Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 010 задач
КомбінаторикаІгри і стратегії
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-057

Числа на дошці із заміною пари сумою і добутком

На дошці написано числа 11, 33, 66 та 1010. На кожному кроці можна витерти будь-які два з написаних чисел aa, bb та записати замість них числа a+ba + b, abab. Чи можна одержати через кілька кроків на дошці такі числа: а) 20152015, 20162016, 20172017, 20182018; б) 20162016, 20172017, 20192019, 20222022?
8 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-099

Симетричне розсування фішок по клітинках квадрата

У деякій клітинці квадрата n×nn \times n, розбитого на n2n^2 клітинок, лежить n2n^2 фішок. За один крок дозволено з клітинки, у якій розташовано не менше двох фішок, пересунути по одній фішці у дві клітинки, що симетричні відносно даної та мають з нею принаймні одну спільну точку. Чи можливо, щоб через декілька кроків у кожній клітинці квадрата знаходилося рівно по одній фішці, якщо: а) n=2016n = 2016; б) n=2017n = 2017?
8 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-107

Фішки в квадраті n×n і чотири типи ходів

Для деякого непарного nn квадрат n×nn \times n розбито на n2n^2 клітинок і в деякій його клітинці лежить n2n^2 фішок. За один крок дозволено з клітинки, у якій лежить не менше двох фішок, пересунути дві фішки у клітинки, що симетричні відносно даної та мають з нею принаймні одну спільну точку. Є чотири типи ходів: (1), коли фішки пересувають по вертикалі; (2), коли фішки пересувають по горизонталі; (3), коли фішки пересувають паралельно діагоналі квадрата, що йде з лівого нижнього кута у правий верхній; (4), коли фішки пересувають паралельно другій діагоналі квадрата. Через декілька кроків виявилося, що в кожній клітинці квадрата лежить рівно по одній фішці. Доведіть, що ходів типу (3) було зроблено таку саму кількість, що й ходів типу (4).
9 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-113

Гра зі зменшенням числа 2016 на дошці

На дошці записано число 20162016. Олеся та Андрій грають у таку гру: вони за чергою (починає Олеся) зменшують число на дошці на натуральне число, що не перевищує номера ходу (першим ходом Олеся має обов'язково зменшити число на 11, Андрій своїм ходом — на 11 чи на 22, далі Олеся — на 11, 22 чи 33 й т. д.) Виграє той, хто першим зможе записати на дошці число 00. Хто перемагає в разі правильної гри обох супротивників?
10 класВиграшні та програшні позиції: ан…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-109

Гра з фарбуванням чисел 1, 2, …, n

У рядок виписано числа 1,2,…,n1, 2, \ldots, n. При цьому числа 11 та nn пофарбовані в синій колір, а всі інші — у жовтий. Гравці Олеся та Андрій за чергою фарбують одне з жовтих чисел у синій колір за такими правилами: першим ходом Олеся (вона розпочинає) фарбує в синій колір будь-яке з жовтих чисел (позначимо його літерою kk). Тоді Андрій вибирає той із проміжків чисел (1,2,…,k)(1, 2, \ldots, k) або (k,k+1,…,n)(k, k + 1, \ldots, n), який містить більше жовтих чисел; якщо ці проміжки за кількістю жовтих чисел однакові, то будь-який із двох проміжків. Якщо, наприклад, більшим є проміжок (1,2,…,k)(1, 2, \ldots, k), то другий проміжок у подальшій грі участі не бере. Після цього Андрій фарбує в синій колір будь-яке з жовтих чисел нового проміжку. Тепер новий проміжок також розділився на два менших. Далі Олеся для свого ходу вибирає той із двох нових проміжків, що містить більше жовтих чисел, а другий проміжок залишається вже поза грою, і т. д. Перемагає той із гравців, кому вдасться пофарбувати в синій колір таке число, у якого сусідні числа, ліворуч та праворуч від нього, уже сині. Хто перемагає в разі правильної гри обох гравців?
9 класВиграшні та програшні позиції: ан…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-002

Гра з фішками і перпендикулярними відрізками до центра

На полі розміром 100×100100 \times 100 двоє гравців по черзі пересувають кожен свою фішку на сусідню по стороні клітинку дошки. Перший виграє, якщо після його ходу відрізок, що сполучає центр клітинки його фішки із центром дошки, стане перпендикулярним до відрізка, що сполучає центр клітинки фішки супротивника також із центром дошки. Доведіть, що перший гравець завжди може виграти, якщо на початку гри їхні фішки стоятимуть у протилежних кутах дошки.
8 класНапівінваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-009

Найменше число після заміни числа сумою множників

На дошці записано натуральне число nn. На кожному кроці можна замість цього числа записати суму двох чисел, добуток яких дорівнює записаному на дошці числу. Визначте найменше число, яке може з’явитися після скінченної кількості кроків.
8 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-022

Обернення рівних частин намиста з pⁿ намистинок

Намисто складається з pnp^n намистинок, де pp — просте число, а n>2n > 2 — натуральне. За один хід дозволено розділити намисто на декілька рівних за кількістю намистинок частин, у кожному з яких порядок намистинок змінюється на протилежний, після чого частини з’єднують у початковому порядку в суцільні буси. Чи будь-який порядок послідовності намистинок можна одержати таким чином після скінченної кількості ходів?
9 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-008

Гра з гирями 1-9 г на перевищення 25 г

У наявності є дев’ять гир вагою 11 г, 22 г, …\ldots, 99 г. Андрій та Олеся по черзі беруть гирі та кладуть їх на ваги зі стрілкою, не знімаючи попередні. Якщо після чергової гирі стрілка покаже вагу більше 2525 г, то той, хто поклав цю гирю, програв. Хто може перемогти в цій грі, якщо перший хід робить Андрій?
7 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-029

Хто перемагає у грі з трьома купками камінців

Є три купки камінців, у першій з них aa, у другій — bb і в третій — cc камінців, при цьому a⩾b⩾c>0a \geqslant b \geqslant c > 0. Андрій та Олеся грають у таку гру. Гравець, який має зробити хід, вибирає дві довільні купки та перекладає принаймні один камінець з меншої за кількістю камінців купки до більшої (якщо в купках однакова кількість камінців, то можна перекладати з будь-якої). Перемагає той, після ходу якого залишаться дві порожні купки. Перший хід робить Андрій. При яких початкових значеннях aa, bb, cc у цій грі перемагає Андрій, а при яких — Олеся?
11 класВиграшні та програшні позиції: ан…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-035

Взяття двох або трьох цукерок по колу

По колу рівномірно розкладено 20152015 цукерок, які за рухом годинникової стрілки перенумеровані числами від 11 до 20152015. Андрій та Олеся грають у таку гру: вони по черзі беруть розкладені цукерки. За один хід можна взяти 22 чи 33 цукерки, номера яких є послідовними числами (вважаємо, що 11 та 20152015 також є «послідовними»). Програє той, хто не може зробити черговий хід. Хто переможе у цій грі, якщо першим ходить Андрій?
7 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-063

Гра з розламуванням палиці довжиною 15 см

Вінні-Пух і П’ятачок грають у гру за такими правилами. Є палиця довжиною 1515 см. Першим ходом П’ятачок розламує її на дві частини, далі гравці по черзі розламують на дві частини один з наявних шматків. При цьому шматки повинні мати довжину, що виражена натуральними числами (у сантиметрах), і не можуть дорівнювати 11 см. Програє той, хто не зможе зробити хід. У кого з гравців стратегія є виграшною?
10 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-036

Найменша кількість пострілів для 55 очок на мішені

Мішень для стрільби з лука має вигляд, зображений на рис. 2.1. Скільки щонайменше пострілів має зробити спортсмен, щоб вибити рівно 5555 очок?
7 класЖадібний алгоритм
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-047

Гра з довільним вибором шахової фігури

Андрій та Олеся грають у таку гру. Спочатку Андрій довільно вибирає шахову фігуру (короля, ферзя, туру, слона чи коня) та ставить її на шахівницю. Далі вони по черзі роблять хід вибраною шаховою фігурою за правилами. При цьому на поле, з якого Андрій розпочинав, та на поле, де фігура вже побувала, ставити знову не можна. Програє той, хто не зможе зробити хід. Хто виграє за таких умов? Примітка. Шаховий кінь ходить «Г»-подібним рухом: спочатку на дві клітинки по вертикалі, потім одну по горизонталі або, навпаки, спершу на дві по горизонталі, далі на одну по вертикалі; шаховий слон ходить на будь-яке поле тієї діагоналі, на якій стоїть; тура ходить на будь-яке поле горизонталі чи вертикалі, на якій перебуває; хід ферзя — це об’єднання ходів слона та тури; король ходить у сусіднє по стороні чи вершині поле шахівниці.
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-100

Найменше кінцеве число після вилучення менших з пар

Задано скінченний набір натуральних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n. За один хід дозволено вибрати довільну пару чисел з тих, що залишилися, менше з двох вилучити, а більше — збільшити на 11. Яке найменше число можна одержати в кінці?
10 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-088

Гра в хорди на колі до утворення трикутника

На колі розташовані NN точок. Андрій та Олеся грають у таку гру. Вони по черзі сполучають дві із заданих точок хордою, якщо вона не перетинає жодну з раніше проведених хорд у внутрішній точці. Першим ходить Андрій. Перемагає той гравець, після ходу якого утвориться трикутник із проведених хорд. Хто перемагає за правильної гри обох суперників, якщо: а) N=14N = 14; б) N=15N = 15?
8 класВиграшні та програшні позиції: ан…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-014

Можливість зараження всього квадрата 10 × 10

У квадраті 10×1010 \times 10 деякі комірки заражені інфекцією. Далі кожної секунди всі комірки, у яких 22 чи більше сусідніх по стороні клітин заражені, також стають зараженими. Чи можуть через деякий час виявитися зараженими всі комірки квадрата, якщо із самого початку були заражені рівно: а) 99 комірок; б) 1010 комірок?
9 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-13-14-067

Гра із зірочками та подільністю на 11

На дошці записано вираз ∗∗…∗\ast\ast\ldots\ast, що складається з непарної кількості зірочок. Андрій та Олеся грають у таку гру: вони по черзі (Андрій перший) замінюють будь-яку ще не замінену зірочку будь-якою цифрою (на перше місце не можна ставити цифру 00). Якщо останнім буде число, кратне 1111, то перемагає Андрій, якщо ні — Олеся. Хто переможе при правильній грі обох?
10 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-13-14-051

Найбільша сума в квадратах 4×4 на полі 7×7

Двоє грають у таку гру. На поле 7×77 \times 7 вони по черзі виставляють числа в порожні комірки. Перший гравець ставить 11, другий — 00. Коли поле заповнено, підраховують суми чисел у кожному квадраті 4×44 \times 4. Найбільше значення позначимо через SS. Яке максимальне значення SS зможе забезпечити перший гравець незалежно від гри другого?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-13-14-097

Найбільша можлива сума відстаней між вершинами графа

Нехай є зв'язний граф з вершинами A1,A2,…,AnA_1, A_2, \ldots, A_n. Позначимо через di,jd_{i,j} найменшу кількість ребер, які необхідно пройти, щоб дістатися з вершини AiA_i у вершину AjA_j. Знайдіть найбільше можливе значення суми D=∑1⩽i<j⩽ndi,jD = \sum\limits_{1 \leqslant i < j \leqslant n} d_{i,j}.
10 класДерева
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-12-13-017

Гра на дошці 2007×2007 з квадратами 2×2

Квадрат 2007×20072007 \times 2007 розбитий на 200722007^2 одиничних квадратиків. Андрій та Богдан грають у таку гру. Андрій кожним своїм ходом фарбує в синій колір чотири одиничних квадрати, які утворюють квадрат 2×22 \times 2 та жоден з яких ще не був зафарбованим. Після цього Богдан вибирає один одиничний незафарбований квадрат і фарбує його в жовтий колір. Коли Андрій своїм ходом уже не може зафарбувати за правилами свій квадрат, то решту одиничних квадратиків зафарбовує в жовтий колір Богдан. Перемагає той, хто зафарбував більше одиничних квадратиків у свій колір. Чи має Богдан виграшну стратегію?
10 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-12-13-040

Дві фальшиві монети серед 25 за 13 перевірок

Серед 2525 монет є рівно 22 фальшиві. Є чарівна скринька, у яку можна покласти 22 монети, і вона покаже кількість фальшивих монет у цій парі. Покажіть, як можна визначити обидві фальшиві монети не більше ніж за 1313 таких операцій.
7 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-12-13-056

Закреслення чисел від 1 до 4028 і послідовні числа

На дошці написано числа 11, 22, 33, …\ldots, 40274027, 40284028. Миколка та Андрійко по черзі закреслюють числа, причому Миколка ходить першим. За один хід можна закреслити тільки одне з раніше незакреслених чисел. Андрійко хоче, щоби після його 20132013-го ходу на дошці залишилися два послідовних числа (тобто числа, різниця яких дорівнює 11). Чи завжди він зможе цього досягти?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-12-13-130

Сумарна плата за зварювання сусідніх труб

Нехай задано натуральне число n⩾2n \geqslant 2 і l1l_1, l2l_2, …\ldots, lnl_n — додатні дійсні числа. Труби довжинами l1l_1, l2l_2, …\ldots, lnl_n лежать у вказаному порядку в ряд. Зварювальник може зварити разом будь-які дві сусідні труби довжинами xx і yy, утворивши трубу довжиною x+yx+y. За це він бере плату (x+y)3(x+y)^3. Порядок, у якому лежать труби, змінювати не можна. Доведіть, що якими б не були початкові довжини труб, існує така послідовність зварювань, що всі труби будуть зварені разом і сумарна плата за це буде меншою ніж 2(l1+l2+…+ln)32(l_1+l_2+\ldots+l_n)^3.
11 класЖадібний алгоритм
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-003

Суми рядків і стовпців таблиці 8×8

У кожній клітині таблиці 8×88 \times 8 записано число 00 або 11. Леся підрахувала суми чисел у кожному рядку. Якщо записати ці суми в порядку зростання, вийде набір 0,1,2,2,2,5,60, 1, 2, 2, 2, 5, 6 та 88. Андрійко ж обчислив суми чисел у кожному стовпці. Якщо записати в порядку зростання його суми, вийде набір 0,2,2,3,4,4,50, 2, 2, 3, 4, 4, 5 та 66. Чи не помилився хтось із дітей у своїх підрахунках?
6 класІнші інваріанти

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.