфарбовує кожну клітинку решітки, але може використати лише скінченну кількість кольорів. Кролик потім обирає клітинку решітки, яка буде його початковою точкою. Далі він починає рухатися: щохвилини він повідомляє мисливцеві колір клітинки, на якій перебуває, а потім переходить на одну з чотирьох сусідніх клітинок. Очевидно, оскільки він невидимий, єдині відомості, до яких мисливець має доступ, — це кольори, які кролик оголошує щохвилини безпосередньо перед переміщенням. Мисливець виграє, якщо через скінченний час, ▹\triangleright він може визначити клітинку, яку кролик обрав спочатку, або ж якщо ▹\triangleright кролик повертається на клітинку, на якій він уже був раніше. Чи має мисливець виграшну стратегію?
10–11 класиГеометричні розфарбування
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-016

Розфарбування шестикутника без одноколірних трикутників

Нехай ABCDEFA B C D E F — правильний шестикутник, а точка OO — центр шестикутника. Скількома способами можна пофарбувати ці сім точок у червоний або синій колір так, щоб не існувало рівностороннього трикутника з вершинами одного кольору?
10–11 класиГеометричні розфарбування
Італійська математична олімпіадаITAMO-2022-009

Розфарбування першого квадранта з інваріантністю нахилу

Перший квадрант декартової площини — це множина точок (x,y)(x, y), де xx і yy — додатні дійсні числа (тобто x>0,y>0x>0, y>0). Кожна точка першого квадранта пофарбована в червоний або в синій колір. Крім того, для кожної точки P=(x,y)P=(x, y) першого квадранта всі точки на промені, що виходить з PP з нахилом yy (тобто на промені з початком у PP, який проходить через точку з координатами (x+1,2y)(x+1,2 y)) мають той самий колір, що й PP. Доведіть, що всі точки першого квадранта мають однаковий колір.
10–11 класиГеометричні розфарбування2 розв’язки
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-019

Розфарбування куба 2×2×2 з точністю до повороту

Куб складено з 4 білих одиничних кубиків і 4 синіх одиничних кубиків. Скількома різними способами можна скласти куб 2×2×22 \times 2 \times 2 із цих менших кубиків? (Дві конструкції вважаються однаковими, якщо одну з них можна повернути так, щоб вона збіглася з другою.) (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 11
8–10 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-034

Розфарбування дошки зі зв'язністю кольорів

Нехай n>1n>1 — натуральне число. Кожну клітинку дошки n×nn \times n пофарбовано в чорний або білий колір так, що виконуються такі умови: - будь-які дві чорні клітинки можна сполучити послідовністю чорних клітинок, у якій будь-які дві сусідні клітинки послідовності мають спільну сторону; - будь-які дві білі клітинки можна сполучити послідовністю білих клітинок, у якій будь-які дві сусідні клітинки послідовності мають спільну сторону; - будь-який підквадрат 2×22 \times 2 містить принаймні одну клітинку кожного кольору. Знайдіть з доведенням максимально можливу різницю між кількістю чорних і білих клітинок на цій дошці (залежно від nn).
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-130

Розфарбування сітки з умовою про сусідів

Вікно 4×44 \times 4 складається з 16 квадратних шибок. Скількома способами можна пофарбувати кожну шибку в червоний, рожевий або пурпуровий колір так, щоб кожна шибка мала той самий колір, що й рівно два її сусіди? Дві різні шибки є сусідами, якщо вони мають спільну сторону.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-007

Розфарбування ребер тетраедра з урахуванням симетрій

Два тривимірні тіла вважаються однаково розфарбованими, якщо одне з них можна зорієнтувати (перемістивши або повернувши) так, що воно стане невідмінним від другого. Наприклад, нехай на столі стоять два одиничні куби, причому всі грані одного куба чорні, крім верхньої, яка червона, а всі грані другого куба чорні, крім нижньої, яка пофарбована в червоний колір. Тоді ці два куби мають однакове розфарбування. Скількома різними способами можна розфарбувати ребра правильного тетраедра, пофарбувавши два ребра в червоний колір, два ребра — у чорний і два ребра — у зелений? (Правильний тетраедр має чотири грані, кожна з яких — рівносторонній трикутник. На рисунку нижче зображено одне з розфарбувань тетраедра, де товсті, тонкі та пунктирні лінії позначають три кольори.)
6–8 класиГеометричні розфарбування2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-067

Розфарбування точок перетину прямих

Розглянемо 2017 прямих на площині, які перетинаються попарно в попарно різних точках. Позначимо через EE множину цих точок перетину. Хочемо кожній точці множини EE приписати колір так, щоб будь-які дві з цих точок, які належать одній прямій і для яких відрізок, що їх сполучає, не містить жодної іншої точки множини EE, були різного кольору. Скільки кольорів щонайменше потрібно, щоб здійснити таке розфарбування?
9–11 класиЖадібний алгоритм
Відбіркові тести на IMOTST-2017-003

Парність відстаней вкладених прямокутників

Прямокутник R\mathcal{R} з непарними цілими довжинами сторін розбито на прямокутники, які всі мають цілі довжини сторін. Доведіть, що принаймні для одного з цих прямокутників відстані до кожної з чотирьох сторін R\mathcal{R} або всі парні, або всі непарні.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2017-013

Розфарбування прямокутника з чотирма кольорами у кожному квадраті

Нехай m,n≥2m, n \geq 2 — натуральні числа. Маємо чотири кольори й хочемо кожну клітинку прямокутника m×nm \times n пофарбувати в один із них так, щоб у кожному квадраті 2×22 \times 2 траплялися всі чотири кольори. Скільки існує різних способів для цього? Зауваження: два способи вважаємо різними, якщо існує принаймні одна клітинка, яка отримала різні кольори.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-029

Одноколірний прямокутний трикутник на сторонах трикутника

Кожну точку на сторонах рівностороннього трикутника пофарбовано або в червоний, або в синій колір. Чи обов’язково існує прямокутний трикутник, усі вершини якого одного кольору?
11 класГеометричні розфарбування2 розв’язки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-001

Пари m і n для чорно-білої сітки з умовами

Кожну клітинку сітки з mm рядків та nn стовпців пофарбовано в білий або в чорний колір так, щоб виконувалися такі дві умови: a. кожен рядок містить стільки ж білих клітинок, скільки чорних; b. якщо рядок перетинає стовпець у чорній клітинці, то цей рядок і цей стовпець мають однакову кількість чорних клітинок; так само, якщо рядок перетинає стовпець у білій клітинці, то цей рядок і цей стовпець мають однакову кількість білих клітинок. Знайдіть усі можливі пари (m,n)(m, n), для яких може існувати таке розфарбування.
9–11 класиГеометричні розфарбування
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-007

Хроматичне число цілочисельної решітки при відстані п'ять

Знайдіть найменшу кількість кольорів, необхідну для того, щоб пофарбувати всі точки площини з цілими координатами так, щоб жодні дві точки, відстань між якими дорівнює рівно п'яти одиницям, не мали однакового кольору.
8–10 класиГеометричні розфарбування
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-030

Розфарбування дошки літерами з умовою суміжності

Шахову дошку 88 на 88 заповнюють літерами AA, BB, CC, DD так, що дві клітинки зі спільною стороною або спільною вершиною містять різні літери, і так, що літери AA і літери BB мають таку властивість: щоразу, коли AA або BB має певну літеру XX, сусідню по горизонталі чи вертикалі (XX може бути AA, BB, CC або DD), то з протилежного боку є інша XX (хіба що там край дошки). Скількома способами можна розставити такі літери на дошці? (A) 136 (B) 144 (C) 168 (D) 328 (E) 360.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-005

Розфарбування таблиці з локальними обмеженнями

Скількома способами можна розфарбувати клітинки таблиці n×nn \times n, кожну в один із чотирьох кольорів, так, щоб жодні дві клітинки зі спільною стороною не мали однакового кольору й у кожному квадраті 2×22 \times 2, утвореному сусідніми клітинками, траплялися всі чотири кольори?
10–11 класиГеометричні розфарбування
Естонська математична олімпіадаESTMO-2011-006

Розфарбування граней куба з нульовою сумою

На кожній грані одиничного куба написано одне з чисел −1-1, 00, 11 так, що будь-які дві грані зі спільним ребром містять різні числа. Чи можна скласти а) куб розміру 2×2×22 \times 2 \times 2; б) куб розміру 3×3×33 \times 3 \times 3 так, щоб у сітках, які утворяться на гранях, будь-які два квадрати зі спільною стороною містили різні числа і сума всіх чисел на кожній грані дорівнювала 00?
10 класГеометричні розфарбування
Естонська математична олімпіадаESTMO-2011-014

Розфарбування граней октаедра у три кольори

В Антса є три олівці, кожен іншого кольору. Скількома способами він може розфарбувати грані правильного октаедра так, щоб грані зі спільним ребром завжди мали різні кольори? Розфарбування, які можна одержати одне з одного поворотами октаедра, вважаються однаковими.
11 класРозбиття на випадки
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2008-008

Розфарбування сітки з умовами суміжності

Нехай m,nm, n — натуральні числа. m×nm \times n квадратів зі стороною 1 утворюють сітку для прямокутника (або квадрата, якщо m=nm=n) зі сторонами mm і nn. Ми хочемо пофарбувати кожну з m×nm \times n клітинок в один із кольорів — червоний, синій або чорний — так, щоб виконувалися всі такі умови: кожна червона клітинка межує рівно з 1 синьою клітинкою і рівно з 1 чорною клітинкою. кожна синя клітинка межує рівно з 1 чорною клітинкою і рівно з 1 червоною клітинкою. кожна чорна клітинка межує рівно з 1 червоною клітинкою і рівно з 1 синьою клітинкою. Тут дві різні клітинки називаємо сусідніми, якщо вони мають спільну сторону. Дайте відповідь на такі запитання в цьому контексті: (1) Наведіть приклад розфарбування, що задовольняє наведені вище умови, у випадку m=3,n=4m=3, n=4. (Наведіть лише приклад.) (2) Визначте всі пари (m,n)(m, n), для яких можливе розфарбування клітинок, що задовольняє наведені вище умови.
7–9 класиГеометричні розфарбування

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.